Zadania do wykładu ”Matematyka bankowa 1 i 2”

Zadania do wykładu ”Matematyka bankowa 1 i 2”
Dorota Klim
Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science,
University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland
E-mail address: [email protected]
http://math.uni.lodz.pl/ ˜ klimdr/
LITERATURA:
[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN
[2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN
[3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet
[4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa
[5 ] M. Capinski, T. Zastawniak, Mathematics for Finance: An Introduction to
Financial Engineering, Springer
1
Kapitalizacja prosta zgodna
Zadanie 1 Jaką kwotę utworzy po czterech latach kapitał 400 jp w modelu kapitalizacji prostej rocznej przy rocznej stopie procentowej 15%?
Zadanie 2 Jaka kwota utworzy po pięciu latach kapitał o wartości 200 jp w modelu
kapitalizacji prostej rocznej, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 5%?
Zadanie 3 Hurtownia udziela nabywcom towarów kredytu kupieckiego w postaci odroczonego o miesiąc terminu płatności faktury. Jeżeli zapłata nastąpi natychmiast,
to nabywcy towaru przysługuje prawo skorzystania ze skonta 10%. Wartość zakupionego towaru wynosi 12 tys. jp. Czy opłaca się zaciągnać kredyt bankowy i skorzystać
ze skonta, jeżeli miesięczna stopa kredytu bankowego wynosi 4% i bank stosuje kapitalizację miesięczną prostą?
Zadanie 4 Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 58 tys. jp. Jaka była cena
samochodu przed podwyżką?
Zadanie 5 Ustalić stan książeczki oszczędnościowej po 10 latach w modelu kapitalizacji prostej przy rocznej stopie procentowej 12%, jeśli dokonano w niej następujących operacji finansowych: na początku wpłacono 10 jp, po pięciu latach wpłacono
20 jp, po następnym roku wypłacono 15 jp.
Zadanie 6 Przy jakiej rocznej stopie procentowej r i kapitalizacji rocznej prostej
kapitał 58 jp wygeneruje odsetki w wysokości 5 jp w ciągu dwóch lat?
Zadanie 7 Po ilu latach kapitał 17 jp podwoi swoją wartość w modelu kapitalizacji
prostej rocznej przy rocznej stopie procentowej 10%?
Zadanie 8 Wyznaczyć wielkość rocznego współczynnika akumulacji w modelu kapitalizacji miesięcznej przy stopie 1, 5% w skali miesiąca.
Zadanie 9 Jeżeli roczny współczynnik akumulacji wynosi 1, 06, to jakiej wielkości
odsetki zostaną wygenerowane przez kapitał 100 jp po pół roku w modelu kapitalizacji
miesięcznej.
Zadanie 10 O ile zmniejszy się kapitał 400 jp skapitalizowany na pół roku przy miesięcznej stopie 2%, jeżeli zdyskontujemy go na dwa miesiące w modelu kapitalizacji
miesięcznej.
2
Kapitalizacja złożona z dołu zgodna
Zadanie 11 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 300 jp po 5 latach w modelu kapitalizacji złożonej z dołu rocznej przy rocznej stopie 7%.
Zadanie 12 Przy jakiej rocznej stopie procentowej r i kapitalizacji rocznej złożonej
z dołu kapitał P podwoi swoją wartość po 8 latach?
Zadanie 13 Ile wynosi
1. półroczny
2. roczny
czynnik akumulacji, jeżeli po pół roku kapitał 300 jp wygenerował odsetki 50 jp przy
miesięcznej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 14 Ustalić stan konta po 15 miesiącach, jeżeli dokonano następujących
operacji: na początku wpłacono 100 jp, następnie po trzech miesiącach wpłacono 80
jp, po kolejnych pięciu miesiącach wypłacono 30 jp. Bank stosuje model oprocentowania miesięcznego przy stopie 0, 5%.
Zadanie 15 Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 jp, złożoną w banku według rocznej stopy 12%. Jak należy podzielić spadek, aby w momencie
osiągnięcia przez każde z dzieci 21 lat wartości przyszłe części spadku każdego dziecka
były takie same?
Zadanie 16 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt
kwotę 10000 jp według rocznej stopy 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy
20%.
Zadanie 17 Jaką wartość osiągnie kapitał 1800 jp po 4 latach oprocentowania rocznego przy rocznej stopie 6%? Jaką wartość mają odsetki naliczone za każdy rok? Przy
jakiej stopie łączna wartość 4-letnich odsetek byłaby większa o 58 jp?
Zadanie 18 Po ilu latach oprocentowania rocznego złożonego przy stopie 5, 52%
wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za kolejne
2 lata?
Zadanie 19 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank
stosuje
1. model kapitalizacji rocznej przy rocznej stopie 12%?
2. model kapitalizacji półrocznej przy półrocznej stopie 6%?
3. model kapitalizacji miesięcznej przy miesięcznej stopie 1%?
Zadanie 20 Na początku każdego z czterech kolejnych lat wpłacano na konto kwoty
odpowiednio: 20 jp, 40 jp, 15 jp, 10 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10%. Ustalić
stan oszczędności na koniec 6 roku, jeżeli bank stosuje model kapitalizacji rocznej.
Zadanie 21 Według reguły 70 obliczyć przybliżony czas podwojenia wartości kapitału przy oprocentowaniu rocznym o stopie: a) r = 2, 5%, b) r = 7, 5%.
Zadanie 22 Według reguły 70 obliczyć przybliżoną wartość stopy oprocentowania
rocznego, przy której kapitał podwoi swoją wartość w czasie: a) 7 lat, b) 10 lat.
3
Kapitalizacja złożona z góry zgodna.
Porównanie kapitalizacji złożonych z dołu i z góry
zgodnych.
Zadanie 23 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 500 jp po 4 latach w modelu
kapitalizacji złożonej z góry rocznej przy rocznej stopie 7%?
Zadanie 24 Obliczyć wartość 2-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli roczna stopa
wynosi 8, 88% i kapitalizacja jest roczna złożona z góry.
Zadanie 25 Ile wynosi
1. półroczny
2. roczny
czynnik akumulacji, jeżeli po roku roku kapitał 300 jp wygenerował odsetki 50 jp w
modelu kapitalizacji złożonej z góry
a) miesięcznej?
b) półrocznej?
Zadanie 26 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank
stosuje
1. model kapitalizacji rocznej złożonej z góry przy rocznej stopie 12%?
2. model kapitalizacji półrocznej złożonej z góry przy półrocznej stopie 6%?
3. model kapitalizacji miesięcznej złożonej z góry przy miesięcznej stopie 1%?
Zadanie 27 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: roczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 6%, czy roczna kapitalizacja złożona z
góry przy rocznaj stopie 5%?
Zadanie 28 W banku A obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznaj
stopie procentowej 8, 5%. W banku B obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z góry
przy rocznaj stopie procentowej r. Ile musi wynosić r aby wartości przyszłe kapitału
P , otrzymane odpowiednio w banku A i B, po pięciu latach były identyczne? Czy
wartości te będą identyczne również po 10 latach?
Zadanie 29 Jaką wartość mają odsetki naliczone za 9 rok, jeśli kapitał 100 jp wygenerował odsetki w wysokości 15 jp po 5 latach oprocentowania złożonego z góry
rocznego?
Zadanie 30 Do banku wpłacono 20 jp. Przez pierwsze trzy lata obowiązywała półroczna kapitalizacja złożona z dołu przy półrocznej stopie 5%, przez następne dwa
lata obowiązywała kwartalna kapitalizacja złożona z góry przy kwartalnej stopie 2%.
Wyznaczyć wartość przyszłą po pięciu latach.
Zadanie 31 Ile wynosi kwartalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z góry odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp?
