Marcus du Sautoy „Poker z Pitagorasem” Jak wygrać na loterii?

KANCELARIA ŚRODA
ŁĄKI 16D, 05-250 RADZYMIN K. WARSZAWY
Marcus du Sautoy
„Poker z Pitagorasem”
Przekład: Adam Bukowski i Jacek Środa
Jak wygrać na loterii?
Jest to pytanie, które najczęściej słyszę, gdy
mówię, Ŝe całe Ŝycie spędziłem na zabawach z
liczbami. JednakŜe podobnie jak przy rzutach
monetą, liczby, które wypadły w zeszłym tygodniu,
nie mają Ŝadnego wpływu na te, które zostaną
wylosowane w następną sobotę. Właśnie dlatego
mówi się o nich, Ŝe są losowe – ale pewnych ludzi
nigdy nie da się przekonać.
Losowania włoskiej loterii państwowej odbywają się
dwa razy w tygodniu w dziesięciu miastach.
Uczestnicy wybierają spośród liczb z zakresu od 1
do 90. W pewnym momencie okazało się, Ŝe w
Wenecji od dwóch lat nie została wylosowana
liczba 53. Wielu Włochów było pewnych, Ŝe po tak
długim czasie liczba ta na pewno padnie w ciągu
tygodnia. Pewna kobieta postawiła na 53
oszczędności całej swojej rodziny. Liczba nie
została wylosowana. Pechowa kobieta popełniła
samobójstwo – utopiła się w morzu. Jeszcze
tragiczniejszy był przypadek męŜczyzny, który
zastrzelił całą swoją rodzinę – a potem siebie- gdy
zaciągnął olbrzymie długi, by postawić na 53.
UwaŜa się, Ŝe Włosi zainwestowali 2,4 miliarda
funtów – średnio 150 funtów na rodzinę – licząc na
wylosowanie liczby 53.
Pojawiły się nawet głosy wzywające rząd do
usunięcia 53 z losowania, by połoŜyć wreszcie kres
narodowej obsesji na tle tej liczby. Kiedy 9. lutego
2005 roku tama wreszcie pękła i liczba 53 pojawiła
się w losowaniu, bliŜej niesprecyzowanej liczbie
graczy wypłacono łącznie 400 milionów funtów. Jak
było do przewidzenia, znaleźli się i tacy, którzy
oskarŜyli rząd o przetrzymywanie piłeczki z
numerem 53 – z zamiarem uniknięcia konieczności
wypłaty wysokiej wygranej. Nie był to pierwszy raz,
gdy doszło do podobnych oskarŜeń. W 1941 roku
w Rzymie piłeczka z numerem 8 nie wypadła
podczas 201 losowań. Wielu ludzi uwaŜało, Ŝe
stało się tak z rozkazu Mussoliniego, który
zamierzał pulę, wpłaconą przez obstawiającą
ósemkę graczy, przekazać na sfinansowanie
włoskiego wysiłku wojennego.
WWW.SRODA.COM.PL
Przekonajmy się, czy masz szczęście, grając w
naszą własną miniloterię. Nie mogę ci obiecać
milionowej wygranej, ale dobra wiadomość jest
taka, Ŝe udział w grze jest darmowy. śeby zagrać w
loterię, wybierz sześć spośród 49 liczb na kuponie.
Jakie są twoje szanse na trafienie wszystkich
sześciu liczb z 49 – i wygraną? śeby je policzyć,
musisz najpierw określić, jak wiele róŜnych
kombinacji sześciu liczb istnieje – nazwijmy je N. A
zatem twoje szanse na wybór zwycięskich liczb
wynoszą 1 do N. Dla rozgrzewki przyjrzyjmy się, na
ile róŜnych sposobów moŜna wybrać dwie liczby.
Pierwszą liczbę wybierasz spośród 49 dostępnych
numerów. Kiedy dokonasz wyboru, będziesz mógł
do niej dobrać jedną spośród pozostałych 48 liczb.
Otrzymujemy więc 49 × 48 dostępnych par liczb.
Ale chwileczkę – przecieŜ policzyliśmy je
podwójnie! Jeśli na przykład jako pierwszą
wybrałeś liczbę 27, a jako drugą 23, będzie to
oznaczało dokładnie to samo, co wybór najpierw
23, a potem 27. Tak więc istnieje tylko połowa
ogólnej liczby par, jaką wyznaczyliśmy na
początku, co oznacza, Ŝe dostępne jest ½ × 49 ×
48 par.
Przejdźmy teraz do sześciu liczb. Pierwszą z nich
moŜemy wybrać spośród 49, drugą z 48, trzecią z
47, czwartą z 46, piątą z 45 i wreszcie dla szóstej
pozostają nam 44 moŜliwości. Oznacza to 49 × 48
× 47 × 46 × 45 × 44 kombinacji sześciu liczb. Tyle
Ŝe znów niektóre z nich policzyliśmy dwukrotnie. Ile
razy na przykład policzyliśmy kombinację 1, 2, 3, 4,
5, 6? CóŜ – kaŜdą z tych liczb moŜemy wybrać jako
pierwszą w zestawie (na przykład 5). Oznacza to,
Ŝe nasz drugi wybór padnie na jedną z pięciu
pozostałych (na przykład 1), a kolejne – na jedną z
czterech (na przykład 2), trzech (na przykład 6),
dwóch (na przykład 4) i wreszcie, jako ostatnią
KANCELARIA ŚRODA
ŁĄKI 16D, 05-250 RADZYMIN K. WARSZAWY
liczbę, wybierzemy tę, która nam pozostała (w tym
przypadku 3). Oznacza to, Ŝe mogliśmy wytypować
sześć liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 na 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
róŜnych sposobów. Prawidłowość ta zachodzi dla
wszystkich kombinacji sześciu liczb. Musimy więc
podzielić 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 przez 6 × 5 ×
4 × 3 × 2 × 1, jeśli chcemy otrzymać całkowitą
liczbę sposobów wypełnienia kuponu totolotka.
