Szereg trygonometryczny Fouriera
Transkrypt
Szereg trygonometryczny Fouriera
Szereg trygonometryczny Fouriera i rozwijalno±¢ funkcji w szeregu trygonometrycznym Fouriera Szereg Fouriera to szereg pozwalaj¡cy rozªo»y¢ funkcj¦ okresow¡, speªniaj¡c¡ warunki Dirichleta, na sum¦ funkcji trygonometrycznych. Warunkami Dirichleta Przypu±¢my, »e f: R −→ R jest funkcj¡ okresow¡ o okresie T. Je±li f speªnia nast¦puj¡ce trzy warunki: 1. funkcja f jest bezwzgl¦dnie caªkowalna, tzn.: Z T 2 − T2 | f (x) | dx < ∞ 2. funkcja f w przedziale jednego okresu ma sko«czon¡ liczb¦ maksimów lokalnych i minimów lokalnych, 3. funkcja f w przedziale jednego okresu posiada sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gªo±ci pierwszego rodzaju, to f ma reprezentacj¦ w postaci szeregu Fouriera. Denicja (szereg trygonometryczny) Szeregiem trygonometrycznym na przedziale [ -π, π ] nazywamy szereg postaci: ∞ a0 X (an cosnx + bn sinnx), + 2 n=1 gdzie a0 ∈ R oraz an , bn ∈ R dla n ∈ N. Denicja (szereg Fouriera funkcji) Niech funkcja f bedzie caªkowalna na przedziale [ -π, π ]. Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg trygonometryczny ∞ a0 X + (an cosnx + bn sinnx), 2 n=1 gdzie an = 1Zπ f (x)cosnx dx dla n = 0, 1, 2, ... π −π oraz 1 1Zπ f (x)sinnx dx dla n = 0, 1, 2, .... bn = π −π Fakt, »e szereg trygonometryczny funkcji f zapisujemy symbolicznie: f (x) ∼ a0 P∞ + n=1 (an cosnx+bn sinnx) 2 jest szeregiem Fouriera ∞ a0 X + (an cosnx + bn sinnx), 2 n=1 Wspóªczynniki szeregu Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych 1. Je»eli funkcja f jest parzysta, to bn =0 dla n=1,2,... oraz 1Zπ f (x)cosnx dx dla n = 0, 1, 2, ... an = π 0 2. Je»eli funkcja f jest nieparzysta, to an =0 dla n=0,1,2,... oraz bn = 2Zπ f (x)sinnx dx dla n = 1, 2, .... π 0 Szereg Fouriera funkcji okre±lonej na przedziale [ -l, l ] ma posta¢: ∞ a0 X πnx πnx + (an cos + bn sin ), 2 l l n=1 gdzie 1Z l πnx f (x)cos an = dx dla n = 0, 1, 2, ... l −l l oraz 1Z l πnx bn = f (x)sin dx dla n = 0, 1, 2, .... l −l l 2 Przykªad 1 Niech f(x)=x, rozwiniemy teraz funkcj¦ w szereg Fouriera: a0 = 1Zπ 1Zπ 1 π 2 (−π)2 f (x) dx = x dx = ( − )=0 π −π π −π π 2 2 ( 1Zπ 1Zπ u = x v`=cosnx an = f (x)cosnx dx = x · cosnx dx = = u‘ = 1 v= n1 sinnx π −π π −π =x· Z π 1 1 1 1 sinnx |π−π − sinnx dx = 2 · cosnx |π−π = 2 (cosnπ − cosnπ) = 0 n n n −π n ( 1Zπ 1Zπ u = x v`=sinnx f (x)sinnx dx = x · sinnx dx = = bn = u‘ = 1 v=− n1 cosnx π −π π −π 1 Zπ 1 1 1 1 π cosnx |−π + cosnx dx = − cosnπ − cosn(−π) + 2 · sinnx |π−π = = −x · πn πn −π n n n 2 1 2 2 = − cosnπ + 2 (sinnπ − sinnπ) = − cosnπ = (−1)n+1 n n n n wi¦c x ∼ 2 ∞ X (−1)n+1 sinnx dla x ∈ (−π, π) n n=1 Przykªad 2 Niech f(x)=π 2 − x2 , rozwiniemy teraz funkcj¦ w szereg Fouriera: 1Zπ 1 1 1 1Zπ 2 2 1 1 f (x) dx = (π −x ) dx = (π 2 x− x3 ) |π−π = (− π 3 − π 3 +π 2 π−π 2 (−π)) = a0 = π −π π −π π 3 π 3 3 = an = 1 2 3 4 (− π + 2π 3 ) = π 2 π 3 3 1Zπ 1Zπ 2 2 1Zπ 2 1Zπ 2 f (x)cosnx dx = (π −x )cosnx dx = π cosnx dx− x cosnx dx = π −π π −π π −π π −π ( = π x2 2 Zπ u = x2 v`=cosnx π π = − sinnx |−π − sinnx |−π + xsinnx dx = u‘ = 2x v= n1 sinnx n πn πn −π ( = x 1Zπ 2 u = x v`=sinnx π (− cosnx | + cosnx dx) = = −π u‘ = 1 v=− n1 cosnx πn n n −π =− 2 2 4 4 cosnπ − 2 cosnπ = − 2 cosnπ = 2 (−1)n+1 2 n n n n 3 bn =0 wi¦c π 2 − x2 ∼ ∞ X 2π 2 (−1)n+1 +4 cosnx dla x ∈ (−π, π) 3 n2 n=1 Przykªady rozwini¦¢ funkcji w szereg Fouriera: π−x 2 |x| ∼ ∼ ∞ X 1 sinnx dla x ∈ (0, 2π) n=1 n ∞ 4X 1 π − cos(2n − 1)x dla x ∈ (−π, π) 2 π n=1 (2n − 1)2 sin4 x ∼ 3 1 1 − cos2x + cos4x dla x ∈ (−π, π) 8 2 8 4