4
Kapitalizacja podokresowa
Zadanie 32 Wyznaczyć wartość przyszłą 700 jp po dwóch latach w modelu kapitalizacji złożonej z dołu
1. dwuletniej
2. rocznej
3. dziennej
przy stopie nominalnej 7%.
Zadanie 33 Wyznaczyć wartość przyszłą kwoty 1000 jp po dwóch latach w modelu
oprocentowania złożonego z góry
1. przy rocznej kapitalizacji odsetek
2. przy miesięcznej kapitalizacji odsetek
3. przy tygodniowej kapitalizacji odsetek
i stopie nominalnej 7%.
Zadanie 34 Ile wynosi nominalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z dołu odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2
jp?
Zadanie 35 Porównując roczne czynniki akumulacji sprawdzić, która lokata jest
korzystniejsza: 3-miesięczna przy kapitalizacji odsetek z góry i stopie nominalnej
5, 7%, czy 3-miesięczna przy kapitalizacji odsetek z dołu i stopie nominalnej 5, 9%
Zadanie 36 Ile musi wynosić nominalna stopa r, aby wartość 5-letnich odsetek od
kwoty 1000 jp wyniosła przynajmniej 500 jp w modelu kapitalizacji dziennej
1. prostej?
2. złożonej z dołu?
3. złożonej z góry?
Zadanie 37 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji
1. czteroletniej
2. rocznej
3. miesięcznej
złożonej z dołu przy nominalnej stopie 12%.
Zadanie 38 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji w modelu kapitalizacji
1. dwuletniej
5
2. rocznej
3. kwartalnej
złożonej z góry przy nominalnej stopie 10%.
Zadanie 39 Po ilu latach oprocentowania złożonego
1. z dołu
2. z góry
przy nominalnej stopie 15% kapitał P = 2500 jp wygeneruje odsetki
a) I = 2500 jp.
b) I = 3000 jp.
Zadanie 40 Obliczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp po trzech latach, jeśli bank
stosuje kapitalizację złożoną
1. z dołu kwartalną
2. z góry półroczną
oraz nominalną stopę 6%.
Zadanie 41 Co jest korzystniejsze: miesięczna kapitalizacja złożona z dołu przy
nominalnej stopie 12%, czy miesięczna kapitalizacja złożona z góry przy nominalnej
stopie
a) 12%?
b) 11%?
Zadanie 42 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 500 jp po roku w modelu
kapitalizacji złożonej z dołu
1. rocznej
2. miesięcznej
3. dziennej
przy nominalnej stopie 7%?
Zadanie 43 Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna
stopa wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się
1. po każdym półroczu.
2. po każdym miesiącu.
Zadanie 44 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: roczna kapitalizacja złożona z dołu przy nominalnej stopie 12%, czy półroczna kapitalizacja złożona z góry
przy nominalnej stopie 11%?
Zadanie 45 W banku A stosowany jest model kapitalizacji złożonej z dołu półrocznej przy nominalnej stopie r0 = 2, 7%, zaś w banku B model kapitalizacji złożonej z
góry miesięcznej przy nominalnej stopie r00 . Ile musi wynosić r00 , aby roczne czynniki
akumulacji w obu modelach kapitalizacji były identyczne?
6
Kapitalizacja ciągła
Zadanie 46 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 12%,
czy miesięczna kapitalizacja złożona z góry przy
1. nominalnej stopie 12%?
2. nominalnej stopie 10%?
Zadanie 47 Oblicz przyszłą wartość kapitału 100 jp po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej r = 3%.
Zadanie 48 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy
stopie nominalnej r = 9% od kapitału początkowego P = 100 jp.
Zadanie 49 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego P = 480 jp do
kwoty F = 800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie
procentowej r = 6%?
Zadanie 50 Jakiej wielkości kapitał początkowy po 9 latach wygeneruje odsetki I =
348 jp w modelu kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie r = 6%?
Zadanie 51 Obliczyć największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych w
ciągu 4 lat przez kapitał P = 4000 jp przy nominalnej stopie 14, 5%.
Zadanie 52 Ile zarobi, bądź straci właściciel kapitału 200 jp, jeśli po 9 miesiącach
od dnia wpłaty bank z kapitalizacji dziennej złożonej a) z dołu, b) z góry, przeszedł
na kapitalizację ciągłą przy nominalnej stopie procentowej r = 4%?
Zadanie 53 Jaka będzie przyszła wartość F kapitału P = 5000 jp po 6 latach, jeśli
bank przez pierwsze 2 lata stosował nominalną stopę 2% a następnie nominalną stopę
1, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej?
Zadanie 54 Po ilu latach kapitał podwoi swoją wartość przy rocznej stopie procentowej 12% i ciągłej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 55 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 10%,
czy półroczna kapitalizacja złożona z dołu przy
1. nominalnej stopie 12%?
2. nominalnej stopie 10%?
3. nominalnej stopie 8%?
Zadanie 56 Oblicz przyszłą wartość kapitału 300 jp po 5 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej 5%.
Zadanie 57 Oblicz odsetki po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej
r = 9% od kapitału początkowego P = 50 jp.
7
Zadanie 58 Po ilu latach kapitał 580 jp wygeneruje odsetki 200 jp w modelu kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie procentowej r = 4%?
Zadanie 59 Jaka będzie przyszła wartość kapitału 1000 jp po 5 latach, jeśli bank
przez pierwsze 3 lata stosował nominalną stopę 3% a następnie nominalną stopę
2, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej?
Zadanie 60 Po ilu latach kapitał podwoi swoją wartość przy rocznej stopie procentowej 11% i ciągłej kapitalizacji odsetek?
8
Równoważność warunków oprocentowania
Zadanie 61 Bank A stosuje kapitalizację półroczną złożoną z dołu przy rocznej stopie rA = 8%, zaś bank B kapitalizację kwartalną złożoną z góry przy rocznej stopie
rB = 6%. Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważne?
Zadanie 62 W banku A obowiązuje kapitalizacja złożona z dołu półroczna przy stopie nominalnej 18%, w banku B obowiązuje kapitalizacji złożona z dołu kwartalna
przy stopie nominalnej r. Ile musi wynosić stopa r, aby warunki oprocentowania w
banku A i B były równoważne?
Zadanie 63 W banku A obowiązuje kapitalizacja złożona z góry kwartalna przy
stopie nominalnej 14%, w banku B obowiązuje kapitalizacji złożona z góry roczna
przy stopie nominalnej r. Ile musi wynosić stopa r, aby warunki oprocentowania w
banku A i B były równoważne?
Zadanie 64 Mając nominalną stopę oprocentowania prostego rocznego 18% wyznaczyć równoważną stopę oprocentowania:
1. miesięcznego
2. tygodniowego
3. 2-letniego
prostego.
Zadanie 65 Mając półroczną stopę 6% wyznaczyć równoważną stopę kwartalną w
modelu kapitalizacji prostej.
Zadanie 66 Model kapitalizacji półrocznej złożonej z dołu ze stopą nominalną 23%
zamienić na model kapitalizcji
1. kwartalnej złożonej z dołu
2. rocznej złożonej z dołu
3. miesięcznej złożonej z góry
4. ciągłej
zachowując równoważność warunków oprocentowania.
Zadanie 67 Mając nominalną stopę 19% w modelu oprocentowania złożonego z dołu
dziennego wyznaczyć nominalną stopę oprocentowania złożonego z dołu rocznego z
zachowaniem równoważności warunków oprocentowania.
Zadanie 68 Obliczyć
1. tygodniową
2. miesięczną
9
3. roczną
stopę równoważną stopie kwartalnej 3% w kapitalizacji złożonej z dołu.
