Matematyka
Transkrypt
Matematyka
Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni Drogi Czytelniku W tej książce pragnę nauczyć Cię matematyki. W prosty i przyjazny sposób wytłumaczę Ci teorię i przećwiczymy ją na zadaniach omawiając krok po kroku kolejne etapy ich rozwiązywania. Zapraszam Cię na wspólną wędrówkę i mocno trzymam kciuki za Twoje powodzenie. Renata Bednarz Projekt autorski. Treść, opracowanie merytoryczne i graficzne, skład i przygotowanie książki do druku Renata Bednarz Fotografie na okładce z prywatnego albumu autorki: 1. Mt Everest, widok na szczyt podczas trekkingu w Himalajach. 2. Z grupą indyjskich uczniów. Dziękuję moim przyjaciołom za dobre słowo i wsparcie podczas pisania tej książki. Szczególne podziękowanie kieruję do Bartosza Dereszowskiego za techniczną współpracę i jego zaangażowanie. Copyright by Renata Bednarz Wszelkie prawa zastrzeżone. Zamawianie książki drogą internetową: e-mail: [email protected] www.zielonagalazka.pl Druk i oprawa: Drukarnia „Kolumb”. Wydanie I – rok 2010 ISBN 978-83-931016 -1-0 Dlaczego powstała ta książka. Napisałam ją, aby służyła Ci jako matematyczny przewodnik i była Twoim przyjacielem od początku do końca; od nauki tabliczki mnożenia aż do całki. Pragnę, aby ta książka prowadziła Cię do ciekawości i satysfakcji kiedy uda Ci się opanować przerabiany materiał, aby kształtowała Twoją wyobraźnię i logiczne myślenie. To wydanie kieruję do uczniów, którzy: - Przygotowują się do bieżących lekcji i do matury, - Chcą mieć całą matematykę w jednym tomie, - Lubią wędrować po pasjonujących matematycznych ścieżkach. Tematy opracowałam według wymagań programowych w szkole. Książka jest prosta w użyciu, wydana na matowym papierze, aby nie męczyła oczu i tak sklejona, że można ją bez obaw przełamywać w dowolnym miejscu. Jeśli będziesz mieć jakieś uwagi, spostrzeżenia czy opinie, ucieszę się, kiedy do mnie napiszesz. Pozdrawiam Cię serdecznie Renata Bednarz SPIS TREŚCI 1. Witaj w świecie liczb rzeczywistych ..................................................................... 14 2. Poznajemy nazwy zbiorów liczb ......................................................................... 15 Cyfry arabskie i rzymskie ......................................................................................... 17 Liczby pierwsze i złożone ........................................................................................ 18 Wielkie liczby – notacja wykładnicza .................................................................. 18 Najmniejsza wspólna wielokrotność - NWW................................................ 20 Największy wspólny dzielnik - NWD ................................................................... 21 Cechy podzielności ...................................................................................................... 22 3. Zamieniamy jednostki długości ............................................................................. 24 Zamieniamy jednostki powierzchni ..................................................................... 27 Zamieniamy jednostki objętości ............................................................................ 28 Zamieniamy jednostki miary gruntu ................................................................. 29 Zamieniamy jednostki masy .................................................................................... 31 Zamieniamy jednostki czasu ................................................................................... 32 4. Skala .................................................................................................................................. 33 5. Liczby całkowite ........................................................................................................... 37 Dodawanie i odejmowanie ...................................................................................... 37 Mnożenie i dzielenie................................................................................................. 39 6. Ułamki zwykłe ............................................................................................................... 41 Miejsce ułamka na osi ................................................................................................ 41 Dodawanie ...................................................................................................................... 42 Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika................................ 42 Odejmowanie ................................................................................................................ 43 Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy .................................. 44 Mnożenie ......................................................................................................................... 45 Dzielenie .......................................................................................................................... 45 Potęgowanie .................................................................................................................. 45 Skracanie ułamków ................................................................................................... 46 Rozszerzanie ułamków ............................................................................................ 47 Porównywanie ułamków ......................................................................................... 47 7. Ułamki dziesiętne ......................................................................................................... 49 Dodawanie i odejmowanie .................................................................................... 49 Mnożenie ......................................................................................................................... 49 Dzielenie .......................................................................................................................... 50 Potęgowanie .................................................................................................................. 52 8. Przybliżenia dziesiętne .............................................................................................. 53 9. Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny ........................................................... 55 10. Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły..................................................... 57 Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych ............................................ 57 11. Porządkowanie liczb wymiernych ...................................................................... 59 12. Liczby niewymierne.................................................................................................. 60 Ułamek okresowy – jaka to liczba? ...................................................................... 61 13. Kolejność wykonywania działań.......................................................................... 63 Zastosowanie kolejności w zadaniach .............................................................. 64 14. Procenty ........................................................................................................................ 66 Zamiana ułamka zwykłego na procent .......................................................... 66 Zamiana procentu na ułamek zwykły lub dziesiętny .............................. 66 Obliczanie procentu z danej liczby................................................................... 67 Obliczanie liczby mając dany jej procent ..................................................... 67 Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? .................................... 67 Obliczanie odsetek od lokaty ................................................................................. 68 Kapitalizacja odestek podczas roku kalendarzowego.................................. 69 Obniżka i podwyżka procentowa.......................................................................... 70 15. Wyrażenia algebraiczne – witamy literki ......................................................... 72 Najważniejsze nazwy wyrażeń algebraicznych .............................................. 72 Działania na wyrażeniach algebraicznych ........................................................ 