1 Podstawowe metody całkowania 2 Całkowanie wybranych grup

1 Podstawowe metody całkowania 2 Całkowanie wybranych grup

1
Podstawowe metody całkowania
Własności
całki
1)
2x − 3x2 +
7)
3dx
,
−9
x2
8)
1
√
2 x
dx,
2)
dx
√
,
4x2 − 1
(sin x − cos x) dx,
9)
Metoda całkowania przez czȩści
1) x sin xdx, 2) x2 cos xdx,
8)
ln (2x) dx, 9)
x ln xdx,
dx
√
,
9x2 + 1
3x
e + ex/3 dx,
3)
10)
3)
x cos x2 dx,
4)
10)
arcsin xdx,
11)
5)
xdx
,
x2 + 4
6)
√
cos x
√
dx, 11)
sin 2x + cos x3 dx,
sin x + 3
x2 sin 2xdx, 5)
arcsin
x
2
2
x + 1 ex dx,
12)
dx,
6)
xdx
,
x2 + 8
12)
dx
.
4x2 + 1
xe−2x dx,
arctan (2x) dx, 13)
7)
x3 e−x/2 dx,
ln x2 + 1 dx.
Metoda całkowania przez podstawienie
1)
√
2x + 3dx,
7)
2
sin x cos2 xdx,
2)
√
x 1 − 2xdx,
8)
3)
cos x
dx,
sin2 x + 4
√
dx
√
, 4) x x2 + 1dx,
x x+1
9)
sin3 xdx,
10)
5)
cos5 xdx,
√
x3 x2 + 3dx,
11)
6)
xdx
√
,
4x2 + 1
dx
dx
, 12)
.
sin x
cos x
Całkowanie wybranych grup funkcji
Całkowanie funkcji wymiernych
4x3 − 16x + 4
2
7x2 + 5x + 1
2x − 3
6x + 9
dx,
2.
dx,
3.
dx,
4.
dx,
5.
dx
3
x2 − 5x + 6
x2 + 2x + 10
x3 + x2 + 8x − 10
x2 − 4
(1 − 2x)
16x − 32
3x + 18
8x − 16
2x − 6
2x + 8
6.
dx, 7.
dx, 8.
dx, 9.
dx, 10.
dx.
2
2
2
2
2
4x − 4x + 5
4x − 4x − 3
4x + x + 29
2x + x − 8
2x − 5x + 2
4x + 2x3
2x − 2x2 + x3 + 1
x2 + x3 + 4
2x2 − x + x3 − 12
6x + 5x2 + 4
11.
dx,
13.
dx,
12.
dx.
14.
dx,
15.
dx.
x + x2 − 2
4x2 + x4
x2 − 2x + 1
x + 3x2 + x3 − 5
x2 + x3 − 2
1.
Całki funkcji niewymiernych
3(1+√x)dx
10x
√
1. √
dx
2.
,
3
4 x−x
x−1
3.
3 − 2x
xdx
√
.
7.
.
−4x2 + 4x + 3
x (x + 4)
dx
32dx
√
√
11.
.
12. ∗
.
2
2
3
x 4−x
x 4 − x2
6.
√
x2
5.
dx
sin2 x+2 .
x+2
.
+ 6x + 2
48x3
3x3 + 3x2
√
8. √ 2
dx
9. √ 2
dx.
10.
x − 2x2 dx.
4x + 1
x + 2x + 2
√
2x − 6
√
13. ∗ 8x2 1 − x2 dx.
14. ∗
dx
2x + 1 − x + 1
3
√81x
dx.
4−9x2
4.
√4dx .
x 4+x2
5.
Całki funkcji trygonometrycznych
1.
3
1.
12 sin2 3xdx.
2.
6 cos3 2xdx.
3.
sin4 x cos3 xdx.
4.
tan3 xdx.
Zadania różne
6.
√
3x2 + 1 ln x2 + 4 dx, 2. sin xdx, 3.
x arctan 1+x
1−x dx. 7.
ln x
x2 dx.
8.
5
√t
dt,
1+t3
√ dx
.
x(1+x)
9.
4.
arctan x
x2 +1 dx,
(arcsin x)2 dx. 10.
1
5.
dx
x·ln x·ln(ln x) ,
x√
arctan x
dx
1+x2
6.
sin2 xdx
cos2 x+1 .
Szkice odpowiedzi - Prosze˛ pamietać, że wyniki moga˛ być w różnych postaciach - równoważnych
Własności całki
√
1
1) x2 − x3 + x ∗ C, 2) − cos x − sin x + C, 3) 13 e3x + 3e 3 x + C, 4) 12 ln x2 + 4 + C,
√
√
√
6) x2 + 8 + C. 7) 12 ln (x − 3) − 12 ln (x + 3) + C, 8) 12 ln 8x + 4 4x2 − 1 + C, 9) 13 ln 3x + 9x2 + 1 + C,
√
10) 2 sin x + 3 + C, 11) 3 sin 13 x − 12 cos 2x + C, 12) 12 arctan 2x + C.