Zadanie 69 Obliczyć
1. dzienną
2. półroczną
3. roczną
stopę równoważną stopie kwartalnej 3% w kapitalizacji złożonej z góry.
Zadanie 70 Sprawdzić, czy równoważne są następujący stopy oprocentowania złożonego z dołu: kwartalna stopa 3% oraz półroczna stopa 6%.
Zadanie 71 Zbadać równoważność warunków oprocentowania przy stopach nominalnych r = 12, 6% w kapitalizacji złożonej z dołu rocznej i rc = 12% w kapitalizacji
ciągłej.
Zadanie 72 Dla stopy r = 24% oprocentowania rocznego złożonego z dołu obliczyć
równoważną stopę oprocentowania
1. półrocznego złożonego z dołu,
2. kwartalnego złożonego z góry,
3. miesięcznego prostego,
4. ciągłego,
a następnie przy użyciu stopy równoważnej obliczyć dwuletnie odsetki od kapitału
1000 jp.
Zadanie 73 Mając półroczną kapitalizację złożoną z góry przy nominalnej stopie
r = 12% wyznaczyć kwartalną stopę równoważną stopie półrocznej.
Zadanie 74 Jeśli nominalna stopa procentowa w modelu kaptalizacji ciągłej wynosi
10%, to jakie powinny być równoważne stopy procentowe dla kapitalizacji
1. miesięcznej z dołu?
2. półrocznej z góry?
Zadanie 75 Model kapitalizacji półrocznej złożonej z góry ze stopą nominalną 18%
zamienić na model kapitalizcji
1. rocznej złożonej z góry
2. rocznej złożonej z dołu
3. miesięcznej złożonej z góry
4. ciągłej
zachowując równoważność warunków oprocentowania.
Zadanie 76 Mając nominalną stopę 15% w modelu oprocentowania złożonego z góry
tygodniowego wyznaczyć nominalną stopę oprocentowania złożonego z góry rocznego
z zachowaniem równoważności warunków oprocentowania.
10
Zadanie 77 Bank zmienił oprocentowanie z 30% na 32%. Równocześnie bank wydłużył kapitalizację z kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku,
że zmiana ta nie pogorszy sytuacji klientów banku, jeśli odsetki są kapitalizowane z
dołu?
Zadanie 78 Zamierzamy wpłacić na rachunek bankowy kwotę 1000 jp. Bank A oferuje nominalną stopę rA = 3% przy półrocznej kapitalizacji odsetek z dołu, bank B
oferuje nominalną stopę rB = 2, 8% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek z góry, zaś
bank C oferuje nominalną stopę rC = 2, 4% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek z
dołu. Wyznaczając stopę efektywną sprawdzić, który bank oferuje najkorzystniejsze
warunki oprocentowania?
Zadanie 79 Wyznaczyć wartość 100 jp po 10 latach kapitalizacji półrocznej złożonej
a) z dołu, b) z góry, z nominalną stopą r = 24%.
Zadanie 80 Pewien kapitał ulokowano na procent składany (model kapitalizacji złożonej z dołu). Kapitalizacja odsetek następuje pod koniec każdego kwartału, a efektywna stopa procentowa jest równa 13%. Ile wynosi równoważna kwartalna stopa
procentowa a ile nominalna?
Zadanie 81 Efektywna stopa procentowa wynosi 14%. Obliczyć równoważną okresową i nominalną stopę oprocentowania złożonego z dołu przy kapitalizacji
1. co kwartał.
2. co 4 miesiące.
3. co 1,5 miesiąca.
Zadanie 82 Wyznaczyć przyszłą wartość 100 jp po roku i 8 dniach w modelu kapitalizacji złożonej z góry dziennej przy nominalne stopie r = 8%.
Zadanie 83 Wyznaczyć przyszłą wartość 500 jp po 2 latach i 2 tygodniach, jeśli
bank stosuje kapitalizację złożoną z dołu tygodniową przy stopie nominalnej r = 9%.
Zadanie 84 Kwotę 100 jp ulokowano na rachunku na okres 2 lat. Nominalna stopa
procentowa w kolejnych latach kształtowała się następująco: 23% i 20%. Jaki będzie stan konta po tym okresie, jeśli kapitalizacja odsetek miała miejsce na początku
każdego kwartału. Wyznacz efektywną stopę dla każdego roku.
Zadanie 85 Firma zamierza sprzedać nieruchomość drogą przetargu. Otrzymała
oferty od trzech nabywców. Pierwszy z nich chciałby ją kupić natychmiast regulując
należność gotówką w wysokości 25000 jp, drugi proponuje sume 26000 jp przy uregulowaniu należności za rok, trzeci zaś gotów jest zapłacić 28000 jp, ale po upływie 3
lat. Którą ofertę powinna wybrać firma, jeśli istnieje możliwość ulokowania gotówki
w banku, przy oprocentowaniu złożonym z dołu 35% w skali roku?
Zadanie 86 Złożono w banku kapitał w wysokości 4000 jp. Po upływie 10 lat kwota
kapitału wzrosła do 5000 jp. Jaka będzie kwota kapitału po upływie dalszych 4 lat?
11
Zadanie 87 Wyznacz wartość kapitału 1900 jp po 1, 5 roku przy oprocentowaniu
ciągłym i stopie procentowej 13% w skali roku.
Zadanie 88 Po jakim czasie kapitał 300 jp wygeneruje odsetki 28 jp przy ciągłej
kapitalizacji odsetek i stopie 19% w skali roku?
Zadanie 89 Ulokowano w banku depozyt w wysokości 1200 jp na 14% w skali roku
przy kwartalnej kapitalizacji odsetek z góry. Czy warunki oprocentowania się pogorszą, jeśli stopa procentowa będzie obniżona o 2 pkt procentowe i kapitalizacja z góry
zostanie zastąpiona kapitalizacją z dołu? Oblicz zysk bądź stratę właściciela depozytu.
Zadanie 90 Bank A oferuje rachunek oszczędnościowy oprocentowany 5, 25% w
skali roku przy dziennej kapitalizacji odsetek. Bank B oferuje lokatę terminową 3miesięczną oprocentowaną 6% w skali roku. Która z ofert bankowych jest korzystniejsza, jeśli w ciągu roku nie planujemy żadnej wypłaty?
Zadanie 91 Wyznacz wartość przyszłą kapitału 500 jp po 5 tygodniach w modelu
kapitalizacji złożonej z dołu miesięcznej przy stopie nominalnej 14%.
Zadanie 92 Jaka jest nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji złożonej
z dołu miesięcznej, jeśli stopa efektywna wynosi 27%?
Zadanie 93 Jaka jest nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji złożonej
z góry kwartalnej, jeśli stopa efektywna wynosi 24%?
Zadanie 94 Jaka jest wartość kapitału 300 jp po roku i 2 miesiącach w modelu
kapitalizacji złożonej z dołu kwartalnej przy stopie nominalnej 11%?
Zadanie 95 Jaka jest wartość kapitału 100 jp po 82 dniach w modelu kapitalizacji
złożonej z góry miesięcznej przy stopie nominalnej 6, 7%?
Zadanie 96 Wyznaczyć stopę efektywną dla nominalnej stopy procentowej 17% przy
ciągłej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 97 Pewien kapitał złożono na procent składany. Kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, a efektywna stopa procentowa wynosi 13%. Ile wynosi zgodna
stopa procentowa, odpowiadająca tej efektywnej, a ile nominalna?
12
Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej
Zadanie 98 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła:
11%, 9%, 5%, 8%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeśli bank
stosował kapitalizację kwartalną
1. prostą.
2. złożoną z dołu.
3. złożoną z góry.
