PRM. Prawo odbicia światła.

Prawo odbicia światła
dr inż. Romuald Kędzierski
Odbicie fal - przypomnienie
Kąt padania:
Jest to kąt pomiędzy tzw. promieniem fali padającej (wskazującym kierunek i zwrot
jej propagacji), a prostą prostopadłą (tzw. normalną) do powierzchni odbijającej,
wystawioną w rozpatrywanym punkcie padania.
Kąt odbicia:
Jest to kąt pomiędzy tzw. promieniem fali odbitej (wskazującym kierunek i zwrot
jej propagacji po odbiciu), a prostą prostopadłą (tzw. normalną) do powierzchni
odbijającej, wystawioną w rozpatrywanym punkcie padania.
normalna
promień fali padającej
promień fali odbitej
Wniosek:
jeżeli fala pada prostopadle, to:
powierzchnia odbijająca
Odbicie fal - przypomnienie
Zasada Huygensa:
Każdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło fali można uważać za źródło nowej
fali kulistej. Fale te zwane są falami cząstkowymi i interferują ze sobą. Wypadkową
powierzchnię falową tych fal cząstkowych tworzy powierzchnia styczna do
wszystkich powierzchni fal cząstkowych.
Zasada Fermata: (dla fal świetlnych)
Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B
przebywa zawsze lokalnie minimalną drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie
potrzeba czasu najkrótszego (dla przypadków klasycznych).
Prawo odbicia fal
Wyprowadzenie w oparciu o zasadę Fermata
Dana jest powierzchnia odbijająca oraz dwa punkty A i B leżące w różnej odległości od rozpatrywanej
powierzchni
normalna
Problem:
Korzystając z zasady Fermata, znajdź
taką drogę promienia fali wychodzącej z
punktu A, aby po odbiciu dotarł do
punktu B w najkrótszym czasie.
Który z promieni (AX) wychodzących z punktu
A, po odbiciu od powierzchni odbijającej,
przejdzie w najkrótszym czasie do punktu B?
- rzuty prostokątne punktów A i B na płaszczyznę odbijającą
- punkt będący obrazem punktu B względem powierzchni odbijającej
Najkrótszy czas przejścia z punktu A do punktu B’, odpowiada drodze ACB’, jeśli wszystkie te
punkty leżą na jednej prostej! Punkt X jest wtedy punktem C!
Zarazem trójkąty:
przystające!
Prawo odbicia fal – zasada Fermata
Jednocześnie pomiędzy kątami:
będącymi kątami wierzchołkowymi, zachodzi zależność:
kąty wierzchołkowe
Zarazem:
Zatem:
Ostatecznie:
Kąt odbicia ma taką samą miarę, jak kąt padania i oba kąty leżą
w jednej płaszczyźnie.
Prawo sformułowane przez Willebrorda Snella van Royena w 1618 r.
Prawo odbicia fal
Wyprowadzenie w oparciu o zasadę Fermata i znajomość rachunku różniczkowego.
Problem:
normalna
Jaki warunek musi zachodzić pomiędzy
kątem padania a kątem odbicia, aby czas
przejścia światła – rozchodzącego się z
prędkością v – z punktu A do B był
najkrótszy?
Droga przebyta przez światło:
Z rysunku wynika, że:
Zatem:
lub:
Czas przejścia światła – na drodze ACB – będzie najkrótszy dla tak dobranej
wartości x, dla której zależność tACB=f(x) osiągnie minimum.
Może to mieć miejsce dla takiego x, dla którego pierwsza pochodna badanej
zależności będzie równa zero.
Stąd:
Po redukcji wyrazów podobnych:
Zatem:
Z rysunku widać, że:
oraz
oraz
Stąd:
Czas przejścia światła będzie najkrótszy, jeżeli kąt odbicia będzie miał taką
samą miarę, jak kąt padania!
Uwaga:
Należałoby jeszcze wykazać, że dla:
rozpatrywana funkcja
ma wartość minimalną!
Jest to zadanie dla chętnych na ocenę celującą!