75 Dodawanie i odejmowanie ...................................................................................... 75 Mnożenie ......................................................................................................................... 76 Dzielenie .......................................................................................................................... 77 Potęgowanie .................................................................................................................. 77 Wzory skróconego mnożenia ................................................................................. 79 Doprowadzanie wyrażeń do najprostszej postaci ..................................... 81 16. Jak rozwiązywać równania .................................................................................... 82 Proporcja w równaniu............................................................................................... 88 Proporcja w zadaniu tekstowym .......................................................................... 89 17. Wykres proporcjonalności prostej...................................................................... 91 18. Proporcjonalność odwrotna .................................................................................. 92 Przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych ..................................... 92 Wykres proporcjonalności odwrotnej ................................................................ 93 19. Przekształcanie wzorów ........................................................................................ 94 20. Zadania tekstowe z jedną niewiadomą.............................................................. 95 Zadania różne ................................................................................................................ 96 Zadania o wieku ........................................................................................................... 98 Z miasta A i B wyjeżdżają dwaj motocykliści ................................................... 99 Roztwory procentowe ............................................................................................... 99 21. Przedziały domknięte i otwarte .........................................................................102 Przedziały z nieskończonością w nawiasie ...................................................103 22. Nierówności z jedną niewiadomą......................................................................104 Co oznacza zwrot w nierówności ........................................................................104 Zmiana zwrotu w nierówności ............................................................................106 Rozwiązujemy nierówności ................................................................................106 23. Pierwiastek kwadratowy ......................................................................................108 Pomocnicza tabelka pierwiastków i kwadratów liczb ...............................108 Obliczanie pierwiastków kwadratowych ........................................................109 Działania na pierwiastkach .................................................................................110 Dodawanie i odejmowanie pierwiastków .......................................................110 Mnożenie sum i różnic, które zawierają pierwiastki ................................111 Skracanie pierwiastków ........................................................................................111 Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka.................................................112 Włączanie liczby pod znak pierwiastka ........................................................113 Uwalnianie mianownika od pierwiastka ......................................................113 24. Pierwiastek sześcienny..........................................................................................116 Tabelka pierwiastków i sześcianów liczb........................................................116 Wyłączanie czynnika przed pierwiastek sześcienny ..................................117 Włączanie czynnika pod znak pierwiastka .....................................................118 Uwymiernianie mianownika z pierwiastkiem sześciennym ...................119 25. Działania na zbiorach A, B ....................................................................................120 Suma, iloczyn i obie różnice ..................................................................................121 Dopełnienie zbioru ...................................................................................................121 Działania na przedziałach ....................................................................................122 26. Logika ...........................................................................................................................125 Alternatywa .................................................................................................................125 Koniunkcja ....................................................................................................................125 Implikacja .....................................................................................................................126 Równoważność ...........................................................................................................126 Logiczne tabelki..........................................................................................................127 27. Układ współrzędnych ............................................................................................ 129 Symetrie w układzie współrzędnych ................................................................ 129 28. Funkcja – definicja................................................................................................... 130 Sposoby prezentowania funkcji ........................................................................ 131 Zestaw własności każdej funkcji ....................................................................... 132 Dziedzina funkcji ...................................................................................................... 133 Miejsce zerowe funkcji .......................................................................................... 135 Monotoniczność funkcji .......................................................................................... 136 Parzystość i nieparzystość funkcji ..................................................................... 137 29. Wartość bezwzględna ............................................................................................ 138 Wykres wartości bezwzględnej ......................................................................... 139 Wykres wartości bezwzględnej przesunięty o wektor......................... 139 Równania i nierówności z wartością bezwzględną..................................... 140 Równanie z dwoma wartościami bezwzględnymi .................................. 142 Nierówność z dwoma wartościami bezwzględnymi .................................. 143 30. Funkcja liniowa ........................................................................................................ 145 Analiza własności funkcji liniowej ..................................................................... 145 Warunek równoległości i prostopadłości prostych .................................... 148 Parametr w funkcji liniowej............................................................................... 148 Postać kierunkowa i ogólna prostej ............................................................... 151 Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty................................... 152 Tangens kąta nachylenia prostej do osi x ....................................................... 154 31. Układ równań z dwiema niewiadomymi ........................................................ 156 Metody rozwiązywania układów równań ....................................................... 157 Porządkowanie układu równań ........................................................................ 160 Przykład układu nieoznaczonego ..................................................................... 162 Przykład układu sprzecznego .............................................................................. 