Mechanika klasyczna, grupy 2 i 3

Mechanika klasyczna, grupy 2 i 3
Zestaw 11
1 Hamiltonian ma posta¢ H = p2 /2m + k/q 2 . Stosuj¡c metod¦ Hamiltona-Jacobiego
rozwi¡za¢ równania ruchu dla warunków pocz¡tkowych q(0) = 1, p(0) = 0.
2 Pokaza¢, »e hamiltonian czastki naªadowanej, która porusza si¦ po pªaszczy¹nie w staªym
polu magnetycznym B prostopadªym do pªaszczyzny ruchu ma posta¢ (w odpowiednim
cechowaniu)
i
1 h
H(q, p) =
(px + ky)2 + (py − kx)2 , k = |B|/2 .
2m
Napisa¢ równanie Hamiltona-Jacobiego i znale¹¢ jego caªk¦ zupeªn¡ zakªadaj¡c, »e funkcja
charakterystyczna Hamiltona ma posta¢ W (x, y) = kxy + X(x) + Y (y).
3 Wahadªo matematyczne porusza si¦ w pªaszczy¹nie nachylonej pod k¡tem α do poziomu.
Znale¹¢ zmian¦ amplitudy oscylacji przy powolnej zmianie k¡ta nachylenia α (zaªo»y¢ maªe
drgania).
4 Piªka odbija si¦ elastycznie od podªogi na wysoko±¢ h. O ile zmieni si¦ h, je±li nat¦»enie
pola grawitacyjnego zmieni si¦ bardzo powoli o 10%?