PIERWIASTKI
Transkrypt
PIERWIASTKI
PIERWIASTKI Na pewno znasz już słowo „pierwiastek” na przykład z chemii. A czy wiesz co oznacza sformułowanie „pierwiastek” w matematyce? Otóż w matematyce istnieje działanie nazywane pierwiastkowaniem, jest ono ściśle związane z potęgowaniem… ZASTANÓW SIĘ: 1. Jaką liczbę nieujemną (to znaczy większą lub równą 0) należy podnieść do kwadratu (czyli do drugiej potęgi) aby otrzymać: 4 121 25 2. Jaką liczbę należy podnieść do sześcianu (czyli do trzeciej potęgi) aby otrzymać: 27 -125 W pierwszym przypadku są to liczby: 2 2 =4 2 64 11 11 = 121 5 5 = 25 -5 (-5) = -125 4 4 = 64 2 2 W drugim przypadku mamy: 3 3 = 27 3 3 3 Takie szukanie liczb, które podniesione do odpowiedniej potęgi, dadzą nam liczbę podaną wcześniej, nosi nazwę pierwiastkowania. PIERWIASTEK KWADRATOWY (STOPNIA 2) Z LICZBY NIEUJEMNEJ Symbol pierwiastka drugiego stopnia Liczba podpierwiastkowa 𝒂 = 𝒃 , 𝒂, 𝒃 ≥ 𝟎 wtedy i tylko wtedy, gdy: 𝒃𝟐 = 𝒂 Czyli: pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a, to taka liczba nieujemna b, która podniesiona do kwadratu da nam liczbę a. PRZYKŁADY 4=2 ponieważ 22 = 4 16 = 4 ponieważ 42 = 16 1=1 ponieważ 12 = 1 144 = 12 ponieważ 122 = 144 100 = 10 ponieważ 102 = 100 Dlaczego bierzemy pod uwagę tylko liczby nieujemne? Spróbuj znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu da nam -4, inaczej mówiąc oblicz −4… Oczywiście taka liczba nie istnieje, ponieważ jakakolwiek liczba podniesiona do potęgi drugiej, da nam liczę nieujemną! PIERWIASTEK SZEŚCIENNY (STOPNIA 3) Z DOWOLNEJ LICZBY Liczba oznaczająca stopień pierwiastka Liczba podpierwiastkowa 𝟑 𝒂=𝒃 wtedy i tylko wtedy, gdy: 𝟑 𝒃 =𝒂 Czyli: pierwiastek sześcienny z liczby a, to taka liczba b, która podniesiona do sześcianu da nam liczbę a. PRZYKŁADY 3 8=2 ponieważ 23 = 8 3 27 = 3 ponieważ 33 = 27 3 −8 = −2 ponieważ (−2)3 = −8 3 −125 = −5 ponieważ (−5)3 = −125 3 0,001 = 0,1 ponieważ 0,13 = 0,001 3 8 343 = 2 7 ponieważ 2 3 7 = 8 343 PIERWIASTEK STOPNIA n 𝒏 𝒂 = 𝒃 , n≥2 wtedy i tylko wtedy, gdy: 𝒃𝒏 = 𝒂 Czyli: pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, to taka liczba b, która podniesiona do n-tej potęgi da nam liczbę a. Według przyjętych tu zasad dla n parzystych a musi być liczbą nieujemną. DLA DOCIEKLIWYCH… Pierwiastek arytmetyczny jest zawszę liczbą nieujemną i może być wyciągnięty tylko z liczby nieujemnej, niezależnie od stopnia. Przypadek, kiedy pierwiastek traktujemy jako rozwiązanie równania bn = a nazywamy pierwiastkiem algebraicznym. Zasady określania pierwiastków przyjęte w tej lekcji (pierwiastki o stopniu parzystym jako pierwiastki arytmetyczne; pierwiastki o stopniu nieparzystym jako pierwiastki algebraiczne) stosowane są w nauczaniu, w celu ułatwienia zrozumienia pierwiastkowania jako działania… DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH Oto kilka zasad obowiązujących przy wykonywaniu działań na pierwiastkach: 𝒂∙𝒃= 𝒂∙ 𝒃 𝟑 𝒂∙𝒃= 𝟑 𝟑 𝒂∙ 𝒃 Przykłady: 16 ∙ 4 = 16 ∙ 3 8 ∙ 27 = 3 4=4∙2=8 3 8 ∙ 27 = 2 ∙ 3 = 6 3 ∙ 27 = 3 ∙ 27 = 81 = 9 3 3 4 ∙ 16 = 3 4 ∙ 16 = 3 64 = 4 DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH 𝒂 𝒃 𝟑 Przykłady: 9 9 3 = = 64 64 8 3 27 = 64 3 3 27 64 = 3 4 𝒂 = 𝒂 = 𝒃 𝒃 𝟑 𝟑 𝒂 𝒃 ,𝒃 ≠ 𝟎 ,𝒃 ≠ 𝟎 DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH 𝒂 𝟐 =𝒂 𝒂𝟐 = 𝒂 𝟑 𝟑 𝒂 𝟑 𝒂𝟑 = 𝒂 =𝒂 DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH Przykłady: 112 = 11 3 3 2 =3 53 = 5 3 2 3 =2 72 = 7 7∙ 7= 3 3 3 5∙2 44 = 3 36 = 3 5 2 3 =3∙2∙ 5∙ 42 2 = 42 = 16 32 3 = 32 = 9 3 5 2 =6∙ 3 5 3 = 6 ∙ 5 = 30 DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH 𝒂𝟐 ∙ 𝒃 𝒂 𝒃= 𝟑 𝒂 𝒃= 𝟑 𝒂𝟑 ∙ 𝒃 Przykłady: 12 = 4 ∙ 3 = 2 3 32 ∙ 2 = 9 ∙ 2 = 18 3 2= 3 16 = 3 8∙2 = 2 2 3 3 33 ∙ 4 = 3 4= 3 3 27 ∙ 4 = 3 108 PRZYKŁADOWE ZADANIA 1.Oblicz: − 5 2 3 3 4 4∙3 𝟐 zgodnie ze wzorem 𝒂 = 𝒂, oraz zasadą że potęgi o parzystym wykładniku są liczbami nieujemnymi. =5 4 2 =4∙3∙ 3 4 3 = 12 ∙ 4 = 48 3 ∙ 13 = 3 ∙ 13 = 36 = 6 2. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: 50 = 25 ∙ 2 = 5 2 3 24 = 3 3 8∙4 = 2 4 PRZYKŁADOWE ZADANIA 3. Zapisz krócej: 18 + 8 = 9 ∙ 2 + 4 ∙ 2 = 3 2 + 2 2 = 5 2 Dodawanie i odejmowanie możemy wykonać tylko w przypadku, gdy mamy do czynienia z pierwiastkami tego samego stopnia z tych samych liczb. 3 3 3 3 2+2 4−6 3+ 2+4 4= 4 2+6 4−6 3 35: 28 = 35: 28 = 5 ∙ 7 : 4 ∙ 7 = 5: 4 = 5: 2 = 4. Oblicz: 3 3 2−3 = 3∙ 6 2 = 1 2 3 = 3∙6 2 1 2 = 18 2 = 18 = 9=3 2 1 5 2