Algebra liniowa 1 B, lista nr 10

Algebra liniowa 1 B, lista nr 10
‚wiczenia: 17.12, konwersatorium: 7.01.
 
x
Uwaga: (x, y, z)T oznacza  y .
z
1. (S) Które z punktów: A = (3, 4, 7)T , B = (2, 0, 4)T , C = (0, −5, 1)T , D = (−1, 3, −2)T le»¡ na prostej
x = 2 + t, y = 1 + 3t, z = 5 + 2t?
2. (S) Które z punktów A = (3, 4, 7)T , B = (2, 4, 0)T , C = (12, −16, 26)T , D = (−1, 3, −2)T le»¡ na
pªaszczy¹nie X = (1, 2, 3)T + s(2, −1, 1)T + t(1, −3, 4)T ?
3. (S) Napisa¢ równania parametryczne, kanoniczne i zwyczajne prostych w R3 :
(a) równanie prostej przechodz¡cej przez punkt (2, 5, −1)T i równolegªej do wektora (1, 2, 3)T ;
(b) równanie prostej prostopadªej do pªaszczyzny ax + by + cz + d = 0 i przechodz¡cej przez punkt
(x0 , y0 , z0 )T .
4. (S) (a) Równanie parametryczne prostej l w R3 ma posta¢ x = 2 − t, y = 3t + 1, z = −4t + 3. Znale¹¢
równanie zwyczajne oraz równanie kraw¦dziowe prostej l.
z−1
= y−5
(b) Prosta l opisana jest równaniem zwyczajnym x+1
3
2 = 4 . Znale¹¢ równanie parametryczne
oraz równanie kraw¦dziowe prostej l.
2x + 3y − z + 2 = 0
(c) Prosta l zadana jest równaniem kraw¦dziowym
.
x − 3y + z + 1 = 0
Znale¹¢ jej równanie parametryczne oraz równanie zwyczajne.
5. (S) (a) Równanie ogólne pªaszczyzny Π w R3 ma posta¢ 2x − y + 3z + 5 = 0. Znale¹¢ równanie parametryczne pªaszczyzny Π. (b) Równanie parametryczne pªaszczyzny Π ma posta¢ x = 2s + 3t − 1,
y = s − t + 2, z = s + t. Znale¹¢ równanie ogólne pªaszczyzny Π.
6. (S) Napisa¢ równania parametryczne pªaszczyzn w R3 :
(a) równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt (1, 0, 2)T i równolegªej do wektorów (1, 2, 3)T , (0, 3, 1)T ;
(b) równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt (1, 7, 2)T i równolegªej do pªaszczyzny Oxz ;
(c) równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkty (5, 3, 2)T , (1, 0, 1)T i równolegªej do wektora (1, 3, −3)T ;
(d) równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt (1, 5, 7)T i zawieraj¡cej o± Ox;
(e) równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej punkty (1, 2, 3)T , (2, 4, 4)T i (3, 3, 1)T .
7. (S) Napisa¢ równania ogólne pªaszczyzn:
(a) równanie pªaszczyzny prostopadªej do wektora (4, 6, −1)T przechodz¡cej przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych;
(b) równanie pªaszczyzny prostopadªej do wektora (4, 6, −1)T przechodz¡cej przez punkt (1, 2, 3)T ;
(c) równanie pªaszczyzny równolegªej do wektorów (1, 2, 4)T i (2, −1, 3)T i przechodz¡cej przez punkt
(1, 1, 1)T .
Wskazówka do (c): obliczy¢ iloczyn wektorowy danych wektorów i post¦powa¢ jak w (b).
8. (S) Dana jest pªaszczyzna Π zadana równaniem ogólnym A · X + d = 0. Wykaza¢, »e wtedy punkt
d
X0 = − |A|
2 A nale»y do Π.
9. (S) Znale¹¢ sinusy k¡tów:
