cum udar
Transkrypt
cum udar
Teoria Obwodów 2 Wykład 3 – Metoda Klasyczna – część II Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Wydział Elektryczny Politechnika Wrocławska D-1, 205/8 tel: (071) 320 21 60 fax: (071) 320 20 06 email: [email protected] ® 1 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 1 Stan nieustalony w gałęzi RC ........................................................................................................................................................................................ 4 1.1 Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie stałe ............................................................................................................................................... 4 1.2 Zwarcie w gałęzi szeregowej RC zasilanej początkowo napięciem stałym ........................................................................................................ 11 1.3 Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie sinusoidalne ................................................................................................................................ 16 ® 2 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją Warunek początkowy dla t=0- Historia obwodu t<0 t=0- Warunek początkowy dla t=0+ Dla układów wyższego rzędu warunki początkowe dla pochodnych dla t=0+ t=0+ Układ równań Kirchhoffa Równanie różniczkowe szukanej wielkości Przyszłość obwodu RSRN składowa ustalona (wymuszona) Analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji RORJ składowa przejściowa (swobodna) t>0 Określenie przewidywanej postać składowej przejściowej na podstawie wielomianu charakterystycznego t->+inf Wyznaczenie wartości składowej ustalonej dla t=0+ Dla układów wyższego rzędu wyznacznie wartości pochodnych składowej ustalonej w chwili t=0+ Wyznaczenie wartości składowej przejściowej w chwili to=+, oraz, dla ukłądów wyższego rzędu, wartości pochodnych składowej przejściowej w chwili t=0+ Wyznaczenie stałych składowej przejściowej Wyznaczenie odpowiedzi całkowitej jako sumy składowej ustalonej (wymuszonej) oraz składowej przejściowej (swobodnej) RORN=RSRN+RORJ ® 3 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 1 Stan nieustalony w gałęzi RC 1.1 Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie stałe t=0 R i(t) uR(t) E Dane: e ( t ) = E = const. Jeden element zachowawczy – C R, C Równanie różniczkowe oprzeć na uc ( t ) C uc(t) 1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz wyznaczenie warunku początkowego dla t=0- uC ( t ) = 0 , dla t < 0 uc ( 0 − ) = 0 2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+ Po załączeniu łącznika sprawdzamy istnienie oczek osobliwych. Nie stwierdzamy oczek zawierających same kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na kondensatorze zachowuje prawo komutacji. uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) = 0 ® 4 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego t>0 R i(t) uR(t) E uc(t) E = Ri ( t ) + uC ( t ) , gdzie i ( t ) = iC ( t ) = C E = RC C duC ( t ) dt uC ( t ) duC ( t ) dt + uC ( t ) Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0: E = RC duC ( t ) dt + uC ( t ) Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane rozwiązanie tj. napięcie na kondesatorze uC t w stanie nieustalonym znajdziemy jako: () RORN = RSRN + RORJ ⇒ uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) 4. t → +∞ , analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona) uCu ( t ) Ze względu na stałe wymuszenie E, w stanie ustalonym po komutacji prąd w gałęzi z kondensatorem będzie równy zeru. Stąd na rezystorze nie zanotujemy napięcia, a rozkład napięć w obwodzie podpowie jak zwykle II Prawo Kirchoffa E = Riu ( t ) + uCu ( t ) = 0 + uCu ( t ) → uCu ( t ) = E ® 5 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+: uCu ( 0+ ) = E uCp ( t ) duCp ( t ) RC + uCp ( t ) = 0 dt V ( λ ) = RCλ + 1 1 stwierdzamy jeden pierwiastek RC λ + 1 = 0 ⇒ λ = − RC 5. t>0, składowa przejściowa (swobodna) Równanie jednorodne Wielomian charakterystyczny Pierwiastki wielomianu charakterystycznego Przewidywana postać składowej przejściowej W szczególności wartość składowej ustalonej dla to=0+ ® rzeczywisty uCp ( t ) = Aeλt = Ae uCp ( 0+ ) = A 6 − 1 t RC , dla t > 0 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) , dla t > 0 a zatem również dla t=0+ uC ( 0 + ) = uCu ( 0 + ) + uCp ( 0 + ) Wyznaczenie stałej A i pełnej postaci składowej przejściowej 0 = E + A ⇒ A = −E Ostatecznie składowa przejściowa: uCp ( t ) = − Ee − 1 t RC , dla t > 0 6. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej (wymuszonej) i przejściowej (swobodnej): RORN = RSRN + RORJ ⇒ uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) = E − Ee ® 7 − 1 t RC 1 − t ⎞ ⎛ = E ⎜ 1 − e RC ⎟ , dla t > 0 ⎝ ⎠ Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 uc(t) E uCu ( t ) = E i(t) uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) t uCp ( t ) = − Ee − E R 1 t RC 1 t E − RC iC ( t ) = e R t -E ® 8 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Gdyby padło „niestandardowe” pytanie o przebieg prądu w stanie nieustalonym w obwodzie z kondensatorem, to po wyznaczeniu napięcia możemy zawsze skorzystać ze związków prądowonapięciowych tj. duC ( t ) i ( t ) = iC ( t ) = C dt 1 1 1 t ⎞ t ⎛ t − − − d⎛ 1 E ⎞ RC RC RC ⋅⎜− iC ( t ) = C ⎜ E − Ee , dla t > 0 ⎟= e ⎟ = −CEe dt ⎝ ⎝ RC ⎠ R ⎠ Idąc dalej możemy odkryć przebieg napięcia na rezystorze w stanie nieustalonym 1 1 t t − E − RC RC = Ee , dla t > 0 uR ( t ) = Ri ( t ) = R e R I tak otrzymujemy rozkład napięć, a raczej przebiegów napięć w stanie nieustalonym, w analizowanym obwodzie Sprawdzenie: II Prawo Kirchhoffa: Wymuszenie: e t = E , dla t > 0 () Rezystor: uR ( t ) = Ee Kondensator: − 1 t RC , dla t > 0 uC ( t ) = E − Ee ® e ( t ) = uR ( t ) + uC ( t ) , dla t > 0 − 1 t RC E = Ee , dla t > 0 9 − 1 t RC +E−E − 1 t RC =E Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Dla rozważanego przypadku stała czasowa obwodu τ =− 1 λ = RC . Stąd wniosek, że szybciej będzie zanikał stan nieustalony w szeregowej gałęzi RC zawierającej małe rezystancje. Dla porównania, relacje dla stałej czasowej w szeregowym obwodzie RL wskazywały odwrotny kierunek tj. τ= L , skąd wniosek, że szybciej będzie zanikał stan nieustalony w gałęzi RL zawierającej duże R rezystancje. uc(t) E τ2 i(t) τ1 > τ2 τ1 E R2 τ2 C1 = C2 R1 > R2 τ2 τ1 > τ2 τ1 E R1 τ1 R1 >R2 t t τ2 τ1 ® 10 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 1.2 Zwarcie w gałęzi szeregowej RC zasilanej początkowo napięciem stałym t=0 R i(t) uR(t) E Dane: e ( t ) = E = const. Jeden element zachowawczy – C R, C Równanie różniczkowe oprzeć na uc ( t ) C uc(t) 1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz wyznaczenie warunku początkowego dla t=0Ze względu na stałe wymuszenie E, w stanie ustalonym przed komutacją prąd w gałęzi