Część IV

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria i Gospodarka Wodna
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Funkcja kwadratowa
4. Funkcja kwadratowa
Ogólna postać trójmianu kwadratowego
y = ax2 + bx + c,
a, b, c ∈ R,
a ̸= 0
Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy
∆ = b2 − 4ac
Równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0)
• Jeśli ∆ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste postaci x1 =
b
• Jeśli ∆ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie postaci x0 = − 2a
.
• Jeśli ∆ < 0, to równanie nie ma rozwiązania w zbiorze R.
√
−b− ∆
,
2a
x2 =
√
−b+ ∆
.
2a
Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego y = ax2 + bx + c
• Jeśli ∆ > 0, to y = a(x − x1 )(x − x2 ).
• Jeśli ∆ = 0, to y = a(x − x0 )2 .
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego y = ax2 + bx + c
y = a(x − p)2 + q,
b
∆
gdzie p = − 2a
, q = − 4a
.
Wykresem trójmianu kwadratowego jest parabola. Położenie wykresu zależy od ∆ i a. Współrzędne
wierzchołka paraboli to W = (p, q).
16
Funkcja kwadratowa
Wzory Viete’a
Jeśli trójmian kwadratowy y = ax2 + bx + c (a ̸= 0) ma dwa pierwiastki x1 , x2 , to
x1 + x2 = − ab ,
x1 · x2 =
c
a
Przykładowe zadania
1. Przedstawić trójmian kwadratowy y = x2 + 4x + 7 w postaci kanonicznej.
Rozwiązanie:
b
∆
= −2, q = − 4a
= 3,
∆ = b2 − 4ac = −12, p = − 2a
2
2
y = (x − p) + q = (x + 2) + 3.
2. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 + 5x + 6 = 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = 25 − 24 = 1, x1 =
√
−b− ∆
2a
= −3, x2 =
√
−b+ ∆
2a
= −2
Odpowiedź: x ∈ {−3, −2}.
3. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 − 4x + 4 = 0.
Rozwiązanie:
b
∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a
=2
Odpowiedź: x = 2.
4. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 + 5x + 5 = 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = −16 < 0
Odpowiedź: Nie ma rozwiązania w zbiorze R.
5. Rozwiązać nierówność kwadratową x2 − 4x − 5 < 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = 36, x1 =
√
−b− ∆
2a
= −1, x2 =
√
−b+ ∆
2a
5
-1
=5
x
Odpowiedź: x ∈ (−1, 5).
6. Rozwiązać nierówność kwadratową x2 + 6x + 9 6 0.
Rozwiązanie:
b
∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a
= −3,
-3
x
Odpowiedź: x = −3.
17
Funkcja kwadratowa
7. Rozwiązać nierówność kwadratową 2x2 + x + 3 > 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = 1 − 24 = −23
y
0
x
Odpowiedź: x ∈ R.
8. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 + 2x + 3 6 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = 16, x1 =
√
−b− ∆
2a
= 3, x2 =
√
−b+ ∆
2a
= −1
3
-1
x
Odpowiedź: x ∈ (−∞, −1] ∪ [3, +∞).
9. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 + 2x − 1 > 0.
Rozwiązanie:
b
∆ = b2 − 4ac = 0, x0 = − 2a
=1
lub
−(x2 − 2x + 1) > 0
−(x − 1)2 > 0
(x − 1)2 < 0
1
x
Odpowiedź: x ∈ ∅.
10. Rozwiązać nierówność kwadratową −x2 − 2x − 5 < 0.
Rozwiązanie:
∆ = b2 − 4ac = −16 < 0, nie ma miejsc zerowych.
y
0
Odpowiedź: x ∈ R.
18
x
Funkcja kwadratowa
11. Dla trójmianu kwadratowego y = x2 + 3x + 2 obliczyć x21 + x22 (skorzystać ze wzorów Viete’a).
Rozwiązanie:
Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Stąd a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab.
Zatem x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 .
Korzystając ze wzorów Viete’a x1 + x2 = − ab oraz x1 · x2 = ac otrzymujemy
x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2 · x1 x2 = (− ab )2 − 2 ac = (− 31 )2 − 2 · 21 = 9 − 4 = 5
Odpowiedź: 5.
Zadania
Narysować wykres funkcji:
1. f (x) = −4x2 + 16.
7. f (x) = 1 − |x2 − 2|.
2. f (x) = 4 − x2 .
8. f (x) = 2|x2 − 5x|.
3. f (x) = −3(x − 2)2 .
9. f (x) = |x2 − 5x + 6| + 2.
4. f (x) = −2x2 − |x| + 3.
10. f (x) = | − x2 + x − 7| − 1.
