1. (a) Do zbiornika wsypano omyłkowo zbyt wiele soli i zamiast 1000

1. (a) Do zbiornika wsypano omyłkowo zbyt wiele soli i zamiast 1000 litrów 5% roztworu soli otrzymano
1000 litrów 10% roztworu soli. Dla skorygowania pomyłki włączono pompy i zaczęto wlewać do zbiornika
czystą wodę z prędkościa 10 litrów na minutę, a równocześnie drugim otworem wylewać roztwór z tą
samą prędkością. Ile czasu potrzeba, by stężenie roztworu osiągnęło prawidłową wartość? (ln 2 ≈ 0, 6931)
(b) Prędkość rozmnażania się drożdży jest wprost proporcjonalna do ich ilości. Jeśli potrzeba 1 godziny,
by ilość drożdży się podwoiła, to ile czasu potrzeba, by wzrosła o 40%?
(ln 2 ≈ 0, 6931; ln 1, 4 ≈ 0, 3364)
(c) Szybkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otoczenia. Rozgrzany element zanurzono w cieczy o stałej temperaturze 20 o C. Po 5 minutach jego temperatura spadła
do 80 o C, a po następnych 5 minutach do 50 o C. Jaka była jego temperatura na początku?
(d) Prędkość rozpadu pierwiastka promieniotwórczego jest wprost proporcjonalna do masy substancji,
która do danej chwili jeszcze nie uległa rozpadowi. Jeśli 20% substancji rozpada się w ciągu 9 lat, to ile
rozpada się w ciągu 18 lat?
2. Znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego
ln t
y
(a) y ′ + = 2 , y(1) = 2; (b) ty ′ − y = y 2 ln t, y(1) = 0.
t
t y
3. Rozwiązać równanie różniczkowe y ′ − 2y tg t = 3 sin t.
4. Rozwiązać równanie różniczkowe z podanymi warunkami pocztkowymi:
1
2
(a) 2y ′′ − y 4 = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = √ ; (b) 1 + (y ′ ) = 2yy ′′ , y(1) = 1, y ′ (1) = 1.
5
′′
′
5. Sprawdzić, że funkcja ϕ(t) = t2 spełnia równanie t2 y + 2ty − 6y = 0. Następnie stosując metodę
obniżania rzędu znaleźć rozwiązanie ogólne tego równania.
6. Korzystając z metody uzmienniania stałych, rozwiązać równanie:
2
e−2t
(a) y ′′ + 4y ′ + 4y = 3 ; (b) y ′′ + y =
.
t
sin3 t
7. Korzystając z metody przewidywania, rozwiązać równanie y ′′ + 2y ′ + 2y = 1 + 10e2t .
(
x′ = 2x + y + sin t
8. Metodą eliminacji (podstawiania) rozwiązać układ równań
.
y ′ = −x
+ cos t
9. Metodą Eulera (wektorów własnych) rozwiązać zagadnienie początkowe
(
x′ =
x + 3y
′
y = −x + 5y
,
(
x(0) =
1
y(0) =
−1
.
W odpowiedzi podać wartości funkcji x(t), y(t) dla t = ln 2.
10. Korzystając z metody wektorów własnych (metoda Eulera) wyznaczyć jedno rozwiązanie układu równań
 ′

x = x+y
′
y = x+y .

 ′
z = z
11. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienie początkowe:
(a) y ′′ − 2y ′ + 5y = 13e−2t ,
y(0) = 0, y ′ (0) = −1;
1
(b) y ′′ − 2y ′ + 2y = 2,
y(0) = 0, y ′ (0) = −1.