z kondensatorem był równy zeru, a w związku z tym napięcie na rezystorze też miało wartość równą zero. Jedyne napięcie w oczku oprócz wymuszenia to napięcia na kondensatorze, więc E = 0 + uC ( t ) → uC ( t ) = E , dla t < 0 uc ( 0 − ) = E 2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+ Po przełączeniu łącznika w pozycję zwierającą gałąź RC nie stwierdzamy oczek zawierających same kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na kondensatorze zachowuje prawo komutacji. uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) = E ® 11 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego t>0 R i(t) uR(t) uc(t) 0 = Ri ( t ) + uC ( t ) , gdzie i ( t ) = iC ( t ) = C 0 = RC C duC ( t ) dt uC ( t ) duC ( t ) dt + uC ( t ) Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0: 0 = RC duC ( t ) dt + uC ( t ) Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach. A zatem szukane rozwiązanie tj. napięcie na kondensatorze uC t w stanie nieustalonym zawierać będzie jedynie RORJ tj. składową przejściową (swobodną): () RORJ ⇒ uC ( t ) = uCp ( t ) , RSRN = 0 ,uCu ( t ) = 0 Potwierdza to również analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji. Jak widzimy, obwód poprzez komutację zostaje pozbawiony wymuszenia, a energia pola elektrostatycznego rozładuje się w zamkniętym obwodzie RC i ostatecznie napięcie na kondensatorze spadnie do zera. uCu ( t ) = 0 ® 12 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 uCp ( t ) duCp ( t ) + uCp ( t ) = 0 RC dt V ( λ ) = RCλ + 1 1 stwierdzamy jeden pierwiastek RC λ + 1 = 0 ⇒ λ = − RC 4. t>0, składowa przejściowa (swobodna) Równanie jednorodne Wielomian charakterystyczny Pierwiastki wielomianu charakterystycznego Przewidywana postać składowej przejściowej W szczególności wartość składowej ustalonej dla to=0+ rzeczywisty uCp ( t ) = Aeλt = Ae uCp ( 0+ ) = A − 1 t RC , dla t > 0 uC ( t ) = uCp ( t ) , dla t > 0 a zatem również dla t=0+ uC ( 0 + ) = uCp ( 0 + ) Wyznaczenie stałej A i pełnej postaci składowej przejściowej E = A⇒ A= E Ostatecznie składowa przejściowa: uCp ( t ) = Ee ® 13 − 1 t RC , dla t > 0 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 5. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym RORJ ⇒ uC ( t ) = uCp ( t ) = Ee − 1 t RC , dla t > 0 A prąd w analizowanej szeregowej gałęzi RC: 1 1 1 t ⎞ t ⎛ t − − duC ( t ) d ⎛ − RC 1 E ⎞ RC RC i ( t ) = iC ( t ) = C = C ⎜ Ee ⋅⎜ − , dla t > 0 ⎟=− e ⎟ = CEe dt dt ⎝ R ⎝ RC ⎠ ⎠ u (t) E C uC ( t ) = uCp ( t ) = Ee 1 t − RC iC(t) , dla t > 0 uCu ( t ) = 0 , dla t > 0 t=0 -E t E − RC1 t , dla t > 0 iC ( t ) = − e R R t t=0 ® 14 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Dla szeregowej gałęzi RC stała czasowa obwodu τ =− 1 = RC . Stąd wniosek, że szybciej będzie λ zanikał stan nieustalony w szeregowej gałęzi RC zawierającej małe rezystancje. uc(t) i(t) C1 = C2 E τ2 R1 > R2 τ1 t τ1 0 τ1 > τ2 C1 = C2 R1 > R2 τ2 τ1 −Ε τ1 > τ2 R 1 t 0 τ2 τ2 −Ε τ1 R 2 ® 15 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 1.3 Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie sinusoidalne Dane: Jeden element zachowawczy – C R i(t) t=0 e(t) uR(t) uC(t) C e ( t ) = Em sin (ωt + ψ e ) Równanie różniczkowe oprzeć na uc ( t ) R, C e(t)=Emsin(ω t+ψe) 1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz wyznaczenie warunku początkowego dla t=0Przed komutacją obwód pozostawał bez wymuszenia, w danych brak jest informacji o wstępnym naładowaniu