Zadanie 99 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 4% a
przez kolejne pół roku była większa o 0, 5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną
efektywną stopę procentową równoważną przeciętnej półrocznej stopie procentowej,
jeśli bank stosował kapitalizację półroczną złożoną z góry.
Zadanie 100 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła:
10%, 11%, 10%, 9%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną
przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację miesięczną złożoną z dołu.
Zadanie 101 Odsetki od 2-letniej lokaty 1500 jp obliczono według zmiennej stopy
procentowej. Stopa nominalna w pierwszym i drugim roku wynosiła, odpowiednio,
10% oraz 12%. W pierwszym roku odsetki były kapitalizowane co miesiąc, w drugim
na koniec roku. Obliczyć
1. dwuletni czynnik akumulacji oprocentowania lokaty.
2. przeciętną roczną stopę oprocentowania lokaty.
3. odsetki należne na koniec drugiego roku.
Zadanie 102 Bank A proponuje 3-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy
zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa rc wyniesie 3% i będzie się
zwiększać o 0, 3 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponuje
lokatę 3-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z góry przy stopie nominalnej
3, 5%. Która z lokat jest korzystniejsza dla klienta.
Zadanie 103 Bank A proponował 5-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy
zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 4% i
była zmniejszana o 0, 1 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B
proponował lokatę 5-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z dołu przy stopie
nominalnej 4%. Która z lokat była korzystniejsza dla klienta.
Zadanie 104 Pięcioletnia lokata o wartości początkowej 5000 jp podlega rocznemu oprocentowaniu z dołu o zmiennej rocznej stopie procentowej: 3%, 3%, 3, 02%,
3, 12%, 2, 9%. Wyznaczyć roczną stopę przeciętną i miesięczną stopę przeciętna równoważną rocznej oraz wartość przyszłą kapitału po pięciu latach.
13
Zadanie 105 W ciągu dwóch lat oprocentowanie rachunku bankowego było zmieniane wielokrotnie. W pierwszym półroczu stopa nominalna wynosiła 7%, a odsetki
kapitalizowano pod koniec każdego kwartału. W trzecim kwartale odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego miesiąca, a stopa nominalna wynosiła 6%. Następnie
przez kolejne dwa miesiące obowiązywała kapitalizacja dwumiesięczna z dołu przy
stopie nominalnej 6, 5%, przez kolejne pół roku odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego kwartału przy stopie nominalnej 5, 75% a następnie do końca czasu
oprocentowania lokaty obowiązywała kapitalizacja miesięczna z dołu przy nominalnej stopie 6, 3%. Obliczyć
1. efektywną stopę procentową dla każdego roku.
2. przeciętną stopę kwartalną.
3. wartość kapitału 100 jp po dwóch latach stosując zmienne stopy podokresowe,
stopy efektywne, stopy przeciętne.
Zadanie 106 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8%, 8, 2%, 8, 1%, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%. Wyznaczając
przeciętną roczną stopę procentową w czasie 4 lat sprawdzić, który bank oferował
korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu kapitalizacji
1. prostej.
2. miesięcznej złożonej z dołu.
3. kwartalnej złożonej z góry.
Zadanie 107 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła:
8, 1%, 8, 2%, 8%, 7, 8%, 7, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%, 7, 7%.
Wyznaczając przeciętną
1. roczną
2. podokresową
stopę procentową w czasie 5 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki
oprocentowania w modelu kapitalizacji
1. prostej kwartalnej.
2. pólrocznej złożonej z dołu.
3. miesięcznej złożonej z góry.
Zadanie 108 Nominalna stopa lokaty 3-miesięcznej zmieniała się co kwartał i wynosiła 6, 5%, 6, 4%, 6, 6%, 6, 7%. Wyznaczyć przeciętną kwartalną i roczną stopę w
czasie roku, jeśli bank stosował kapitalizację
1. prostą.
2. złożoną z dołu.
14
3. złożoną z góry.
Zadanie 109 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 6% a
przez kolejne pół roku była większa o 0, 2 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i
półroczną stopę przeciętną, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną złożoną z dołu.
Zadanie 110 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła:
5, 5%, 5, 7%, 5, 4%, 5%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową równoważną
przeciętnej kwartalnej stopie procentowej, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną
złożoną z dołu.
Zadanie 111 Bank A oferuje lokatę 3-miesięczną przy stopie procentowej (nominalnej) 5, 8%, zaś bank B lokatę półroczną przy stopie procentowej (nominalnej)
5, 6%. W banku A w kolejnych kwartałach roku stop procentowa zmniejszała się o
0, 1 punktu procentowego, zaś w banku B po pół roku stopa procentowa zwiększyła się
o 0, 2 punku procentowego. Która z lokat jest korzystniejsza w ciągu roku?
15
Dyskonto. Dyskontowanie
Zadanie 112 Opłata za 3-miesięczną pożyczkę w wysokości 5000 jp ma postać dyskonta przy (rocznej) stopie dyskontowej d = 15%. Ile dłużnik otrzyma w momencie
otrzymania pożyczki?
Zadanie 113 Bank A proponuje 15-miesięczną lokatę z odsetkami płatnymi z dołu
naliczanymi wg. stopy nominalnej r = 7%, zaś bank B 15-miesięczną lokatę z odsetkami płatnymi z góry naliczanymi wg. stopy rocznej d = 5%. Która z lokat jest
korzystniejsza?
Zadanie 114 Kwotę 2800 jp spłacono po 3 miesiącach kwotą 2950 jp. Przyjmując,
że opłatą za pożyczkę były:
a) odsetki płatne z dołu, obliczyć r;
b) odsetki płatne z góry, obliczyć d.
Zadanie 115 Opłata za 6-miesięczny kredyt w wysokości 10000 jp ma postać dyskonta przy (rocznej) stopie dyskontowej d równoważnej stopie r = 12, 75% w okresie
6 miesięcy. Ile wynosi ta opłata? Ile wyniosłaby ta opłata przy kredycie większym o
5000 jp?
Zadanie 116 Mając (roczną) stopę dyskontową d = 2, 5% i (roczną) stopę procentową r = 1, 5% zbadać czy istnieje czas,w którym te stopy są równoważne.
Zadanie 117 W dniu 11.02.2007 pan Kowalski otrzymał kwotę 9300 jp, podpisując
weksel o nominale 10000 jp z terminem wykupu 9.06.2007. Obliczyć stopę d. Obliczyć
stopę r oprocentowania pożyczki płatnej z dołu w wysokości 9300 jp udzielonej na
ten sam czas, równoważną stopie d.
Zadanie 118 Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców o wartości 45600 jp. Jaka powinna być wartość nominalna weksla, zabezpieczającego tę transakcję, jeżeli strony zgodziły się na zastosowanie rocznej stopy
d = 11%?
Zadanie 119 Jaką kwotę otrzymała firma X za weksel o wartości nominalnej 10000
jp z terminem wykupu za 96 dni zdyskontowany w banku przy rocznej stopie d =
7, 5%? O ile wyższa byłaby ta kwota, gdyby stopa dyskontowa była niższa o 1 punkt
procentowy?
Zadanie 120 Bank A, który był w posiadaniu weksla o wartości nominalnej 90000
jp z terminem wykupu 17.05.2002, złożył ten weksel do redyskonta w banku centralnym 4.03.2002. Obliczyć wysokość kredytu redyskontowego udzielonego przez bank
centralny bankowi A, jeśli w tym dniu obowiązywała stopa redyskontowa d = 12% w
skali roku.