(a) mi¦dzy pªaszczyznami 2x − 3y + z + 1 = 0 i x + y + z = 0;
(b) mi¦dzy pªaszczyznami X = (1, 2, 3)T + s(2, 4, −5)T + t(3, −1, −1)T i X = (−1, 2, 0)T + s(1, 1, −2)T +
t(5, 1, 1)T ;
y−5
z+7
T
T
(c) mi¦dzy prostymi x+1
2 = −3 = −1 i X = (1, 2, 3) + t(3, −1, −1) ;
y−5
x+1
z+7
(d) mi¦dzy prost¡ 2 = −3 = −1 i pªaszczyzn¡ x + 4y − z + 1 = 0.
10. (S) Niech U1 , . . . , Un ∈ R3 .
(a) Wykaza¢, »e je±li jeden z wektorów U1 , . . . , Un jest zerowy, to U1 , . . . , Un s¡ liniowo zale»ne.
(b) Wykaza¢, »e je±li dla pewnych i < j mamy Ui = Uj , to wektory U1 , . . . , Un s¡ liniowo zale»ne.
(c) Wykaza¢, »e je±li ukªad U1 , . . . , Un jest liniowo niezale»ny, to dowolny jego niepusty podzbiór jest
liniowo niezale»ny.
(d) Wykaza¢, »e je±li n = 3, a wektory U1 , U2 , U3 s¡ nezerowe i wzajemnie prostopadªe, to s¡ one liniowo
niezale»ne.
1
11. (S) Czy wektory U, V, W s¡ liniowo niezale»ne?
(a) U = (1, 2, 1)T , V = (1, −1, 1)T , W = (1, 1, 1)T (b) U = (1, 3, 1)T , V = (1, 2, 3)T , W = (4, 1, 1)T .
Zadanie rozwi¡za¢ na dwa sposoby: (1) posªuguj¡c si¦ denicj¡; (2) u»ywaj¡c wyznacznika trójki wektorów.
12. (S) Wektory U, V, W z R3 s¡ liniowo niezale»ne. Wykaza¢, »e wtedy:
(a) wektory U + V , V + W , U + W s¡ liniowo niezale»ne;
(b) wektory U + 2V + W , U − V + W , U + V + W s¡ liniowo zale»ne.
13. (S) Znale¹¢ wielomian f drugiego stopnia speªniaj¡cy warunki f (1) = 8, f (−1) = 2, f (2) = 14.
14. Znale¹¢ równania parametryczne i zwyczajne prostych w R3 :
y+1
z
(a) prostej przechodz¡cej przez punkt (5, 2, 4)T przecinaj¡cej prost¡ x−2
3 = 4 = 2 pod k¡tem prostym;
T
(b) prostej przechodz¡cej przez punkt (1, 0, 7) , równolegªej do pªaszczyzny 6x − 2y + 4z − 11 = 0 i
przecinaj¡cej prost¡ x = 5 + 4t, y = 5 + 2t, z = 1 + t.
15. Dla danych prostych k, l znale¹¢ równanie parametryczne i zwyczajne prostej przecinaj¡cej k i l pod k¡tem
prostym.
y+1
z
(a) k : x−2
3 = 2 = 2 , l : x = −1 + 3t, y = 2 + 2t, z = 1;
y−3
y−1
x−7
x−3
z−1
(b) k : 1 = 2 = z−9
−1 , l : −7 = 2 = 3 .
16. Znale¹¢ równania ogólne pªaszczyzn w R3 :
y−6
z−3
(a) pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt (1, 2, −2)T i prostopadªej do prostej x+3
4 = −3 = 2 ;
y+1
x−1
z−3
T
(b) pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt (1, −1, 1) , równolegªej do prostej 3 = 2 = −5 i prostopadªej do pªaszczyzny 3x + y − z + 7 = 0;
(c) pªaszczyzny prostopadªej do prostej l zadanej równaniem parametrycznym X = A + tU przechodz¡cej
przez dany punkt X0 ;
(d) pªaszczyzny zawieraj¡cej prost¡ l zadan¡ równaniem parametrycznym X = A + tU przechodz¡cej
przez dany punkt X0 .
17. (a) Jak stwierdzi¢, czy dwa punkty le»¡ po tej samej stronie pªaszczyzny zadanej równaniem ogólnym
(parametrycznym) czy po jej ró»nych stronach?
(b) Dana jest pªaszczyzna Π zadana równaniem ogólnym 2x − y + 3x − 5 = 0 oraz punkty A = (1, 1, 3)T ,