Jaka jest odpowiedź? 13 983 816.
Ta sama wartość informuje nas takŜe o twoich
szansach na zwycięstwo, poniewaŜ stanowi łączną
liczbę moŜliwych kombinacji piłeczek, jakie
wypadną z maszyny losującej. Innymi słowy,
szansa, Ŝe wybierzesz właściwą kombinację ze
wszystkich dostępnych wynosi 1 do 13 983 816.
Jakie są szanse na to, Ŝe nie trafisz Ŝadnej z liczb?
Policzymy to w identyczny sposób, co poprzednio.
Pierwsza spośród wybranych przez ciebie liczb
musi być jedną z 43, które nie zostaną
wylosowane, druga z pozostałych 42 – i tak dalej.
Daje to 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38 rozmaitych
kombinacji. Jednak kaŜdą z nich policzyliśmy 6 × 5
× 4 × 3 × 2 × 1 razy. Zatem łączna liczba
kombinacji, w których nie padnie ani jedna z
wybranych przez ciebie liczb, wynosi 43 × 42 × 41
× 40 × 39 × 38 podzielone przez 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×
1, czyli 6 096 454. Nieco mniej niŜ połowa
wszystkich twoich moŜliwych wyborów zakończy
się brakiem jakichkolwiek trafień. Jeśli chcesz
dokładnie policzyć prawdopodobieństwo, Ŝe nie
trafisz Ŝadnej z wygrywających liczb, podziel
6 096 454 przez 13 983 816. Wynik w przybliŜeniu
wynosi 0,436 – czyli innymi słowy masz 43,6%
szansy na to, Ŝe nie będziesz mógł pochwalić się
ani jednym trafieniem.
Oznacza to teŜ, Ŝe masz 56,4% szans na to, Ŝe
wybierzesz prawidłowo przynajmniej jedną z liczb.
A jakie jest prawdopodobieństwo dwóch trafień?
Chcąc je policzyć, musisz znaleźć liczbę kombinacji
z dwiema poprawnymi liczbami. MoŜesz wybierać
najpierw spośród sześciu zwycięskich liczb, a
potem z pięciu. Mamy więc 6 × 5 – ale ponownie
trzeba podzielić tę wartość przez 2, by uniknąć
podwójnego liczenia. Jeśli zaś chodzi o cztery źle
skreślone liczby, moŜesz wybrać spośród 43 × 42 ×
41 × 40 kombinacji, które naleŜy podzielić przez 4 ×
WWW.SRODA.COM.PL
3 × 2 × 1 (bo właśnie tyle wynosi liczba podwójnych
wyborów, których moŜesz dokonać). Tak oto liczba
kombinacji, złoŜonych dokładnie z dwóch trafnych
liczb, wynosi
 6 × 5   43 × 42 × 41 × 40 

×
 = 1 851 150
 2   4 × 3 × 2 ×1 
Mówiąc obrazowo, gdybyś kupował kupon totolotka
co tydzień, w ciągu nieco ponad roku mógłbyś
oczekiwać co najmniej jednego prawidłowego
trafienia trzech liczb. Po mniej więcej 20 latach
mógłbyś spodziewać się co najmniej jednego
poprawnego wytypowania czterech liczb. Piast
Kołodziej, gdyby co tydzień grał w totolotka,
prawdopodobnie miałby juŜ na koncie jedną piątkę.
A gdyby pierwszemu Homo sapiens zaświtała w
głowie myśl, by pognać do najbliŜszej kolektury i
wypełnić kupon, który następnie wysyłałby co
tydzień, prawdopodobnie w tym tygodniu udałoby
mu się wreszcie zgarnąć główną nagrodę.
Nikt, komu poszczęści się na tyle, by trafić szóstkę,
nie chciałby, Ŝeby przydarzyło mu się to, co stało
się w Wielkiej Brytanii 14. stycznia 1995 roku – w
zaledwie dziewiątym tygodniu szaleństwa National
Lottery. W puli znalazła się wówczas olbrzymia
stawka 16 milionów funtów. Gdy sześć
wylosowanych piłeczek wytoczyło się z maszyny
losującej, szczęśliwi zwycięzcy niewątpliwie skakali
i wrzeszczeli z radości. Gdy jednak przyszło do
wypłaty wygranej, kaŜdy z nich odkrył, Ŝe musi
podzielić
się nią
ze
132 pozostałymi
szczęściarzami. Otrzymali marne 121.212,12 funtów na głowę.
Jak to się stało, Ŝe tylu ludzi trafiło szczęśliwą
kombinację? Badając przyczyny tego zdarzenia,
cofniemy się do uwagi, którą poczyniłem, gdy
omawialiśmy grę w papier, noŜyce i kamień: ludzie
kiepsko sobie radzą z wyborem liczb losowych.
Zakładając, Ŝe w loterii narodowej co tydzień bierze
udział 14 milionów ludzi, wielu z nich zapewne
skusiły podobne liczby, takie jak szczęśliwa 7 lub
własna data urodzenia czy rocznica (co wyklucza
liczby z zakresu 32–49). Inną szczególną cechą,
charakteryzującą nasze wybory, jest potrzeba
równomiernego rozłoŜenia wytypowanych przez
nas liczb.