Zadanie 121 Firma C, przewidując trudności ze spłatą weksla o wartości nominalnej 22000 jp w wymaganym terminie 10.01.2003, zwraca się 22.12.2002 do banku,
który jest w posiadaniu weksla, o jego zamianę na weksel równoważny z terminem wykupu 10.04.2003. Jaka jest wartość nominalna odnowionego weksla, jeśli 22.12.2002
w banku obowiązywała roczna stopa dyskontowa 12%?
16
Zadanie 122 Weksel o wartości nominalnej 70 jp i terminie płatności za 9 miesięcy
zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna
stopa dyskontowa wyosi 7%.
Zadanie 123 W dniu 1 maja zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 40 jp i
terminie płatności 15 września oraz o wartości nominalnej 10 jp i terminie płatności
30 października, na jeden weksel równoważny płatny 1 września. Bieżąca roczna stopa
dyskontowa wynosi 6, 5%.
Zadanie 124 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100 jp zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi
2 jp.
Zadanie 125 Hurtownia przyjmuje zapłatę za towar w terminie nie przekraczającym 28 dni od daty zakupu. Jeśli klient reguluje należność w ciągu 7 dni od daty
zakupu, to przysługuje mu rabat w wysokości 3%.
a) Przy jakiej stopie d warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z góry, w celu
skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 jp?
b) Przy jakiej stopie r warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z dołu, w celu
skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 jp?
Zadanie 126 10 lutego 2000 r. firma zdyskontowała w banku weksel o terminie
wykupu 1 czerwca tego samego roku, otrzymując zań 28135, 76 PLN. Gdyby termin
wykupu weksla był późniejszy o 30 dni, ta kwota byłaby mniejsza o 204, 71 PLN.
a) Obliczyć stopę d, przy której zdyskontowano weksel.
b) Jaka była wartość nominalna weksla?
c) Jaki powinien być termin wykupu weksla, aby otrzymano za niego przynajmniej
28200 PLN?
Zadanie rozwiązać uwzględniając dokładną liczbę dni i fakt, że rok 2000 był rokiem
przestępnym.
Zadanie 127 Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank B w swojej ofercie przetargowej, aby osiągnąć rentowność tej inwestycji w
skali roku na poziomie przynajmniej 10%?
Zadanie 128 Obliczyć roczną stopę dyskonta i rentowności dla 13-tygodniowych
bonów skarbowych sprzedawanych po 9 588, 50 zł.
Zadanie 129 Obliczyć cenę sprzedaży 13-tygodniowych bonów z dyskontem wynoszącym 364, 75zł.
17
Inflacja. Wartość realna kapitału w czasie
Zadanie 130 W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co kwartał i przyjmowała kolejno wartości: 5%, 4, 5%, 5, 5% i 6%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz
przeciątną kwartalną stopę inflacji.
Zadanie 131 Oprocentowanie roczne lokaty wynosi 8% a roczna stopa inflacj 3, 5%.
Ile wynosi realna roczna stopa procentowa?
Zadanie 132 Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 7000 jp miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy
inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji wynosiła
odpowiednio: 3%, 3, 5%, 3, 2%, 3, 1%. Wyznaczyć
a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku,
b) roczną stopę inflacji,
c) przeciętną kwartalną stopę inflacji
d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku.
Zadanie 133 Stopa oprocentowania lokaty 12-miesięcznej wynosi 10%. Jaka jest
realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych kwartałach
wynosiła odpowiednio: 2, 8%, 3, 2%, 3%, 3, 5%.
Zadanie 134 Jaki jest realny wzrost dotacji na badania naukowe w danym roku,
jeśli jest ona wyższa od ubiegłorocznej o 18% i stopa inflacji wyniosła 4%?
Zadanie 135 Przewidując roczną stopę inflacji na poziomie 5% ustalono, że spłata
pożyczki 6500 jp po dwóch latach wyniesie 8000 jp. Obliczyć realną roczną stopę
oprocentowania pożyczki, jeśli:
a) poziom inflacji będzie zgodny z przewidywaniami,
b) w pierwszym roku stopa inflacji wyniesie 6%, a w drugim 9%.
Zadanie 136 Oprocentowanie 6-miesięcznej lokaty bankowej o wartości 8000 jp wynosi 5, 05% w skali roku. Obliczyć nominalną i realną wartość lokaty oraz nominalną
i realną wartość odsetek na koniec lokaty, jeśli stopa inflacji wyniosła w tym półroczu
1, 7%. Wyznaczyć dinf .
Zadanie 137 Obliczyć nominalną i realną wartość kapitału 300 jp po pół roku oraz
nominalną i realną stopę jego wzrostu, jeśli kapitał ten został umieszczony na półrocznej lokacie przy półrocznej stopie 3, 5%. Półroczna stopa inflacji w tym czasie
wynosi 1, 5%.
18
Aktualizacja wartości kapitału
Zadanie 138 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 500 jp po roku i trzech miesiącach, jeżeli bank stosuje kapitalizację roczną złożoną z dołu przy rocznej stopie
5%.
Zadanie 139 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp po siedmiu miesiącach
przy stopie nominalnej r = 2% i kapitalizacji kwartalnej złożonej z dołu. Rachunki
przeprowadzić na dwa sposoby.
Zadanie 140 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 500 jp po roku i trzech miesiącach, jeżeli bank stosuje kapitalizację:
a) prostą roczną,
a) prostą półroczną
i roczną stopę procentową r = 7%. Czy długość okresu kapitalizacji ma znaczenie?
Zadanie 141 Kapitał P po 7 miesięcach przyjmie wartość 1320 jp. Jaka będzie wartość tego kapitału 2 miesiące wcześniej przy oprocentowaniu złożonym z dołu
a) rocznym,
b) półrocznym
i nominalnej stopie 10%?
Zadanie 142 Mając kapitał 200 jp wyznaczyć wartość tego kapitału na dwa miesiące wstecz, jeżeli podlegał on oprocentowaniu ciągłemu przy rocznej stopie 11%
Zadanie 143 Kapitał 300 jp po czasie 3 miesięcy wygenerował odsetki wysokości 20
jp. Jakiej wysokości odsetki zostaną wygenerowane po kolejnych 3 miesiącach, jeżeli
bank stosuje model kapitalizacji złożonej z dołu rocznej?
19
Wkłady oszczędnościowe
Zadanie 144 Jaka jest przyszła wartość wkładów oszczędnościowych prostych, jeśli
płatności były dokonywane co kwartał w wysokości: 5 jp, 5, 5 jp, 4 jp, 6 jp? Roczna
stopa procentowa wynosi 12%
Zadanie 145 Jaka jest przyszła wartość wkładów oszczędnościowych prostych, jeśli
płatności były dokonywane przez pół roku na początku każdego miesiąca w wysokości:
30 jp, 35 jp, 40 jp, 35 jp, 25 jp, 30 jp? Roczna stopa procentowa wynosi 9%
Zadanie 146 Jaka jest przyszła i teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych
wnoszonych przez rok na początku każdego miesiąca w wysokości 10 jp, jeżeli roczna
stopa procentowa wynosi 10%?
Zadanie 147 Jaka jest przyszła i teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych
wnoszonych przez rok pod koniec każdego miesiąca w wysokości 28 jp, jeżeli roczna
stopa procentowa wynosi 5, 05%?
Zadanie 148 Jaka jest przyszła i teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych
wnoszonych przez 3 lata na początku każdego kwartału w wysokości 15 jp, jeżeli
roczna stopa procentowa wynosi 6, 1% a kapitalizacja jest złożona z dołu:
a) kwartalna,
b) miesięczna,
c) półroczna?
Zadanie 149 Jakiej wysokości wkłady oszczędnościowe półroczne z dołu wnoszone
przez 15 lat pozwolą zgromadzić kapitał rentowy wysokości 2000 jp, jeżeli roczna
stopa procentowa wynosi 7, 2% a kapitalizacja jest
a) kwartalna,
b) roczna,
c) półroczna?