B = (−1, 1, 2)T . Czy le»¡ one po tych samych czy po ró»nych stronach pªaszczyzny Π?
(c) Dana jest pªaszczyzna Π zadana równaniem parametrycznym x = 1 + t + s, y = −1 + s, z = 2 + 3t.
Czy punkty A = (2, 2, 3)T , B = (−1, 1, 1)T le»¡ po tych samych czy po ró»nych stronach pªaszczyzny Π?
18. Dane s¡ wektory U = (1, 2, −3)T , V = (5, 1, 2)T i W = (−3, 0, 1)T . Znale¹¢ wektor X taki »e U · X = −4,
V · X = 5 i W · X = 2.
19. Czy punkty A, B, C, D le»¡ w jednej pªaszczy¹nie? (a) A = (2, 2, 2)T , B = (1, 1, 1)T , C = (3, 5, −1)T ,
D = (2, −1, −3)T (b) A = (1, 0, 1)T , B = (2, 3, 5)T , C = (3, −2, 2)T , D = (0, 13, 11)T .
Wskazówka: zbada¢ wyznacznik det(B − A, C − A, D − A).
20. Niech U, V, W b¦d¡ wektorami z R3 .
→
−
(a) Wykaza¢, »e je±li U × V + V × W + W × U = 0 , to wektory U, V, W s¡ liniowo zale»ne.
(b) Poda¢ przykªad ±wiadcz¡cy, »e implikacji w (a) nie mo»na odwróci¢.
(c) Wykaza¢, »e je±li wektory U × V , V × W , W × U s¡ liniowo zale»ne, to s¡ one wspóªliniowe.
21. Dane s¡ niewspóªliniowe wektory U = (u1 , u2 , u3 )T , V = (v1 , v2 , v3 )T z R3 . Niech ponadto X0 =
(x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 . Wykaza¢, »e pªaszczyzna przechodz¡ca przez X0 równolegªa do U i V opisana jest
równaniem
x − x0 y − y0 z − z0 u1
u2
u3 = 0.
v1
v2
v3 22. Prosta l w R3 zadana jest równaniem kraw¦dziowym
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
,
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
gdzie wektory (a1 , b1 , c1 )T , (a2 , b2 , c2 )T s¡ niewspóªliniowe. Wykaza¢, »e pªaszczyzna Π zawiera prost¡ l
wtedy i tylko wtedy gdy jej równanie ogólne ma posta¢
µ(a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) + λ(a2 x + b2 y + c2 z + d2 ) = 0,
gdzie µ, λ ∈ R nie s¡ jednocze±cie zerami.
2
23. Czy wektory U, V, W s¡ liniowo zale»ne? Je±li tak, znale¹¢ nietrywieln¡ kombinacj¦ liniow¡ U, V, W równ¡
wektorowi zerowemu.
(a) U = (1, 2, 5)T , V = (5, 3, 1)T , W = (−15, −2, 21)T ;
(b) U = (5, 3, 1)T , V = (1, 1, 1)T , W = (1, 4, 2)T ;
24. (a) Dla jakich liczb x, y wektory (x, y, 3)T , (2, x − y, 1)T s¡ liniowo niezale»ne?
(b) Wykaza¢, »e wektory (1, α, α2 )T , (1, β, β 2 )T , (1, γ, γ 2 )T s¡ liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy gdy
liczby α, β , γ s¡ ró»ne.
25. Rozwa»my proste k, l w R3 zadane równaniami parametrycznymi:
k : X = A + tU, l : X = B + sV.
Wykaza¢, »e:
→
−
(a) k, l maj¡ dokªadnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy gdy U ×V 6= 0 i (U ×(B−A))×(U ×V ) =
→
−
0;
→
−
→
−
(b) k, l s¡ sko±ne wtedy i tylko wtedy gdy U × V 6= 0 i (U × (B − A)) × (U × V ) 6= 0 ;
(c) k, l le»¡ w jednej pªaszczy¹nie wtedy i tylko wtedy gdy det(A, B, D) = det(C, B, D).
26. U»ywaj¡c
wyznaczników