kondensatora, zatem możemy obwód traktować jako bezenergetyczny: uC ( t ) = 0 , dla t < 0 uc ( 0 − ) = 0 2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+ Po załączeniu łącznika sprawdzamy istnienie oczek osobliwych. Nie stwierdzamy oczek zawierających same kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na kondensatorze zachowuje prawo komutacji. uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) = 0 ® 16 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego t>0 e(t) e ( t ) = Ri ( t ) + uC ( t ) , gdzie i ( t ) = iC ( t ) = C uR(t) uC(t) C Em sin (ωt + ψ e ) = RC duC ( t ) dt uC ( t ) duC ( t ) dt + uC ( t ) e(t)=Emsin(ω t+ψe) Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0: Em sin (ωt + ψ e ) = RC duC ( t ) dt + uC ( t ) Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane rozwiązanie tj. napięcie na kondesatorze uC t w stanie nieustalonym znajdziemy jako: () RORN = RSRN + RORJ ⇒ uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) t → +∞ , analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona) uCu ( t ) Ze względu na sinusoidalne wymuszenie e ( t ) = Em sin (ωt + ψ e ) , w stanie ustalonym po komutacji 4. nie możemy traktować kondensatora jako „przerwy w obwodzie”, tak jak byłoby to przy wymuszeniu ® 17 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 stałym, ale raczej jako reaktancję. Do wyznaczenia składowej ustalonej wykorzystać metodę symboliczną: R t → +∞ R i(t) u e(t) uRu(t) uCu(t) uCu ( t ) Iu U C Cu E Zapis symboliczny możemy zatem -jX C U Ru e(t)=Emsin(ω t+ψe) Wartości rzeczywiste, czasowe Zapis symboliczny, wektor zespolony, wskaz Em jψ e E Ee E j (ψ e −ϕ ) = e = Iu = = jϕ z ze z uCu ( t ) = U Cum sin (ωt + ψ Cu ) = ® R + 1 2 ωC ) 2 e ⎛−1 ⎞ 2 ω C ⎜ ⎟ z= R + 1 ωC ,ϕ = arctg ⎜ R ⎟ ⎝ ⎠ ( π⎞ 1 Em ⎛ = sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ ωC z 2⎠ ⎝ ( 2 Powrót z zapisu symbolicznego 18 U Cu ) 2 = − jX C ⋅ I u = 1 E j (ψ e −ϕ −π 2 ) ωc ⋅ z e Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski j (ψ e −ϕ ) Teoria Obwodów 2 W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+: 1 Em π⎞ ⎛ sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ 2⎠ ωC z ⎝ 5. t>0, składowa przejściowa (swobodna) uCp ( t ) duCp ( t ) Równanie jednorodne + uCp ( t ) = 0 RC dt V ( λ ) = RCλ + 1 Wielomian charakterystyczny 1 Pierwiastki wielomianu stwierdzamy jeden pierwiastek RC λ + 1 = 0 ⇒ λ = − RC charakterystycznego uCu ( 0+ ) = rzeczywisty Przewidywana postać składowej przejściowej W szczególności wartość składowej ustalonej dla to=0+ ® uCp ( t ) = Ae = Ae λt uCp ( 0+ ) = A 19 − 1 t RC , dla t > 0 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) , dla t > 0 a zatem również dla t=0+ uC ( 0 + ) = uCu ( 0 + ) + uCp ( 0 + ) Wyznaczenie stałej A i pełnej postaci składowej przejściowej 1 Em 1 Em π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ + A ⇒ A = − sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ 0= 2⎠ 2⎠ ωC z ωC z ⎝ ⎝ Ostatecznie składowa przejściowa: 1 Em π ⎞ − RC1 t ⎛ uCp ( t ) = − sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e , dla t > 0 ωC z 2⎠ ⎝ UWAGA: Proszę zwrócić uwagę, że stała A przy składowej przejściowej nie zawiera zmiennej czasu t. Jest to wartość funkcji sinusoidalnej w konkretnej chwili czasowej t=t0=0. 6. