Arytmetyka pierwszego rzędu

Arytmetyka pierwszego rzędu
Będziemy badać arytmetykę liczb naturalnych z perspektywy logiki
pierwszego rzędu.
Słowo arytmetyka używane jest w odniesieniu do różnych teorii
dotyczących liczb naturalnych.
FOrmalności
Sygnatura arytmetyki:
Dwuargumentowe symbole funkcyjne + i ·
Jednoargumentowy symbol funkcyjny s
Symbol stałej 0
Arytmetyka zupełna
Standardowy model arytmetyki to struktura N = hN, +, ·, 0, si ze
„zwykłymi” operacjami arytmetycznymi.
Zbiór Th(N) wszystkich zdań prawdziwych w N to arytmetyka
zupełna.
Arytmetyka Peano PA
Aksjomaty PA:
∀x∀y (s(x) = s(y ) → x = y );
∀x¬(s(x) = 0)
∀x (x + 0 = x);
∀x∀y (x + s(y ) = s(x + y ));
∀x (x · 0 = 0);
∀x∀y (x · s(y ) = (x · y ) + x);
∀x (ϕ(x) → ϕ(s(x))) → (ϕ(0) → ∀x ϕ(x)),
N |= PA.
Modele niestandardowe
Fakt
Dla dowolnej mocy m ≥ ℵ0 istnieje niestandardowy model
arytmetyki mocy m, tj. struktura mocy m
M = hM, ⊕, ⊗, 0, Si
która jest elementarnie równoważna N ale nieizomorficzna z N.
Dowód:
Na mocy Tw. Skolema-Löwenheima.
β-funkcja Gödla
Lemat o β-funkcji, Gödel
Istnieje funkcja β : N × N → N o następujących własnościach:
Semantyczne:
Dla każdego ciągu ā = a0 , . . . , ar liczb naturalnych
istnieje liczba naturalna p taka, że
dla każdego 0 ≤ i ≤ r
zachodzi β(p, i) = ai .
Składniowe:
Istnieje formuła arytmetyki χ(x1 , x2 , x3 ) taka, że
(N, x1 : p, x2 : i, x3 : a) |= χ wtw , gdy β(p, i) = a.
Funkcje definiowalne w N
Twierdzenie (Gödel)
Dla dowolnej częściowej funkcji obliczalnej f : Nk −◦ N
istnieje taka formuła ϕ, że
(N, x1 : n1 , . . . , xk : nk , y : m) |= ϕ wtw, gdy f (n1 , . . . , nk ) = m
Nieobliczalność Th(N)
Twierdzenie
Teoria Th(N) nie jest obliczalna
Ani teoria Th(N), ani jej dopełnienie nie są częściwo obliczalne
Dowód, część pierwsza
Dla dowolnego częściowo obliczalnego A ⊆ N istnieje ϕ(x) t.
że
(N, x : n) |= ϕ wtw, gdy n ∈ A
Zatem
ϕ(n) ∈ Th(N) wtw, gdy n ∈ A
gdzie n oznacza s n (0)
Stąd obliczalność Th(N) implikowałaby obliczalność problemu
stopu
Dowód, część druga
Następujący problem A nie jest częściowo obliczalny i jego
dopełnienie nie jest częściowo obliczalne:
Dane: Kod maszyny Turinga M
Pytanie: Czy M zatrzymuje się dla każdego słowa
wejściowego?
Ten problem można wyrazić w arytmetyce:
Dla każdego słowa w istnieje kod obliczenia M
akceptującego to słowo.
Zbiór A jest definiowalny formułą arytmetyki
Teoria Th(N) musi być co najmniej tak skomplikowana jak A.
Twierdzenie Gödla o niezupełności
Kiedyś przypuszczano, że PA jest teorią zupełną:
Th(N) = {ϕ | PA `H ϕ}
Twierdzenie Gödla o niezupełności
Istnieje takie zdanie Z w języku arytmetyki, że
PA 6`H Z
PA 6`H ¬Z .
Dowód
Zbiór aksjomatów PA jest obliczalny
Zbiór wszystkich twierdzeń teorii PA jest częściowo obliczalny
Th(N) nie jest częściwo obliczalna
Zatem te dwa zbiory są różne
Twierdzenie Gödla o niezupełności
Twierdzenie Gödla działa dla każdego zbioru aksjomatów, który
jest:
niesprzeczny
częściowo obliczalny
zawiera PA
Oryginalny dowód Gödla
Numerujemy wszystkie symbole języka arytmetyki:
Symbol:
Numer:
0
1
s
2
+
3
·
4
⊥
5
→
6
=
7
∀
8
Używając β-funkcji możemy operować termami, formułami,
dowodami, jako ciągami liczb.
