obliczanie charakterystyk geometrycznych przekrojów

OBLICZANIE CHARAKTERYSTYK GEOMETRYCZNYCH
PRZEKROJÓW
Do podstawowych wielkości tworzących pakiet danych zwany „charakterystyką
geometryczną przekroju” należy:
- pole przekroju
A
- położenie środka ciężkości y (lub x w płaszczyźnie prostopadłej)
- moment bezwładności
Jx lub Jy
Pozostałe wielkości (wskaźnik wytrzymałości, moment statyczny, promień bezwładności) są
wielkościami które można wyznaczyć z podstawowych.
y
Bryły elementarne:
h
x
y=
b
A = ´h
2
h
y=
3
h
b
b
d
r
h
2
A = b ´h
A = p ´r = p
2
d
2
12
b ´ h3
Jy =
d
y =r =
2
4
b ´ h3
Jy =
Jy = p
48
r
4
4
=p
d4
64
•PRZEKROJE ZŁOŻONE ( z wielu brył)
Pole przekroju:
A=
åA = A
i
dc
c
b2
+ A w + At
Ac
h2
dw
Moment statyczny:
Obliczany względem dolnej krawędzi
Sy =
Ai yi = A t y t + A w y w + A c y c
dt
Aw
å
yw
lub obliczany względem górnej krawędzi:
Sd =
A i di = A t d t + A w d w + A c dc
hw
bw
yc
h1
At
å
h
b1
yt
Położenie środka ciężkości:
- względem dolnej krawędzi: y =
Sy
A
S
- względem górnej krawędzi: d = d
A
Moment bezwładności:
J=
Ji +
å
Ważne! y + d = h
å A (y - y )
i
i
2
, lub:
J=
å J + å A (d - d )
i
(oba wzory muszą dać taki sam wynik!)
i
i
2
•PRZEKROJE SPROWADZONE (złożone z brył z wielu materiałów)
W rozpatrywanym przekroju występują elementy wzajemnie związane (zespolone)
Cechy różnych materiałów należy sprowadzić do podstawowego (zazwyczaj: beton). Stosuje
się współczynnik materiałowy a, obliczony ze wzoru:
Acn
Moduł sprężystości i-tego materiału
(np.: stali, nadbetonu)
dcn
ds2
As2
ai =
dc
Ei
Epodst
ds1
Moduł sprężystości materiału
podstawowego (betonu)
dp
Ap
As1
Pole przekroju:
A cp = A c +
åa A
i
i
Elementy „wypierające” materiał
podstawowy (beton): a i –1
(np.: stal, cięgna)
å A + (a
A cp = Ac + (as - 1)
si
p
Przekrój podstawowy
(betonowy)
- 1)
åA
pi
+acn A cn
Element „dodany” do przekroju
Acn
dcn
ds2
As2
Moment statyczny przekroju:
dc
względem górnej krawędzi:
Scp =
ai A idi
ds1
å
dp
d
Dla materiału podstawowego (betonu) a i = 1
Dla elementów „wypierających” materiał podstawowy
(beton): a i -1 (np.: stal, cięgna)
Dla nadbetonu dcn ze znakiem „-”
Moment bezwładności:
Ap
As1
J cp = J + A c (d cp - d) 2 + å a i J i + å a i A i (d cp - d i ) 2
Dla zbrojenia (stali i cięgien) własne momenty bezwładności Ji można pominąć
Dla elementów „wypierających” materiał podstawowy (beton): a i-1 (np.: stal, cięgna)
Dla tego samego przekroju, w różnych sytuacjach obliczeniowych, mogą występować różnice
w budowie (np.: brak przyczepności kabli do ścianek kanałów kablowych, brak nadbetonu).
Należy to uwzględnić przy obliczaniu i wykorzystaniu charakterystyk geometrycznych w
stosowanych wzorach.