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej (wymuszonej) i przejściowej (swobodnej): RORN = RSRN + RORJ ⇒ uC ( t ) = uCu ( t ) + uCp ( t ) π ⎞ 1 Em π ⎞ − RC1 t 1 Em ⎛ ⎛ uC ( t ) = sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ − sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e , dla t > 0 ωC z 2 ⎠ ωC z 2⎠ ⎝ ⎝ ® 20 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Chcąc wyznaczyć pełen rozkład napięć w obwodzie w stanie nieustalonym, na podstawie wyrażenia na uC t możemy najpierw wyliczyć prąd przepływający przez kondensator: () duC ( t ) 1 Em π⎞ ⎛ cos ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ ⋅ ω + i (t ) = C =C⋅ 2⎠ dt ωC z ⎝ 1 Em π ⎞ − RC1 t ⎛ 1 ⎛ ⋅⎜ − −C ⋅ sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e 2⎠ ωC z ⎝ ⎝ RC ⎞ ⎟= ⎠ ⎛ Em 1 Em π π ⎞ π ⎞ − RC1 t ⎛ = sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − + ⎟ + sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e , dla t > 0 z 2 2 ⎠ ω RC z 2⎠ ⎝ ⎝ Jest to prąd w całej gałęzi szeregowej RC. Stąd napięcie na rezystorze u R ( t ) Em ⋅ R R ⋅ 1 Em π ⎞ − RC1 t ⎛ uR ( t ) = R ⋅ i ( t ) = sin (ωt + ψ e − ϕ ) + sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e , dla t > 0 z 2⎠ ω RC z ⎝ Sprawdzenie II Prawa Kirchhoffa: Em ⋅ R 1 Em π ⎞ − RC1 t ⎛ e( t ) = u R ( t ) + uC ( t ) = sin (ωt + ψ e − ϕ ) + sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e + z 2⎠ ωC z ⎝ 1 Em π ⎞ 1 Em π ⎞ − RC1 t ⎛ ⎛ sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ − sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e ,dla t > 0 2 ⎠ ωC z 2⎠ ωC z ⎝ ⎝ ® 21 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 e ( t ) = 2 sin ( 2π ⋅1 ⋅ t + 0 ) , R = 1Ω , C = 1F ,τ = RC = 1s uc - RC: tau=1[s], ku=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg] ucu ucp uc=ucu+ucp e 1 uc [V] 0.5 0 -0.5 -1 0 ® 1 2 3 4 5 t [s] 22 6 7 8 9 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 e ( t ) = 2 sin ( 2π ⋅1 ⋅ t + 0 ) , R = 1Ω , C = 1F ,τ = RC = 1s ur - RC; tau=1[s] i - RC; tau=1[s] uru urp ur=uru+urp e 1 0.5 0.5 0 0 i [A] ur [V] 1 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 0 1 2 3 4 ® 5 t [s] 6 7 8 icu icp ic=icu+icp -1.5 9 23 0 1 2 3 4 5 t [s] 6 7 8 9 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Oceniając pracę obwodu RL załączanego na napięcie sinusoidalne wprowadziliśmy współczynnik udaru prądowego (przetężenia), jako relacje pomiędzy maksymalną chwilową wartością prądu w stanie nieustalonym a amplitudą prądu w stanie ustalonym. Współczynnik ten jest miarą przetężenia w obwodzie. Podobnie próbując ocenić jakościowo miarę wpływu stanu przejściowego w obwodzie RC możemy zdefiniować tzw. współczynnik udaru napięciowego, określony jako stosunek maksymalnej wartość napięcia w stanie nieustalonym do wartości maksymalnej (amplitudy) przebiegu ustalonego. Dla zadanych parametrów obwodu RC oraz amplitudy napięcia zasilającego Em, przebieg napięcia w stanie nieustalonym, a co za tym idzie, możliwe wartości maksymalne, jakie może osiągnąć, zależeć będzie od momentu komutacji t=t0 oraz fazy początkowej napięcia zasilającego ψ e . Przy przyjęciu chwili załączenia t=0, będziemy poszukiwać takiej fazy początkowej napięcia zasilającego ψ e = ψ m , przy której napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym osiągnie wartość największą z możliwych. Z matematycznego punktu widzenia musimy zatem zbadać ekstrema funkcji uC t ,ψ e , ze względu na ψ e , czyli miejsca ( zerowe pochodnej cząstkowej: ∂ uC ( t ,ψ e ) =0 ∂ ψe ) Dla odnalezionej z powyższego równania fazy początkowej napięcia zasilającego ψ e kroku