Zadanie 150 Na konto bankowe z wkładem początkowym 60 jp pod koniec każdego
miesiąca wpływa stała kwota 8 jp. Jaki powstanie kapitał po 2 latach, jeżeli bank
stosuje kapitalizację:
a) prostą
b) miesięczną złożoną z dołu
c) półroczną złożoną z dołu
przy nominalnej stopie r = 7, 03%?
Zadanie 151 Przez ile lat należy wpłacać co rok kwotę 50 jp, aby wartość zgromadzonego kapitału wraz z odsetkami wynosiła 800 jp? Roczna stopa procentowa wynosi
12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu.
20
Zadanie 152 Przez 5 lat na początku każdego miesiąca wpłacano stałą kwotę 15 jp.
Jakiej wysokości kapitał utworzy się, jeżeli po każdym roku z konta wypłacano stałą
kwotę 5 jp i bank stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z dołu przy rocznej stopie
9%?
Zadanie 153 Jakiej wysokości semestralne wypłaty mógłby pobierać student z konta, na którym znajduje się kredyt wysokości 50 jp oprocentowany w modelu kapitalizacji złożonej z dołu kwartalnej przy nominalnej stopie r = 11%?
Zadanie 154 Bank A oferuje wkłady miesięczne przy stopie r = 12% w skali roku
i kapitalizacji złożonej z dołu miesięcznej, zaś bank B oferuje wkłady kwartalne przy
stopie r = 16% w skali roku i kapitalizacji złożonej z dołu kwartalnej. Która oferta
jest korzystniejsza?
Zadanie 155 Cena mieszkania wynosi 90000 jp, przy czym można je spłacać ratami
rocznymi dokonywanymi z góry przez 5 lat w wysokości 20000 jp. Czy opłaca się
skorzystać z systemu ratalnego, wpłacając na konto gotówkę i wybierając potrzebne
raty w odpowiednich momentach czasu, jeśli bank oferuje nam 10% w skali roku i
oprocentowanie złożone z dołu?
Zadanie 156 Jaka jest teraźniejsza wartość samochodu, jeżeli firma spłaca go rocznymi kwotami w wysokości 5 jp przez 15 lat i 2 jp w szesnastym roku wnoszonymi z
dołu przy rocznej stopie 5%?
Zadanie 157 Firma ma zamiar kupić samochód dostawczy. Z rachunków szacunkowych wynika, że dzięki temu pod koniec każdego roku przez 5 lat firma będzie miała
zyski w wysokości 7000 jp, zaś po 5 latach samochód będzie można sprzedać za 10000
jp. Jaka jest obecna wartość samochodu, jeśli do obliczeń stosowano r = 20%?
Zadanie 158 Jakiej wysokości wpłaty roczne wnoszone pod koniec każdego roku
przez 5 lat wygenerują kapitał początkowy w wysokości 120 jp, jeśli roczna stopa
procentowa wynosi 11%?
Zadanie 159 Jak długo należy wpłacać pod koniec każdego miesiąca 10 jp przy
nominalnej stopie 5%, aby wartość początkowa wygenerowanego kapitału wynosiła
100 jp?
Zadanie 160 Wyznaczyć wartość przyszłą i teraźniejszą inwestycji przynoszącej dochód w postaci co miesięcznych (z dołu) wpływów w wysokości 2 jp przez 4 lata, które
można lokować w banku według stopy r = 12% oprocentowania:
a) miesięcznego złożonego z dołu?
b) kwartalnego złożonego z dołu?
21
Spłata długów krótkoterminowych
Zadanie 161 Dług 250 jp należy spłacić w 6 miesięcznych ratach wnoszonych z dołu
wysokości: 30 jp, 40 jp, 50 jp, 60 jp, 70 jp, R6 jp. Wyznaczyć wysokość ostatniej
raty oraz dług bieżący po każdej racie, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 24% i
kapitalizacja jest prosta. Obliczenia wykonać stosując dyskonto matematyczne oraz
aktualizację względem momentu t = 0 i t = 4.
Zadanie 162 Dług 1000 jp ma być spłacony w 3 miesięcznych ratach wysokości R.
Wyznaczyć wielkość R oraz rozkład raty na część kapitałową i odsetkową przyjmując
aktualizację względem t = 2 i t = 3 i dyskonto matematyczne przy rocznej stopie
r = 29%.
Zadanie 163 Dług 1000 jp ma być spłacony w 6 miesięcznych ratach kupieckich
przy oprocentowaniu 18% w skali roku. Ułożyć plan spłaty długu.
Zadanie 164 Jaki dług umarzają 3 raty miesięczne w wysokości 10 jp przy rocznej
stopie procentowej 15% przy aktualizacji względem t = 0, t = 3. Wyznaczyć część
kapitałową i odsetkową raty R.
Zadanie 165 Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeśli dług 100 jp został spłacony
w 5 równych ratach kupieckich wysokości 25 jp wnoszonych z dołu co miesiąc?
Zadanie 166 Ułożyć plan spłaty długu 60 jp w 4 ratach miesięcznych w postaci
tabeli, jeżeli dług ten jest spłacany w równych ratach kupieckich według stopy 12%
w skali roku.
Zadanie 167 Dług 200 jp należy spłacić w 4 ratach wnoszonych kwartalnie z dołu
wysokości: 50 jp, 40 jp, 50 jp, R4 jp. Ustalić wysokość R4 przy rocznej stopie r = 18%
stosując dyskonto matematyczne przy aktualizacji względem t = 0 i t = 4.
Zadanie 168 Dług 800 jp spłacono trzema kwartalnymi ratami kupieckimi według
rocznej stopy procentowej r = 21%. Ułożyć plan spłaty długu.
Zadanie 169 Dług 350 jp należy spłacić w 4 kwartalnych ratach wnoszonych z dołu
wysokości: 100 jp, 110 jp, 120 jp, R4 jp. Wyznaczyć wysokość ostatniej raty oraz dług
bieżący po każdej racie, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 28% i kapitalizacja jest
prosta. Obliczenia wykonać stosując dyskonto handlowe oraz aktualizację względem
momentu t = 0 i t = 4.
Zadanie 170 Dług 800 jp ma być spłacony w 3 miesięcznych ratach wysokości R.
Wyznaczyć wielkość R oraz rozkład raty na część kapitałową i odsetkową przyjmując
aktualizację względem t = 2 i t = 3 i dyskonto handlowe przy rocznej stopie r = 32%.
Zadanie 171 Dług 1800 jp spłacono czterema kwartalnymi ratami kupieckimi według rocznej stopy procentowej r = 21%. Ułożyć plan spłaty długu.
Zadanie 172 Dług 2800 jp spłacono trzema kwartalnymi ratami stałego stosunku
według rocznej stopy procentowej r = 28%. Ułożyć plan spłaty długu.
22
Spłata długów średnio- i długoterminowych
Zadanie 173 Ułożyć plan spłaty długu 300 jp w 6 półrocznych ratach R1 = 60 jp,
R2 = 70 jp, R3 = 80 jp, R4 = 90 jp, R5 = 100 jp, R6 =? jp, przy 24% w skali roku
i półrocznej kapitalizacji odsetek.
Zadanie 174 Pożyczkę 3500 jp spłacono równoważnymi jej ratami: R1 = 500 jp,
R2 = 800 jp, R3 = 900 jp, R4 = 1000 jp, R5 = 1000 jp. Stosując retrospektywną
i prospektywną zależność długu i rat, obliczyć dług bieżący po zapłaceniu trzeciej raty.
