Analiza matematyczna dla informatyków 1

Analiza matematyczna dla informatyków 1 - ANI 111
Ćwiczenia zestaw nr 1
1. Zbadać ograniczoność oraz wyznaczyć, jeśli istnieja̧, kresy zbioru
1
E = 1 + 2 : n ∈ N \{0} .
n
2. Znaleźć kres górny i dolny zbioru
C = {0, 1; 0, 11; 0, 111; ...}.
3. Udowodnić, że jeśli A jest zbiorem ograniczonym z góry, to zbiór
−A = {x : −x ∈ A}
jest ograniczony z dolu oraz
inf(−A) = − sup A.
Uzasadnij, że zbiór ograniczony z dolu ma kres dolny.
4. Pokaż, że jeśli zbiory A i B sa̧ ograniczone z dolu, A ⊆ B, to inf B ≤ inf A.
5. Udowodnij, że 13n − 7 jest podzielne przez 6 (metoda indukcji).
6. Zgadnij i udowodnij metoda̧ indukcji wzór na
1
1
1
+
+ ... +
.
1·3 3·5
(2n − 1)(2n + 1)
7. Funkcja g : R → R dana jest wzorem

 x+ 3
dla x ≤ 12 ,
2
g(x) =
 −2x + 2 dla x > 1 .
2
Wyznaczyć g((0, 12 ]) oraz g −1 ((0, 1) ∪ {2}).
8. Funkcje f i g dane sa̧ wzorami

 2x + 1
f (x) =  1
x− 1
2
oraz
Znajdź g ◦ f .
2
dla x ∈ [0, 1],
dla x ∈ (1, 3]

 x2
dla x ∈ [0, 2],
g(x) =
 −x + 2 dla x ∈ (2, 3].
1