PRZYKŁADOWE ZADANIA Z KOLOKWIÓW ZALICZAJĄCYCH

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z KOLOKWIÓW ZALICZAJĄCYCH
PRZEDMIOT
1. Tranzystory mogą pochodzić z trzech partii z prawdopodobieństwami odpowiednio
0.10, 0.60, 0.30. Prawdopodobieństwo, że tranzystor będzie działał poprawnie przez
określony czas t wynosi dla poszczególnych partii odpowiednio 0.7, 0.6, 0.8. Oblicz
prawdopodobieństwo, że losowy wybrany tranzystor będzie działał poprawnie przez
czas t.
2. W pierwszej urnie są 4 kule białe i 2 czarne. W drugiej urnie są 4 białe i 3 czarnych. Z
pierwszej urny wyjmujemy 1 kulę i przekładamy bez oglądania do drugiej urny.
Następnie losujemy kulę z drugiej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to
kula czarna.
3. Na 100 mężczyzn 5 a na 1000 kobiet 2 są daltonistami. Z grupy o jednakowej liczbie
kobiet i mężczyzn wybieramy jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a. będzie to daltonista
b. jeżeli stwierdzono, że wybrana osoba jest daltonistą to jakie jest
prawdopodobieństwo, że to kobieta.
4. Fabryka produkuje elementy w dwóch gatunkach. W I gatunku 40% a resztę w II
gatunku. Prawdopodobieństwo, że element będzie wadliwy wynosi dla I gatunku 0.1 a
dla II gatunku 0.25. Wybieramy losowo jeden element. Oblicz prawdopodobieństw, że
wybrany element będzie dobry.
5. Urządzenie składa się z 5 elementów działających niezależnie. Prawdopodobieństwo
uszkodzenia każdego elementu wynosi 0,1. Niech X będzie zmienną losową
oznaczającą liczbę elementów które uległy awarii. Wyznacz rozkład tej zmiennej
losowej.
6. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt koła x2 + y2 < 1 należy do
wnętrza prostokąta |x| < 2, |y| < 1.
7. W kwadrat o boku a wpisano koło. Oblicz prawdopodobieństwo, że trzy losowo
wybrane punkty kwadratu są punktami koła.
8. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt prostokąta |x| < 4, |y| < 2
należy do wnętrza okręgu x2 + y2 < 4.
9. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelą. Wyznacz wartość średnią oraz wariancję
tej zmiennej losowej.
X
0
1
2
4
8
P( X = x )
1/2
1/4
1/8
1/16
1/16
10. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelą.
X
0
1
2
4
8
P( X = x )
1/2
1/4
1/8
1/16
1/16
a. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y= 2X+1.
b. Oblicz wartość średnią i wariancję tej zmiennej losowej Y.
11. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelą. Wyznacz i narysuj rozkład zmiennej
losowej Y = 2X - 1.
X
0
1
2
4
8
P( X = xi )
1/2
1/4
1/8
1/16
1/16
12. Promień podstawy walca jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale
< 5, 10 >. Wyznacz gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej
objętość walca.
13. Funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej dana jest
wyrażeniem:
A
f ( x) = 
0
dla x ∈< 0, 6 >
dla x ∉< 0, 6 >
Wyznacz stałą A oraz wyznacz i narysuj dystrybuantę tej zmiennej losowej.
14. Funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej dana jest
wyrażeniem:
 Ax dla x ∈< 0, 2 >
f ( x) = 
 0 dla x ∉< 0, 2 >
Wyznacz stałą A oraz oblicz prawdopodobieństwo P(X > 1).
15. Funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej dana jest
wyrażeniem:
 A dla x ∈< 0, 3 >
f ( x) = 
0 dla x ∉< 0, 3 >
Wyznacz stałą A oraz oblicz wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.
16. Wyznacz funkcję gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=2X
jeżeli zmienna losowa X ma rozkład dany wyrażeniem:
exp(− x) dla x ≥ 0
f ( x) = 
dla x < 0
0
17. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej o funkcji
prawdopodobieństwa danej wyrażeniem:
exp(− x) dla x ≥ 0
f ( x) = 
dla x < 0
0
gęstości
rozkładu
18. Prawdopodobieństwo przejścia sygnału przez pojedynczy przekaźnik wynosi p=0.8.
Oblicz prawdopodobieństwo przejścia sygnału przez układ przekaźników.
19. Funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej pokazano na
rysunku:
f(x)
1
-1
1
Wyznacz i narysuj dystrybuantę tej zmiennej losowej.
x
20. Funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej pokazano na
rysunku:
f(x)
1
0.5
-1
1
x
Wyznacz i narysuj dystrybuantę tej zmiennej losowej
21. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) opisana jest przez funkcję gęstości
prawdopodobieństwa:
− x− y
dla x > 0, y > 0
e
f ( x, y ) = 
0 dla pozostaych x, y
Wyznacz prawdopodobieństwo P( 0 < X <1, 1 < Y < 2).
22. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład dany tabelą. Sprawdź czy
zmienne X i Y są losowo niezależne.
X
0
1
Y
2
3
2/8
3/8
1/8
2/8