Zadanie 175 Plan spłaty długu S przewiduje 5 płatności rocznych wysokości R1 =
20 jp, R2 = 29 jp, R3 = 37 jp, R4 = 34 jp, R5 = 11 jp. Roczna stopa procentowa
wynosi 10% i kapitalizacja jest roczna złożona. Ułożyć plan spłaty długu.
Zadanie 176 Zbadać czy płatności R1 = 280 jp, R2 = 300 jp, R3 = 300 jp, R4 =
150 jp umarzają dług 950 jp przy stopie dostosowanej 2, 5%.
Zadanie 177 Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 9000 jp, oprocentowany według nominalnej stopy r = 36% i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten
ma być spłacony w trzech równych ratach rocznych.
Zadanie 178 Dług S = 80 jp należy spłacić w pięciu równych ratach rocznych.
Ułożyć plan spłaty długu, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 19% i kapitalizacja
jest:
a) roczna złożona z dołu,
b) kwartalna złożona z dołu.
Zadanie 179 Dług 180 jp należy spłacić w 6 równych ratach półrocznych. Ułożyć
plan spłaty długu, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 29% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu.
Zadanie 180 Dług 300 jp należy spłacić w 6 równych ratach kwartalnych. Ułożyć
plan spłaty długu, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 21% i kapitalizacja jest:
a) roczna złożona z dołu,
b) kwartalna złożona z dołu,
c) miesięczna złożona z dołu.
Zadanie 181 Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 700 jp, oprocentowany według nominalnej stopy r = 24% i półrocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten
ma być spłacony w 4 równych ratach półrocznych.
23
Zadanie 182 Kredyt 320 jp ma być spłacony w ciągu 6 lat ratami miesięcznymi
o równej wysokości. Wyznaczyć wysokość raty, jeśli bank stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z dołu przy stopie nominalnej 10, 2%.
Zadanie 183 Dług 250 jp ma być spłacony w ciągu 5 lat ratami kwartalnymi o równej wysokości. Wyznaczyć wysokość raty, jeśli bank stosuje kapitalizację miesięczną
złożoną z dołu przy stopie nominalnej 15, 5%.
Zadanie 184 Na ile rat należy rozłożyć spłatę 544, 5 jp, jeśli wysokość każdej raty
ma wynosić 60 jp przy stopie procentowej 11%?
Zadanie 185 Czy 36 rat po 39 jp umorzy dług 1300 jp przy stopie 19%?
Zadanie 186 Dług należy spłacić w 5 ratach rocznych o następujących częściach
kapitałowych: T1 = 12 jp, T2 = 11 jp, T3 = 10 jp, T4 = 9 jp, T5 = 8 jp. Roczna stopa
procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu. Przedstawić plan
spłaty długu.
Zadanie 187 Dług 150 jp należy spłacić 4 ratami o częściach kapitałowych stanowiących:
1. ciąg arytmetyczny rosnący,
2. ciąg stały,
przy stopie 14%. Wyniki przedstawić w tabeli.
Zadanie 188 Do danych z zadania (177) sporządzić plan spłaty długu spłaconego
ratami o stałych częściach kapitałowych.
Zadanie 189 Obliczyć sumę odsetek naliczonych od długu 400 jp spłaconego 12
stałymi ratami przy stopie 16%. Czy odsetki byłyby większe, gdyby dług ten zamiast
ratami stałymi był spłacony ratami o stałych częściach kapitałowych?
Zadanie 190 Po negocjacjach między bankiem a klientem ustalono, że dług S będzie
spłacany 12 miesięcznymi ratami przy czym części kapitałowe w wysokości 10 jp, 12
jp, 16 jp, 12 jp będą spłacone odpowiednio w miesiącu 3, 6, 9, 12. Ułożyć plan spłaty
tego długu przy stopie 1%.
Zadanie 191 Obliczyć Rn , jeśli Tn = 25, n = 1, . . . , 4 i stopa procentowa wynosi
15%.
Zadanie 192 Obliczyć sumę wszystkich płatności umarzających dług 480 jp przy
stopie 13%, jeśli płatności tych było 6.
24
Zadanie 193 Dług 200 jp ma być spłacony w 8 ratach półrocznych o stałych częściach kapitałowych. Wyznaczyć
a) wysokość szóstej raty łącznej,
b) dług bieżący po spłaceniu trzech rat,
c) trzecią ratę odsetek,
jeśli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest
i) roczna (metodą zasada równoważności kapitałów)
ii) półroczna,
iii) kwartalna.
Zadanie 194 Dług 400 jp ma być spłacony w całości za rok, zaś odsetki od długu
mają być spłacane kwartalnie według stopy 4%. Ułożyć plan spłaty długu.
Zadanie 195 Ułożyć plan spłaty długu 300 jp spłaconego 4 kwartalnymi ratami
o stałych częściach kapitałowych, jeśli odsetki mają być uiszczone w racie drugiej.
Stopa nominalna wynosi 28% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu.
Zadanie 196 Dług 40 jp należy spłacić w 4 równych rocznych ratach, ale dopiero
po 3 latach karencji. Roczna stopa procentowa wynosi 8% i kapitalizacja jest roczna.
Ułożyć plan spłaty długu, jeżeli karencja obejmuje
a) części kapitałowe.
b) raty.
Zadanie 197 Dług 60 jp należy spłacić w 5 kwartalnych spłatach o równych ratach. Wyznaczyć części kapitałowe tych rat, jeżeli nominalna stopa wynosi 15% i
kapitalizacja jest miesięczna.
Zadanie 198 Według umowy kredytowej dłużnik ma spłacić 250 jp w 6 równych
ratach rocznych przy rocznej stopie 20% i kapitalizacji rocznej. Po spłaceniu 4 rat
dłużnik zwraca się z prośbą o obniżenie stopy procentowej do 15%. Wierzyciel wyraził zgodę na zmianę stopy, przy czym jako opłaty karnej zażądał dziesiątej części
wartości dotychczasowej płatności. Należy:
a) ułożyć plan spłaty długu z uwzględnieniem konwersji,
b) ocenić opłacalność przeprowadzonej konwersji,
c) wyznaczyć opłatę karną, przy której konwersja będzie opłacalna dla dłużnika,
Zadanie 199 Dłużnik ma do spłacenia następujące płatności:
- 5 spłat rocznych o wysokości 400 jp każda, przy rocznej stopie 24%,
- 8 spłat półrocznych o wysokości 100 jp każda, przy stopie półrocznej 12%,
25
- 13 spłat miesięcznych o wysokości 100 jp każda, przy stopie miesięcznej 4%.
Wyznaczyć łączną obecną wartość zadłużenia oraz zamienić te trzy długi na jeden
dług skonsolidowany, spłacany przez 2 lata w równych płatnościach kwartalnych,
przy stopie nominalnej 16% i kapitalizacji złożonej kwartalnej. Wyznaczyć wysokość
rat umarzających dług skonsolidowany.
Zadanie 200 Dłużnik ma do spłacenia następujące płatności:
- 3 spłaty rocznych o wysokości 200 jp każda, przy rocznej stopie 15%,
- 6 spłat półrocznych o wysokości 300 jp każda, przy stopie nominalnej 25% i
kapitalizacji rocznej,
- 13 spłat miesięcznych o wysokości 100 jp każda, przy stopie nominalnej 19% i
kapitalizacji miesięcznej.
Wyznaczyć łączną obecną wartość zadłużenia oraz zamienić te trzy długi na jeden
dług skonsolidowany, spłacany przez 3 lata płatnościach półrocznymi o stałych częściach kapitałowych, przy stopie nominalnej 18% i kapitalizacji złożonej półrocznej.
Wyznaczyć wysokość rat umarzających dług skonsolidowany.
