Matematyka finansowa Wzory

Matematyka finansowa
Wzory
• Niech i będzie procentową za jeden okres bazowy, a P kapitałem początkowym. Wtedy
kapitał Kn (Kt ) po n(t) okresach bazowych wynosi
– Kn = P (1 + rn), n ∈ N w modelu kapitalizacji prostej,
– Kn = P (1 + r)n , n ∈ N w modelu kapitalizacji złożonej,
– Kt = P ert , t ∈ R+ w modelu kapitalizacji ciągłej.
• Realna stopa procentowa Rr w danym okresie wynosi
Rr =
1+R
− 1, gdzie R to stopa nominalna, a Ri to stopa inflacji w danym okresie.
1 + Ri
• Ilościowy próg rentościowy q0 wynosi:
KS
q0 =
,
n
X
(ci − kzi )wi
i=1
gdzie KS to koszty stałe, ci , kzi , wi to odpowiednio cena, koszty zmienne oraz udział
procentowy i-tego produktu.
• Wewrzętrzna stopa zwrotu (IRR) spełnia równanie:
n
X
NCFt
= 0.
(1 + IRR)t
t=0
• Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu wynosi:
X
n
MIRR =
CFt (1 + r)
n−t
t=0
X
n
Nt
(1
+
r)t )
t=0
n1
• Suma szeregu geometrycznego wynosi
t
X
n=1
qn = q
1 − qt
.
1−q
n1
− 1.
Matematyka finansowa
Przykładowy sprawdzian z ćwiczeń
Zadanie 1. Mamy do wyboru dwa banki. W pierwszym banku oprocentowanie lokaty wynosi
2% rocznie, a odsetki są kapitalizowane co kwartał. Drugi bank oferuje oprocentowanie 2, 2% z
kapitalizacją co rok. Który bank ma wybrać klient?
Zadanie 2. Jaki kapitał należy ulokować w banku, aby po 5 latach otrzymać 5000 zł, jeżeli
bank kapitalizuje odsetki co pół roku i przez pierwsze 2 lata gwarantuje roczną stopę procentową
3%, a przez następne 2 lata 2%?
Zadanie 3. Porównaj wielkość rat dla kredytu w kwocie 400000 PLN na okres 30 lat przy
oprocentowaniu w skali roku 7, 2% spłacanego miesięcznie w przypadku a) równych rat kapitałowych; b) równych spłat. Oblicz wysokość raty, jej część kapitałową i odsetkową dla raty
pierwszej, po roku spłaty, po 10 latach po 20 latach oraz dla ostatniej raty. Oblicz wysokość
kapitału pozostałego do spłaty po zapłaceniu tych rat.
Zadanie 4. Leasing o wartości 10000 zł należy spłacić w 4 równych płatnościach rocznych.
Umowa umożliwia leasingo- biorcy zakup przedmiotu leasingu za 2500 zł (w chwili płatności
ostatniej raty). Dokonaj rozliczenia tej umowy leasingowej przy rocznej stopie procentowej 10%.
Zadanie 5. Dokonać wyboru projektu inwestycyjnego posługując się metodą zmodyfikowanej
wewnętrznej stopy zwrotu, przy stopie reinwestycji równej 10%. Wielkości nakładów i wpływów
pieniężnych zawiera poniższa tabela:
t
Projekt A
Projekt B
0
-600
-800
1
100
200
2
200
100
3
400
600
4
300
300
Matematyka finansowa
Przykładowy sprawdzian z wykładu
Na sprawdzianie będzie 10 takich zadań
Zadanie 1. Mając do wyboru lokatę o tym samym oprocentowaniu wybierzemy tę o kapitalizacji:
(a) ciągłej,
(b) rocznej,
(c) dzienniej,
(d) kwartalnej.
Zadanie 2. Wybierz najbardziej korzystną opcję
(a) lokata o oprocentowaniu 2% w skali roku z kapitalizacją roczną,
(b) lokata o oprocentowaniu 1, 9% w skali roku z kapitalizacją półroczną,
(c) lokata o oprocentowaniu 1, 8% w skali roku z kapitalizacją kwartalną,
(d) lokata o oprocentowaniu 1, 7% w skali roku z kapitalizacją ciągłą.
Zadanie 3. Wskaż odpowiedni wzór na stałą ratę kredytu w wysokości S, z oprocentowaniem
i oraz płatnego w n ratach
(a) A = S
i·(1+i)n+1
(1+i)n+1 −1 ,
(b) A = S
i·(1+i)n
(1+i)n+1 −1 ,
(c) A = S
i·(1+i)n
(1+i)n −1 ,
(d) A = S
i·(1+i)n+1
(1+i)n −1 .
Zadanie 4. Wyznaczając wzór na próg rentowności nie zakładamy tego, że:
(a) koszty magazyzowania są stałe,
(b) koszty dzielą się na stałe i zmienne,
(c) cena produktów jest stała,
(d) zdolność produkcyjna możę się zmieniać w czasie.
Zadanie 5. Do dynamicznej metody oceny opłacalności inwestycji nie zaliczamy
(a) metody wewnętrznej stopy zwrotu,
(b) metody zakstualizowanej wartości netto,
(c) stopy zwrotu ARR,
(d) wskanika rentowności.