Bez szkody dla dokładności obliczeń można uprościć kształt przekroju:
Przykład
Obliczyć charakterystyki zadanego przekroju kablobetonowego w poszczególnych fazach
Beton prefabrykatu C40/50 Ecm = 35 GPa
(materiał podstawowy)
3
Ecm,n = 31 GPa
12
70
4
13
8
Zbrojenie sprężające 4 kable Æ12,7 mm,
Ep = 190 GPa; Ap1 = 100 mm2
średnica zewnętrzna kanału: dÄ = 16 mm
Zbrojenie uzupełniające (miękkie) 8#8 mm
Es = 200 GPa, A1 = 0,50 cm2
8
29
Beton zespalający C25/30
45
17
-
8 8
200
= 5,71
35
190
dla stali sprężającej: ap =
= 5,43
35
31
= 0,89
dla nadbetonu zespalającego: a c,n =
35
dla stali zbrojeniowej: a s =
3 10
-
15 10
Obliczenie współczynników a:
35
Faza 1 sprężenie prefabrykatu.
Przekrój tworzą: beton prefabrykatu i zbrojenie uzupełniające (cięgna sprężające nie są
„zespolone” z przekrojem), odejmujemy powierzchnie kanałów kablowych
Pole przekroju:
A cs0 = A c 0 - A Ä + (a s - 1) A1
å
æ 45 - 8 ö
æ 35 - 8 ö
A c 0 = 45 ´ 12 + 2ç
4 ÷ + 8 ´ (29 + 4 + 10) + 2ç
10 ÷ + 35 ´ 15 = 1827 cm2
è 2
ø
è 2
ø
2
1,6
AÄ = 4 ´ p
= 8 cm2;
A 1 = A s = 8 ´ 0,5 = 4 cm2
4
A cs0 = 1827 - 8 + (5,71 - 1)4 = 1838 cm2
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
Scs0,y = S c 0 - SÄ + (a s - 1)Ss
å
12 ö
4ö
æ
æ 45 - 8 öæ
æ 29 + 4 + 10
ö
Sc 0 = 45 ´ 12ç 70 - ÷ + 2ç
4 ÷ç 70 - 12 - ÷ + (29 + 4 + 10)8ç
+ 15 + 10 ÷ +
2ø
3ø
2
ø
è
è 2
øè
è
15
ö
æ 35 - 8 öæ 10
2ç
10 ֍
+ 15 ÷ + 35 ´ 15 ´
2
ø
è 2
øè 3
3
Sc 0 = 67830 cm
3 ´ 8 + 16
3 ´ 8 + 16
SÄ = A Ä
=8
= 80 cm3
4
4
A
Ss = s [(70 - 3) + (70 - 3 - 8) + (10 + 3) + 3] = 1,0[67 + 59 + 13 + 3] = 142 cm3
4
Scs0,y = 67830 - 80 + (5,71 - 1)142 = 68419 cm3
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:
y cs,0 =
S cs0,y
A cs,0
=
68149
= 37,08 cm
1838
Środek ciężkości względem górnej krawędzi:
dcs,0 = h - y cs,0 = 70 - 37,07 = 32,92 cm
Moment bezwładności przekroju:
Jcs,0 = Jc,0 - JÄ - A Ä Dy 2Ä + (a s - 1)A s Dy s2
wielkości pomocnicze:
S
S
142
80
yÄ = Ä =
= 10 cm;
ys = s =
= 35,5 cm
AÄ
8
As
4
Jc,0 =
å [J
c ,i
+ A c,i Dy 2c,1
]
2
Jc,1
12
45 ´ 123
æ
ö
=
+ 45 ´ 12ç 70 - 37,08 ÷ =
2
12
è
ø
397811 cm4
2
Jc ,2 =
4
4æ
(45 - 8) ´ 4 3
ö
+ (45 - 8) ç 70 - 12 - - 37,08 ÷ =
3
2è
48
ø
28439 cm4
2
Jc,3
29 + 4 + 10
8 ´ (29 + 4 + 10)3
æ
ö
=
+ 8(29 + 4 + 10)ç 15 + 10 +