5. f (x) = |4x2 − 3|.
11. f (x) = −3|1 − (x − 1)2 |.
6. f (x) = 2(x + 5)2 − 1.
12. f (x) = −2|x2 − 1|.
Znaleźć postać kanoniczną:
13. f (x) = x2 − 34 x +
7
16 .
17. f (x) = −x2 + 8x − 3.
14. f (x) = 3x2 − 6x + 9.
18. f (x) = 2x2 − 8x + 11.
15. f (x) = −x2 − 7x + 6.
19. f (x) = 21 x2 − 4x − 7.
16. f (x) = −7x2 + 3x + 4.
Zapisać trójmiany kwadratowe w postaci iloczynowej:
20. f (x) = −x2 + x + 12.
23. f (x) = −5x2 + 3x + 8.
21. f (x) = x2 − 8x + 12.
24. f (x) = x2 + 8x + 16.
22. f (x) = 8x2 − 14x + 3.
25. f (x) = − 31 x2 + 5x + 18.
Rozwiązać równanie:
26. x(x − 4) + 3x + 7 = 3(x + 1).
31. (x − 4)2 = (x + 4)(2x − 1).
27. x2 − 15x − 26 = (7 − x)(x + 7) − (x + 5)2 .
32. (x + 1)(2x + 3) = 4x2 − 22.
28. x3 + 4x2 − 3 = x(x − 2)2 + 7x.
33. 2(3x + 1) + x(x + 3) = 8x.
29. 8 − 4x = 2 + 5x − 3x2 .
34. (3x − 5)(2x − 5) − x2 = 2x − 3.
30. (x + 3)2 − (x + 4)2 = 3x2 .
19
Funkcja kwadratowa
Rozwiązać nierówność:
35. −8 > x2 + 6x.
40. x(x + 19) 6 3(18 + 5x).
36. (x − 3)(2x − 5) < 4x2 − 2x − 20.
41. x2 < −4(x + 1).
37. (2x − 2)(x − 3) < (x − 4)(x + 2).
42. 4x2 − 1 < (2x − 1)(x + 3).
√
√
43. 3x2 − 4x + 3 < 0.
38. 2x(x − 10) > 4(x − 8).
39. x + 3 > (x − 2)2 .
Rozwiązać równanie:
44. |x2 − 4x − 12| = 7x.
49. |x2 − 1| = 2|x2 − 3|.
45. |x2 − x| = x − 1.
50. ||x2 − 1| − 3| = 2.
46. 2x2 + |x| = 1.
51. (|x| − 1)2 − |3x − 1| = 2.
47. |x2 − 9| + |x2 − 4| = 5.
52. (x − 1)|x + 1| − 3 = 0.
48. |x2 − 4x| = 6 − |x|.
53. x2 + 6|x − 3| = 1.
Rozwiązać nierówność:
54. |x2 − 4x + 3| < 2.
56. x|x − 1| − 5x − 14 < 0.
55. x2 − 7|x| + 6 6 0.
57. x2 − 2x 6 5|x − 1| − 7.
58. Dla jakich wartości parametru m równanie 2x2 − mx + 18 m2 + m = 0 ma dwa pierwiastki ujemne?
59. Dla jakich wartości parametru m równanie (m+1)x2 −4mx+m+1 = 0 ma dwa różne pierwiastki?
60. Dla jakich wartości parametru m równanie (m + 1)x2 + 2x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki różnych
znaków?
61. Dla jakich wartości parametru m równanie x2 + (2m − 3)x + (m − 2)2 = 0 ma dwa pierwiastki
rzeczywiste?
62. Dla jakich wartości parametru m równanie (m + 2)x2 − 4x + 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania?
63. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f (x) = −x2 + mx − m2 + 2m − 1 ma wartość ujemną dla
każdej rzeczywistej wartości zmiennej x?
64. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f (x) = mx2 + 2(m − 1)x + m − 2 ma stały znak?
65. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x2 + (3m − 1)x + 4 = 0 spełniają warunek
x21 + x22 = 1?
66. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x2 + mx + m − 2 = 0 spełniają warunek
(2x1 + x2 )(2x2 + x1 ) = 1?
Rozwiązać układ równań:
{
67.
{
68.
20
x2 − 2x − 3 = y
1 − 2x = y
2x + xy + 2y = −13
x − 2xy + y = 46
{
69.
x2 + 4x + y + 3 = 0
{
70.
x2 + 2x + 1 = y
2x2 − y + 3 = 0
2x − y − 4 = 0
{
71.
{
72.
x2 − 4x + 3 = y
x−y−1=0
|x2 − 4| = y
|x − 2| + 2x = y