Gi - MiNI PW

Wybrane zagadnienia algebry
Zestaw 7
1. Niech {Gi }i∈I będzie rodziną grup. Rozważamy
• Pokazać, że
P
i∈I
Gi ¬
• Niech Gi0 := {a ∈
P
Q
i∈I
P
i∈I
Gi - sumę prostą grup z tej rodziny.
Gi .
Gi | ai = 1, ∀i 6= i0 }. Pokazać, że
P
i∈I
Gi = h Gi i.
S
• Niech i1 , i2 ∈ I i a1 ∈ Gi1 , a2 ∈ Gi2 . Pokazać, że a1 a2 = a2 a1 dla i1 6= i2 .
• Gi0 ∩
DS
E
i∈I\{i0 } Gi = {1}.
2. Udowodnić, że grupa (Z, +, −, 0) nie rozkłada się na produkt prosty swoich podgrup właściwych.
3. Podać dowolny rozkład multiplikatywnej grupy (Q − {0}, ·,−1 , 1) na produkt prosty swoich
podgrup właściwych. Udowodnić, że grupa (Q, +, −, 0) nie rozkłada się na produkt prosty
swoich podgrup właściwych.
4. Pokazać, że dla n ∈ N i liczby pierwszej p, grupa cykliczna Cpn nie rozkłada się na produkt
prosty swoich podgrup właściwych.
5. Skonstruować wszystkie grupy abelowe rzędu 8, 24 oraz 25.
6. Czy grupy Z24 × Z36 i Z48 × Z18 są izomorficzne?
7. Wyznaczyć liczbę nieizomorficznych abelowych grup rzędu p4 i p5 . Podać rekurencyjny
wzór określający liczbę wszystkich grup abelowych rzędu pn .
8. Niech G będzie zbiorem wszystkich macierzy odwracalnych postaci


a b c


 c a b 
b c a
gdzie a, b, c ∈ Z3 . Pokazać, że G wraz z operacją mnożenia jest grupą i określić jej rząd.
Pokazać, że G jest abelowa i niecykliczna. Przedstawić G w postaci iloczynu prostego
podgrup cyklicznych.
9. Pokazać, że podgrupy, obrazy homomorficzne i produkty proste skończonej liczby p-grup
są p-grupami.