- 37,08 ÷ =
2
12
è
ø
Jc , 4
10
10 æ
(35 - 8) ´ 103
ö
=
+ (35 - 8) ç 15 +
- 37,08 ÷ =
3
2 è
48
ø
83530 cm4
2
48007 cm4
2
Jc,5
Jc,0
Jcs,0
35 ´ 153
æ 15
ö
=
+ 35 ´ 15ç
- 37,08 ÷ =
12
è 2
ø
= 397811+ 28439 + 83530 + 48007 + 469206 =
469206 cm4
1026992 cm4
1,6 4
= 1026992 - 4 ´ p
- 8(10 - 37,08) 2 + (5,71 - 1)4(35,5 - 37,08) 2 =
64
1021171 cm4
Faza 2 Wypełnienie iniekcją kanałów kablowych (zespolenie cięgien z przekrojem)
Pole przekroju:
A cs,II = A cs,0 + A Ä + (ap - 1) A p = 1838 + 8 + (5,43 - 1)4 ´ 1,0 = 1864 cm2
å
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
ScsII,y = Scs,0 + SÄ + (ap - 1)Sp
Sp = A p
ScsII,y = 68419 + 80 + (5,43 - 1)40 = 68517 cm3
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:
3 ´ 8 + 16
3 ´ 8 + 16
=4
= 40 cm3
4
4
y cs,II =
ScsII,y
A cs,II
=
68517
= 36,76 cm
1864
Środek ciężkości względem górnej krawędzi:
dcs,II = h - y cs,II = 70 - 36,76 = 33,24 cm
Moment bezwładności przekroju:
Jcs,II = Jcs,0 + A cs,0 Dy 02 + JÄ + A Ä Dy Ä2 + (ap - 1)A p Dy p2 ;
yp = yÄ
Jcs,II = 1021171+ 1838(37,08 - 36,76) 2 + 4p
Jcs,II = 1039779 cm4
1,6 4
+ 8(10 - 36,76) 2 + (5,43 - 1)4(10 - 36,76) 2
64
Faza 3 Wykonanie betonu zespalającego
Pole przekroju:
17 - 13 ö
æ
A cs,z = A cs,II + a c,n A c ,n = 1864 + 0,89 ´ ç 13 ´ 30 +
30 ÷ = 2264 cm2
2
è
ø
17 - 13
30 = 450 cm2
A c,n = 13 ´ 30 +
2
A cs,z = 1864 + 0,89 ´ 450 = 2264 cm2
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
Scsz,y = ScsII,y + a c,nS c,n ;
30 ö
17 - 13 æ
2 ´ 30 ö
æ
3
Sc ,n = 30 ´ 13ç 70 +
÷ + 30
ç 70 +
÷ = 38550 cm
2 ø
2 è
3 ø
è
3
Scsz,y = 68517 + 0,89 ´ 38550 = 100410 cm
y cs,z =
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:
S csz,y
A cs,z
=
100410
= 44,35 cm
2264
Środek ciężkości względem górnej krawędzi:
dcs,z = h - y cs,z = 70 - 44,35 = 25,65 cm
Moment bezwładności przekroju:
Jcs,z = Jcs,II + A cs,II Dy II2 + ac,n Jc,n + A c,n Dy c2,n ;
wielkości pomocnicze:
S
38550
y c,n = c,n =
= 85,67 cm
y c,n0 = y c,n - h = 85,67 - 70,00 = 15,67 cm
A c,n
450
(
)
2
Jc,n
Jc,n
13 ´ 303
(17 - 13)303 (17 - 13) æ 2 ´ 30
æ 30
ö
ö
=
+ 13 ´ 30ç
- 15,67 ÷ +
+
30ç
- 15,67 ÷
12
48
2
è 2
ø
è 3
ø
4
= 31675 cm
[
Jcs,z = 1039779 + 1864(44,35 - 36,76)2 + 0,89 31675 + 450(44,35 - 85,67) 2
Jcs,z = 1859142 cm4
]
2