Metoda całkowania przez czȩści
1) sin x − x cos x + C, 2) 2x cos x − 2 sin x + x2 sin x + C, 3) 4 cos 12 x + 2x sin 12 x + C, 4) 14 cos 2x + 12 x sin 2x − 12 x2 cos 2x + C,
1
1
1 −2x
− 12 x
− 12 x
5) 3ex − 2xex + x2 ex + C, 6)
− 12 xe−2x
− 12x2e− 2 x − 2x3 e− 2 x + C, −4e
+ C, 7) −96e − 48xe
x
8) x (ln x + ln 2) − x + C, 9) x ln xdx, 10) arcsin xdx, 11) arcsin 2 dx, 12) arctan (2x) dx, 13) ln x2 + 1 dx.
Metoda
całkowania
√
√
√
√ przez podstawienie
1
1) 2x + 3 + 23 x 2x + 3 ∗ C, 2) 15
1 − 2x (3x + 1) (2x − 1) + C, 3) 4) 13
x2 + 1 x2 + 1 + C,
√
√
1
5) 15
x2 + 3 x2 − 2 x2 + 3 , 6) 14
4x2 + 1 + C, 7) − 14 cos x − 12
cos 3x + C,
2
1
1
1
3
1
5
5
1
3
8) 2 arctan
2 sin
x + C, 9) 12 cos x − 4 cos x − 4 cos x sin x + C, 10) 8 sin x + 48 sin 3x + 80 sin 5x + C,
x
1
1
11) 12 ln 1−cos
cos x+1 , 12) 2 ln (2 sin x + 2) − 2 ln (2 − 2 sin x) + C
Całkowanie funkcji wymiernych
1
1. 3 ln (x − 3) − ln (x − 2) + C, 2. 8x2 −8x+2
+ C, 3. 3 ln (x + 1)2 + 9 + arctan 13 x + 13 + C,
4. ln (x − 1) + 3 ln (x + 1)2 + 9 + arctan 13 x + 13 + C, 5. 2x2 + ln (x − 2) − ln (x + 2) + C
2
6. 3 arctan 12 − x + ln x − 12 + 1 + C, 7. 5 ln x + 12 − ln x − 32 + C, 8. ln (x + 2)2 + 25 + 2 arctan − 15 x − 25 + C,
9. 4 ln (x − 2) − ln (x + 4) + C, 10. 4 ln (x − 2) − 3 ln x − 12 + C.
2
11. x2 − 2x + 2 ln (x − 1) + 8 ln (x + 2) + C, 12. 12 ln x2 + 4 − x1 + C, 13. 12 x2 + ln (x − 1) − x−1
+ C.
2
14. x − ln (x − 1) + 2 arctan (x + 2) + C, 15. 3 ln (x − 1) + ln 2x + x + 2 + C.
Całki z wybranych funkcji niewymiernych
√
√
1
2
√
1. (x − 1) 3 (6x + 9) + C
2. √
x + 3) dx,
3. − 83 4 − 9x2 − 3x2 4 − 9x2 + C.
4. −2 arctanh √x22 +4 + C.
4 x−x (3
√
√
√
1
1
2
5. 6x + x2 + 2 − ln 2x + 2 6x + x2 + 2 +
6 + C. 6. 2√ 4x − 4x +√3 − arcsin 2 − x + C.
7. x (x + 4) − 2 ln 2x + 2 x (x + 4) + 4 + C, 8. 4x2 4x2 + 1 − 2 4x2 + 1 + C
√
√
1
1√
9.
2x + x2 + 2 x2 − x − 1 + 3 ln x + 2x + x2 + 2 + 1 + C, 10. − (1 − 4x) x (1 − 2x) −
2 arcsin (1 − 4x) + C,
8
32
1
√
32dx
1
√
11. − 4x
4 − x2 + C. 12.
= = t = − x4 x42 − 1 − 2 ln x8 + 4 x42 − 1 + C,
3
2
x 4−x x
√
√
32dx
1
1
2
2
2
√
lub
= 4 − x = t =
−
−
−
dt, 13. 2x3 − 4x 1 − x2 + 4 arcsin x + C,
2
2
t−2
t+2
(t−2)
(t+2)
3
2
x 4−x
√
√
√
2x − 6
∗
√
14.
dx = x + 1 = t2 = x + 1 + x + 1 − 4 ln x + 1 − 1 − 52 ln x + 1 + 12 + C
2x + 1 − x + 1
Całki z wybranych funkcji trygonometrycznych
3
3
1. 6x − sin 6x + C, 2. 6 cos3 2xdx =
3 − 3t2 dt
3. 15 sin5 x −
√= 3t − t = 3 sin√2x − 3 sin 2x + C, √
√
4. 12 tan2 x − 12 ln tan2 x + 1 + C, 5. 16 6 arctan 26 tan x . 6.
2 arctan 12 (tan x) 2 − x
1
7
sin7 x + C,
Zadania różne
√
√
1. 6x − 23 x3 + x ln x2 + 4 + x3 ln x2 + 4 − 12 arctan 12 x + C, 2. sin x dx, 3. t3 + 1 29 t3 − 49 + C,
4. 12 arctan2 x + C, 5. ln (ln (ln x)) + C, 6. 12 arctan x − 12 x + x2 18 π + 12 arctan x + C. 7. − x1 − x1 ln x + C.
√
√
√
√
x
√
8. 2 arctan x + C. 9. x arcsin2 x − 2x + 2 (arcsin x) 1 − x2 + C. 10. x arctan
dx = (arctan x) x2 + 1 − ln x + x2 + 1 + C
x2 +1
2