poszukiwać będziemy chwili czasowej t=tm dla której = ψ m , w następnym uC ( t ,ψ e = ψ m ) osiągnie wartość maksymalną. To zaś wymaga zbadania ekstremum funkcji ze względu na zmienną czasową: ∂ uC ( t ,ψ e ) =0 ∂t ® 24 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Podstawiając za uC ( t ) : ⎧ ∂ uC ( t ,ψ e ) =0 ⎪ ∂ψ ⎪ e ⎨ ⎪ ∂ uC ( t ,ψ e ) = 0 ⎪⎩ ∂t ⇒ ψ e = ψ m , t = tm 1 Em π ⎞ 1 Em π ⎞ − RC1 t ⎛ ⎛ uC ( t ) = sin ⎜ ωt + ψ e − ϕ − ⎟ − sin ⎜ψ e − ϕ − ⎟ e , dla t > 0 2 ⎠ ωC z 2⎠ ωC z ⎝ ⎝ Otrzymamy: tm ⎧ ∂ uc ( t ,ψ e ) Em ⎡ 1 − RC ⎤ ω sin ω t ψ ϕ cos ψ ϕ e = + − − − =0 ( ) ( ) m m m ⎪ ⎢ ⎥ = t t m ∂t Z ωC ⎣ RC ⎦ ⎪⎪ ψ e =ψ m ⎨ tm Em ⎡ − RC ⎪∂ uc ( t ,ψ e ) ⎤ =0 sin ω t ψ ϕ sin ψ ϕ e = + − − − ( ) ( ) m m m ⎥⎦ ⎪ ∂ψ e t =tm Z ωC ⎢⎣ ψ e =ψ m ⎪⎩ ® 25 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Przekształcając: tm 1 − RC ⎧ ⎪ sin (ωtm + ψ m − ϕ ) = RωC cos (ψ m − ϕ ) e ⎨ ⎪ sin (ωt + ψ − ϕ ) = sin (ψ − ϕ ) e − RCtm m m m ⎩ Po podzieleniu stronami: sin (ψ m − ϕ ) 1 cos (ψ m − ϕ ) 1 → = = tg (ψ m − ϕ ) RωC sin (ψ m − ϕ ) RωC cos (ψ m − ϕ ) 1 1 Jednocześnie dla szeregowej gałęzi RC: − = tg (ϕ ) → = tg ( −ϕ ) RωC RωC tg (ψ m − ϕ ) = tg ( −ϕ ) 1= ψ m − ϕ = −ϕ + kπ ψ m = kπ k = 0 , ± 1 , . . . WNIOSEK: Największe wartości udaru napięciowego na kondensatorze w obwodzie RC możliwe są, kiedy komutacja nastąpi dokładnie w chwili przejścia napięcia zasilającego przez zero. Na przykład dla ψ e = ψ m = 0 ⋅ π = 0 napięcie na kondensatorze wyniesie: uc ( t ) = − ® Em ⎡ − t cos (ωt − ϕ ) − cos (ϕ ) ⋅ e RC ⎤ ⎦ Z ωC ⎣ 26 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 Przy czym tm spełnia równanie: e t m − RC sin (ωtm − ϕ ) =− sin (ϕ ) Ostatecznie: tm Em ⎡ − RC ⎤= uc max = uc ( tm ) t =− − − ⋅ cos ω ϕ cos ϕ e ( ) ( ) m ⎥⎦ Z ωC ⎢⎣ ψ m =0 sin (ωtm − ϕ ) ⎤ Em ⎡ = ⎢ cos (ωtm − ϕ ) + cos (φ ) ⎥= Z ωC ⎣ sin (ϕ ) ⎦ sin (ωtm ) Em = ⎡⎣ sin (ϕ ) cos (ωtm − ϕ ) + cos (ϕ ) sin (ωtm − ϕ ) ⎤⎦ = U cm Z ωC sin (φ ) sin (ϕ ) Stąd można określić współczynnik udaru napięciowego: ku = sin (ωtm ) uc max =− = 1 + R 2ω 2 C 2 sin (ωtm ) = 1 + ctg 2 (ϕ ) ⋅ sin (ωtm ) Ucm sin (ϕ ) ® 27 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 ( e ( t ) = 2 sin ( 2π ⋅1 ⋅ t + 0 ) 2 R = 1Ω ,C = 1F ,τ = RC = 1s ku = 1.0762 ,tm = 0.723s R = 1Ω ,C = 1F ,τ = RC = 1s ku = 1.6191,tm = 0.4591s uc - RC: tau=1[s], ku=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg] uc - RC: tau=1[s], ku=1.0762, tm=0.723[s], psie=90[deg] ucu ucp uc=ucu+ucp e 1 0.5 uc [V] uc [V] ucu ucp uc=ucu+ucp e 1 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 ) e ( t ) = 2 sin 2π ⋅1 ⋅ t + π 1 2 3 4 ® 5 t [s] 6 7 8 9 0 28 1 2 3 4 5 t [s] 6 7 8 9 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski Teoria Obwodów 2 UWAGA: Odrębnym zagadnieniem praktycznym jest pojęcie przepięć w obwodach elektrycznych; bezpośrednich i pośrednich – powstałych na skutek zjawisk atmosferycznych, uderzeń pioruna, bądź łączeniowych. Bliższe omawianemu zagadnieniu udaru napięciowego są zjawiska przepięć łączeniowych w obwodach elektrycznych. W tym jednak przypadku zjawisko przepięć rozpatruje się przy udziale indukcyjności L i pojemności, a wiec w ogólności układów RLC, nie tylko RC lub RL. W skrócie: zjawisko udaru prądowego – układy RL zjawisko udaru napięciowego – układy RC zjawisko udaru prądowego, napięciowego oraz przepięcia łączeniowe, oscylacje prądu – układy RLC. ® 29 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski