Podstawy informatyki kwantowej Zestaw 2 grupa IS

12. 11. 2012
Podstawy informatyki
kwantowej
Zestaw
2
grupa IS
2.1. Niech
| ui >, | uj > oraz | uk > stanowi¡ baz¦ ortonormaln¡ w trójwymiarowej
przestrzeni wektorowej nad ciaªem liczb zespolonych.
Oblicz
< φ|φ >, < ψ|ψ >
oraz
< φ|ψ >,
gdy
wektory stanu
maj¡ posta¢
| ψ >= 2i| ui > −| uj > +4| uk >, | φ >= | ui > +3i| uj > −| uk >,
a nast¦pnie sprawdzi¢ czy speªniona jest nierówno±¢ Schwartza.
| < φ|ψ > |2 ≤ < φ|φ >< ψ|ψ > .
2.2. Operator
Â
dziaªaj¡cy w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciaªem
liczb zespolonych ma posta¢


5
3 + 2i 3i
3i
8 ,
 =  −i
1−i
1
4
natomiast wektory stanu dane s¡ wyra»eniami:


−1 + i
,
3
|ψ >= 
2 + 3i
Â|ψ >, < φ|Â
5 .
|ψ >< φ|.
a.
Oblicz
b.
Zna jd¹ sprze»enie zespolone, transpozycj¦ oraz sprz¦»enie hermitowskie
dla wielko±ci
2.3. Z elementów
Â, |ψ >
oraz
< φ| = 6 − i
oraz
| ui >, | uj >
oraz
< φ|.
| uk >,
które stanowi¡ baz¦ ortonormaln¡ w
trójwymiarowej przestrzeni zespolonej utworzono nast¦puj¦ce wyra»enia
| φ1 >= | ui > +i| uk >, | φ2 >= | uj > −| uk > .
Niech B̂ jest
{| un >} ma
operatorem liniowym, którego reprezentacja macierzowa w bazie
posta¢


4
2i
3
0
1 + i .
B̂ =  −2i
3 1 − i −2
Oblicz warto±ci oczekiwane
< φ1 |B̂|φ1 >
oraz
< φ2 |B̂|φ2 >.
| ui >, | uj > oraz | uk >, stanowi¡ baz¦ ortonormaln¡
liniowej V(C) i niech Ĉ jest operatorem liniowym dziaªaj¡cym
2.4. Niech elementy
w
przestrzeni
w
tej przetrzeni takim, »e:
Ĉ| ui >= 2| ui >,
Ĉ| uj >= 3| ui > −i| uk >,
Ĉ| uk >= −| uj > .
Znajd¹ reprezentacj¦ macierzow¡ tego operatora w bazie
2.5. Niech
|φ1 i, |φ2 i, . . .
oraz energie
E1 , E2 , . . . s¡ odpowiednio stanami wªasnymi
Ĥ. Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ hHiψ w
i warto±ciami wªasnymi hamiltonianu
stanie
|ψi,
{| un >}.
je»eli liniowa kombinacja
|ψi =
X
ai |φi i
i=1
nie jest stanem wªasnym hamiltonianu
Ĥ.