αi – formuła o numerze i.
(
9
)
10
Oryginalny dowód Gödla
Niech ϕ(x) taka formuła, że
N |= ϕ(n) wtw, gdy n to numer formuły o jednej zmiennej wolnej
Niech σ(x, y ) taka formuła, że
N |= σ(n, m) wtw, gdy gdy
m jest numerem formuły αm (x) o jednej zmiennej wolnej,
n jest numerem zdania αm (m).
W skrócie:
N |= σ(n, m) wtw, gdy n jest numerem zdania αm (m)
Dygresja
Twierdzenie Tarskiego o niewyrażalności prawdy
Nie istnieje formuła π(x) spełniająca
N |= π(n) wtw, gdy n jest numerem zdania prawdziwego w N
Dowód:
Przypuśćmy, że π(x) istnieje. Wyrażamy paradoks kłamcy.
Niech τ (x) to
∃y (σ(y , x) ∧ ¬π(y ))
Dygresja cd
Wówczas N |= τ (n) wtw, gdy, gdy
n jest numerem formuły αn (x) o jednej zmiennej wolnej,
αn (n) jest fałszywe w N.
Formuła τ (x) ma numer, powiedzmy k.
N |= τ (k) wtw, gdy N |= ¬αk (k)
αk (k) to właśnie formuła τ (k). A zatem:
N |= τ (k) wtw, gdy N |= ¬τ (k)
Zdanie τ (k) stwierdza „Ja jestem fałszywe w N”
Tarskiego rozstrzygnięcie paradoksu kłamcy
Pojęcie „zdania prawdziwego” jest niewyrażalne w języku polskim
oraz w innych językach naturalnych
Oryginalny dowód Gödla cd
Używamy formuły π 0 (x) o własności
N |= π 0 (n) wtw, gdy n jest numerem zdania dowodliwego w PA
Niech τ 0 (x) to
∃y (σ(y , x) ∧ ¬π 0 (y ))
Wówczas N |= τ 0 (n) wtw, gdy, gdy
n jest numerem formuły αn (x) o jednej zmiennej wolnej,
αn (n) jest niedowodliwe w PA
Ja jestem niedowodliwe w PA
Niech k 0 to numer τ 0
Otrzymujemy
N |= τ 0 (k 0 ) wtw, gdy PA 6`H τ 0 (k 0 )
Sprzeczność:
Niech Z to τ 0 (k 0 ).
Jeśli PA `H Z to N 6|= Z
Jeśli PA `H ¬Z , to z jednej strony N |= ¬Z , a z drugiej
N |= Z
Drugie twierdzenie o niezupełności Gödla
Niech:
m to numer zdania „⊥”
Con oznacza ¬π 0 (m).
Otrzymujemy
PA `H Con → Z
Wniosek (drugie twierdzenie o niezupełności Gödla)
PA 6`H Con
Deser: jeszcze jeden dowód Twierdzenia Gödla o
niezupełności
Paradoks Berry’ego:
p to najmniejsza liczba naturalna, której nie można
jednoznacznie określić wyrażeniem o mniej niż
czterdziestu sylabach.
p jest jedncześnie definiowalna 40 sylabami i niedefiniowalna 40
sylabami.
Złożoność Kołmogorowa
M – ustalona uniwersalna maszyna Turinga
x ∈ {0, 1}∗
C (x) = min{|p| : p ∈ {0, 1}∗ , M(p) = x}
Dla każdego n istnieje x długości n taki, że C (x) ≥ n
Dowód:
P
i
n
Wszystkich programów p krótszych niż n jest n−1
i=0 2 = 2 − 1
Złożoność Kołmogorowa
Niech ξ(x, y ) wyraża: “x jest pierwszym leksykograficznie ciągiem,
który spełnia C (x) ≥ y ”.
Dla każdego m ∈ N istnieje dokładnie jedno n ∈ N takie, że
N |= ξ(n, m).
Tylko dla skończenie wielu m istnieje takie n, że
PA `H N |= ξ(n, m).