n - Jakub Górka

System finansowy gospodarki
Zajęcia nr 6
Matematyka finansowa c.d.
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
Rachunek rentowy
(annuitetowy)
Mianem rachunku rentowego określa się regularne
płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej
stopy procentowej.
Przykłady płatności rentowych (annuitetowych):





Wpłaty na fundusze rentowe;
Płatności na fundusze emerytalne;
Płatności wynikające z umowy dzierżawy, najmu itp.;
Opłaty leasingowe;
Spłaty kredytu bankowego (tzw. annuitetowego – w
kolejnych okresach równe płatności, płatność to
suma raty kapitałowej i odsetek, czyli rata kredytu).
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
1
Wartość przyszła annuity, czyli
renty (kapitalizacja z dołu)
Przykład
Do banku pan X wpłaca pod koniec każdego roku przez
okres 3 lat po 10 000 zł. Oprocentowanie roczne wynosi
12% przy rocznej kapitalizacji. Oblicz wartość końcową
(przyszłą) wkładu.
(1  0,12)3  1
K n  10000 
 33744( zł )
0,12
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
Rachunek rentowy (annuitetowy)
dla procentu składanego (wzory)
Renta płatna z dołu (płatność z dołu)
(1  i ) n  1
Kn  a 
i
1  (1  i )  n
K0  a 
i
Renta płatna z góry (płatność z góry)
(1  i) n  1
K n  a  (1  i) 
i
1  (1  i) n
K 0  a  (1  i) 
i
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
2
Wyjaśnienie oznaczeń
Kn – wartość przyszła renty (annuity), w
literaturze często oznaczana jako FVi,n
K0 – wartość bieżąca renty (annuity), w literaturze
często oznaczana jako PVi,n
i – stopa procentowa lub dyskontowa (dla
jednego okresu), w literaturze często oznaczana
jako r
n – liczba płatności (okresów)
a – wielkość cyklicznej płatności (annuity, renty),
w literaturze często oznaczana jako PMT
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
Przykład
Małżeństwo Y zdecydowało się stworzyć własny
fundusz emerytalny. Wpłaciło 120 000 j.p. na 20 lat
oraz zobowiązało się wpłacać po 10 000 j.p. co roku z
góry. Jaki fundusz zostanie zgromadzony na koniec 20
roku, jeżeli wiadomo, że stopa procentowa wynosi 10
punktów.
(1  0,1) 20  1
K n  120000  (1  0,1)  10000  (1  0,1) 
0,1
K n  807300  630025  1437325
20
Odp. K20=1437325 j.p.
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
3
Przykład
Pewna osoba zdecydowała się dokonywać wpłat oszczędnościowych
co miesiąc z dołu w wysokości 505,43 j.p., tak aby zgromadzić
fundusz w wysokości 500 000 j.p. Proszę obliczyć, przez ile lat należy
dokonywać wpłat przy stopie 12%, wiedząc że kapitalizacja odbywa
się co miesiąc, czyli jest równa z okresami wpłat.
K i
(1  i ) n  1
 (1  i ) n  n
1
i
a
K i
log( n
 1)
Kn  i
a
n log(1  i )  log(
 1)  n 
a
log(1  i )
Kn  a 
 500000  0,01 
log
 1
505,43

  240
n
log 1,01
Odp. 240 miesięcy/12 = 20 lat
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
Równanie bankierów
(uproszczone)
Równanie bankierów stanowi różnicę między
kapitałem początkowym, a sumą wypłat rentowych
na koniec okresu.
n
(
1

i
)
1
n
R  K n1  K n 2  K 0  (1  i)  a 
i
Gdzie:
Kn w procencie
składanym
Kn1 – kapitał początkowy sprowadzony
na koniec okresu
Kn2 – suma wypłat rentowych
sprowadzona na koniec okresu
Kn w rachunku
rentowym (dla
płatności z dołu)
R – różnica między Kn1 i Kn2
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
4
Przykład
W banku został zgromadzony kapitał w
wysokości 100 000 j.p. Z tego kapitału
wypłaca się co miesiąc rentę z dołu.
Obowiązuje kapitalizacja miesięczna wg
stopy procentowej miesięcznej 1%.
a) Jaka będzie maksymalna renta wieczysta?
b) Jak długo można pobierać rentę stałą w
wysokości 2000 j.p.
Ad a)
a  K0  i  100000  0,01  1000
Ad b) Obliczamy metodą iteracji
Liczba miesięcy – 69 (reszta 1310)
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
Spłata kredytu ratą zmienną i stałą
Przykład
Przedsiębiorstwo produkcyjne zaciągnęło kredyt w
wysokości 1000 j.p. na 5 lat przy oprocentowaniu rocznym
równym 20%. Proszę zaprojektować plan spłaty kredytu dla
dwóch wariantów:
a) Kredyt jest spłacany pod koniec każdego roku w 5 stałych
ratach kapitałowych, zaś odsetki naliczane są według
malejącego salda zadłużenia na koniec każdego roku. W
konsekwencji rata kredytu (płatność okresowa) jest
zmienna.
b) Kredyt jest spłacany pod koniec każdego roku w 5 stałych
płatnościach (annuity, renta). Zatem płatność okresowa jest
co roku identyczna oraz stanowi sumę raty kapitałowej i
odsetek. Rata kredytu (płatność okresowa) jest więc stała.
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
5
Harmonogram spłaty kredytu przy stałych ratach kapitałowych
Spłata
zmienną
płatnością
okresową
(zmienna rata
kredytu)
Spłata stałą
płatnością
okresową
(stała rata
kredytu)
Płatność
Zadłużenie
okresowa (rata
początkowe
kapitałowa+
(z.k. n-1)
odsetki)
Rok
1
2
3
4
5
1000
800
600
400
200
400
360
320
280
240
1600
Odsetki
(z.p.x i)
Rata
kapitałowa
(rata:
1000/5=200)
200
160
120
80
40
600
200
200
200
200
200
1000
Zadłużenie
końcowe
(z.p.-rata)
800
600
400
200
0
Harmonogram spłaty kredytu przy zmiennych ratach kapitałowych
Płatność
Rata
Zadłużenie
okresowa
kapitałowa
Zadłużenie
Odsetki
początkowe
Rok
(liczona z
(płatność
końcowe
(z.p.x i)
(z.k. n-1)
rachunku
okresowa (z.p.-rata)
rentowego)
odsetki)
1
1000,00
334,38
200,00
134,38
865,62
2
865,62
334,38
173,12
161,26
704,36
3
704,36
334,38
140,87
193,51
510,86
4
510,86
334,38
102,17
232,21
278,65
5
278,65
334,38
55,73
278,65
0,00
1671,90
671,90
1000,00
K0  i
1  (1  i )  n
a
i
1  (1  i )  n
1000  0,2
a
 334,38
1  1,2 5
K0  a 
Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
Dziękuję za uwagę

Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Pieniężnych WZ UW
6