(wzory Cramera) rozwi¡za¢
 ukªady równa«:
 x + 2z = 1
 3x + y + 2z = 1
 2x + 3y − z = 0
y + 2z = 2 (b)
x + 2y + 3z = 1 (c)
x − 2y + 4z = 9
(a)



2x + z = 1
4x + 3y + 2z = 1
y+z =2
27. (K) Wykaza¢, »e: (a) odlegªo±¢ punktu X = (x0 , y0 , z0 )T od pªaszczyzny zadanej równaniem ogólnym
0 +by0 +cz0 +d|
(zakªadamy, »e a2 + b2 + c2 > 0);
ax + by + cz + d = 0 wynosi |ax√
a2 +b2 +c2
T
(b) odlegªo±¢ punktu X = (x0 , y0 , z0 ) od pªaszczyzny zadanej równaniem parametrycznym X = A +
0 −A)|
sU + tV (s, t ∈ R) wynosi |(U ×V|U)·(X
(zakªadamy, »e U, V s¡ niewspóªliniowe);
×V |
(c) odlegªo±¢ punktu X = (x0 , y0 , z0 )T od prostej zadanej równaniem parametrycznym X = A+tU wynosi
|(X0 −A)×U |
(zakªadamy, »e U jest wektorem niezerowym);
|U |
28. 
(K) W terminach wyznaczników sformuªowa¢ warunki kiedy zbiór rozwi¡za« ukªadu równa«
 a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2

a3 x + b3 y + c3 z = d3
(a) jest pusty, (b) jest jednoelementowy, (c) jest prost¡, (d) jest pªaszczyzn¡.
(∗) Uogólni¢ ten wynik na dowoln¡ liczb¦ równa« liniowych z trzema niewiadomymi.

 a1 x + b1 y + c1 z = 0
a2 x + b2 y + c2 z = 0 ma niezerowe rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy
29. (K) Wykaza¢, »e ukªad równa«

a3 x + b3 y + c3 z = 0
a1 b1 c1 gdy a2 b2 c2 = 0.
a3 b3 c3 30. (K) 
W zale»no±ci od parametru
 λ opisa¢ zbiór rozwi¡za« ukªadu równa«:
 λx + y + z = 0
 3x + (2 − λ)y + z = −λ
x + λy + z = 0 (b)
λx + (λ − 1)y + z = 2λ
(a)


x + y + λz = 0
(4λ + 3)x + (2λ − 1)y + (λ + 4)z = 2λ + 3
31. (K) Niech a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ∈ R, przy czym a1 , a2 , a3 s¡ parami ró»ne. Wykaza¢, »e istnieje dokªadnie
jeden wielomian stopnia co najwy»ej 2 o wspóªczynnikach rzeczywistych taki, »e f (ai ) = bi dla i = 1, 2, 3.
**************************************
Przypominam Pa«stwu, »e 16.12 o godz. 11:15 w sali 607 odb¦dzie si¦ kolokwium poprawkowe dla ch¦tnych. Obowi¡zuj¡ listy 16. Udziaª w kolokwium poprawkowym powoduje anulowanie punktów uzyskanych z
kolokwium nr 1.
R. Wencel, 10.12.2015 r.
3