Zadanie 201 100 jp należy spłacić w 4 równych półrocznych ratach. Nominalna
stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest złożona półroczna. Ułożyć plan
spłaty długu z uwzględnieniem opłaty dodatkowej 2, 5% naliczonej
a) według długu.
b) według długu bieżącego.
Zadanie 202 430 jp spłacić w 6 ratach malejących (stałe części kapitałwe) według
stopy 9% i prowizji 4% naliczonej
a) według długu.
b) według długu bieżącego.
Zadanie 203 120 jp należy spłacić w 6 ratach rocznych o stałej części kapitałowej
przy czym odsetki mają być spłacone jednorazowo w racie
a) pierwszej.
b) ostatniej.
Ułożyć plan spłaty długu, jeśli kapitalizacja jest roczna i roczna stopa procentowa
wynosi 12%.
Zadanie 204 Ułożyć plan spłaty długu 200 jp spłaconego jednorazowo za dwa lata, gdy odsetki były spłacane co pół roku według oprocentowania półrocznego przy
nominalnej stopie 6%.
Zadanie 205 Dług 300 jp ma być spłacony 6 kwartalnymi stałymi płatnościami w
modelu kapitalizacji półrocznej przy nominalnej stopie 24%. Stosując
26
a) zasadę równoważności warunków oprocentowania ułożyć plan spłaty długu.
b) model kapitalizacji mieszanej ułożyć plan spłaty długu dla półrocznych płatności.
Zadanie 206 Dług 100 jp ma być spłacony w 5 półrocznymi płatnościami o stałej
części kapitałowej. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli kapitalizacja jest półroczna przy
stopie nominalnej 18% oraz dłużnik musi wnieść opłatę dodatkową w wysokości 5%
długu bieżącego.
Zadanie 207 Ułożyć plan spłaty długu wysokości 400 jp spłacony 6 rocznymi ratami
przy stopie r = 28% w modelu kapitalizacji rocznej, jeśli
a) raty stałe.
b) raty malejące.
Zadanie 208 Dług 200 jp należy spłacić w 4 równych ratach rocznych przy rocznej
stopie procentowej 12% i kapitalizacji rocznej. Ułożyć plan spłaty długu z uwzględnieniem inflacji, która w poszczególnych latach wynosiła: 2, 4%, 2, 6%, 2, 2%, 2, 5%.
Rachunki przeprowadzić na dwa sposoby.
Zadanie 209 Wyznaczyć rzeczywistą stopę kredytu 80 jp spłacanego w 2 ratach półrocznych wysokości 50 jp i 62, 5 jp przy kapitalizacji półrocznej.
Zadanie 210 Który z banków oferuje lepsze warunki oprocentowania kredytu, jeśli pierwszy bank oferuje raty kwartalne przy stopie 18% a drugi bank oferuje raty
półroczne przy nominalnej stopie 33%?
27
Renta kapitałowa
Zadanie 211 Obliczyć czynnik dyskontowania renty s36|0,2% dla renty zwykłej płatnej z dołu o płatnościach 100 jp.
Zadanie 212 Wyznaczyć wysokość raty dla renty o wartości początkowej P = 1200
jp i czynniku oprocentowania renty a24|0,5% .
Zadanie 213 Rachunek oprocentowany jest według stopy nominalnej 12% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek. Saldo rachunku na dzień 1 stycznia br. wynosi 20 tys.
zł. Jaką stałą kwotę można pobierać z rachunku co miesiąc w nieskończoność poczynając od końca stycznia br.?
Zadanie 214 Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 6% przy kapitalizacji kwartalnej, aby po trzech latach móc
pobierać po 200 zł na koniec każdego kwartału przez cztery lata?
Zadanie 215 Saldo rachunku wynosi 35 tys. zł.
a) Jeśli efektywna stopa wynosi 4%, jaką maksymalną rentę wieczystą można pobierac z rachunku na koniec kolejnych lat?
b) Przy jakiej minimalnej efektywnej stopie procentowej można z rachunku pobierać rentę wieczystą w wysokości 800 zł na koniec kolejnych lat?
Zadanie 216 Wartość początkowa renty o 20 ratach tworzących ciąg arytmetyczny,
w którym d = 50, wynosi 8300. Jeśli i = 4%, to ile wynosi pierwsza rata?
Zadanie 217 Obliczyć wartość końcową renty, w której R1 = 100, Rj+1 = 100 − 2j,
j = 1, . . . , 49, jeśli i = 2%.
Zadanie 218 Wartość początkowa renty o 10 ratach wynosi 1000 zł. Jeśli i = 1%,
a raty:
a) rosną o 2%,
b) maleją o 2%,
to ile wynosi pierwsza rata?
Zadanie 219 Wyznaczyć wielkość funduszu będącego kapitałem rentowym utworzonym z wkładów wysokości 200 jp wnoszonych co miesiąc z dołu przez 10 lat według
stopy nominalnej 6% w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej.
a) Jaką maksymalną rentę wieczystą miesięczną z dołu można pobierać z tego
funduszu?
b) Przez jaki czas można pobierać z tego funduszu rentę miesięczną wysokości 250
jp?
Zadanie 220 Ustalić wysokość kapitału rentowego, pozwalającego na co miesięczne
wypłaty renty arytmetycznej z dołu o pierwszym wyrazie 10 jp i różnicy 2 jp przez
10 lat w modelu oprocentowania składanego rocznego przy stopie 12%.
28
Zadanie 221 Wyznacz wysokość pierwszej wypłaty renty geometrycznej o ilorazie
1, 1 wypłacanej pod koniec każdego kwartału przez 5 lat z funduszu o kapitale początkowym 100 jp w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej przy stopie nominalnej
5%.
Zadanie 222 Jaki kapitał pozwoli na wypłacanie renty w wysokości 20 jp pod koniec
każdego półrocza przez 10 lat w modelu kapitalizacji złożonej
a) półrocznej,
b) miesięcznej,
c) rocznej,
według stopy 10% w skali roku?
Zadanie 223 Jakiej wielkości wypłaty można dokonywać pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat z kapitału 200 jp według rocznej stopy 10% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 224 Wyznaczyć wielkośc renty wieczystej wypłacanej co miesiąc z dołu z
funduszu 300 jp przy stopie nominalnej 9% i kapitalizacji rocznej.
Zadanie 225 Wyznaczyć wielkość pierwszej wypłaty renty arytmetycznej o różnicy
5 jp wypłacanej na początku każdego miesiąca przez 3 lata z funduszu o kapitale początkowym 250 jp w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej przy stopie nominalnej
15%.
Zadanie 226 Ustalić wysokość kapitału rentowego, pozwalającego na co roczne wypłaty renty geometrycznej z dołu o pierwszym wyrazie 30 jp i różnicy 5 jp przez 10
lat w modelu kapitalizacji złożonej rocznej przy stopie r = 12%.
Zadanie 227 Zapisać za pomocą symboli an|i oraz sn|i następujące wielkości:
a) Kwota, jaką należy regularnie wpłacać na rachunek na koniec kolejnych n okresów, aby w momencie ostatniej wpłaty zgromadzić 1 zł.
a) Kwota, jaką należy regularnie wpłacać na rachunek na początek kolejnych n
okresów, aby na koniec pierwszego okresu od ostatniej wpłaty zgromadzić 1 zł.
a) Kwota, jaką można regularnie wypłacać z rachunku na koniec kolejnych n okresów, aż do wyczerpania, jeśli saldo początkowe rachunku wynosi 1 zł.
a) Kwota, jaką można regularnie wypłacać z rachunku na początek kolejnych n
okresów, aż do wyczerpania, jeśli saldo początkowe rachunku wynosi 1 zł.
29