162 Układ równań z trzema niewiadomymi ........................................................... 163 Zadania tekstowe na układ równań................................................................... 165 Układ nierówności liniowych ............................................................................. 170 32. Wzór funkcji w symetrii i translacji................................................................. 172 Symetria względem osi x...................................................................................... 172 Symetria względem osi y ........................................................................................ 173 Symetria względem punktu (0,0) ....................................................................... 174 Translacja, czyli przesunięcie wykresu o wektor ........................................ 175 33. Funkcja kwadratowa .............................................................................................. 179 Elementarne parabole ............................................................................................. 180 Własności funkcji kwadratowej .......................................................................... 181 Wpływ delty i współczynnika „a” na wykres paraboli ...............................187 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej .........................................................188 Postać iloczynowa funkcji kwadratowej.........................................................190 Wzory Viete’a, czyli minus baca ..........................................................................192 Równania kwadratowe ...........................................................................................195 Równania kwadratowe zupełne ..........................................................................195 Równanie kwadratowe niezupełne ...................................................................197 Równania kwadratowe iloczynowe ...................................................................199 Równania dwukwadratowe ..................................................................................201 Nierówności kwadratowe ......................................................................................203 Nierówności kwadratowe zupełne ....................................................................203 Nierówności kwadratowe niezupełne ..............................................................205 Zadania tekstowe z funkcją kwadratową ........................................................209 Parametr w funkcji kwadratowej .......................................................................212 Założenia do równań z parametrem..................................................................212 Założenia do nierówności z parametrem ........................................................215 34. Wielomiany ................................................................................................................217 Dodawanie ....................................................................................................................218 Odejmowanie ..............................................................................................................218 Mnożenie .......................................................................................................................219 Dzielenie ........................................................................................................................219 Równość wielomianów ...........................................................................................223 Rozkład wielomianu na czynniki ........................................................................224 Metody rozkładania wielomianu na czynniki ................................................225 Twierdzenie Bezout’a ..............................................................................................229 Równania wielomianowe .......................................................................................233 Równania rozłożone na czynniki ........................................................................233 Równania wielomianowe nierozłożone na czynniki ..................................235 Nierówności wielomianowe..................................................................................238 Wykres fali potrzebny do nierówności.............................................................238 Nierówności rozłożone na czynniki ...................................................................240 Nierówności nierozłożone na czynniki ............................................................242 Parametr w wielomianie ........................................................................................246 35. Funkcja wymierna ...................................................................................................248 Własności funkcji .......................................................................................................248 Postać kanoniczna funkcji wymiernej ..............................................................251 Zamiana funkcji homograficznej na postać kanoniczną ............................255 Działania na wyrażeniach wymiernych ...........................................................257 Skracanie wyrażeń wymiernych ......................................................................... 258 Mnożenie i dzielenie................................................................................................. 259 Dodawanie i odejmowanie .................................................................................... 261 Równania wymierne ................................................................................................ 263 Różnica między równaniem a nierównością ................................................. 266 Rozwiązujemy nierówności wymierne ............................................................ 267 36. Funkcja potęgowa.................................................................................................... 272 Miliardy wykresów funkcji .................................................................................... 272 Twierdzenia o potęgach ......................................................................................... 274 Pomocny zestaw potęg............................................................................................ 276 37. Funkcja wykładnicza ............................................................................................. 280 Własności funkcji....................................................................................................... 280 Przekształcenia funkcji ........................................................................................... 283 Przesunięcie wykresu o wektor .......................................................................... 283 Miejsce zerowe ........................................................................................................... 284 Równania i nierówności wykładnicze .............................................................. 286 38. Funkcja logarytmiczna........................................................................................... 289 Obliczanie logarytmu z liczby............................................................................... 289 Dziedzina logarytmu ................................................................................................ 293 Twierdzenia o logarytmach .................................................................................. 294 Równania logarytmiczne........................................................................................ 295 Nierówności logarytmiczne .................................................................................. 298 Wykres funkcji logarytmicznej ............................................................................ 300 Własności funkcji logarytmicznej ....................................................................... 301 Przekształcenia wykresów logarytmicznych................................................. 302 39. Geometria – podstawowe pojęcia ..................................................................... 304 Wzór na liczbę przekątnych w wielokącie ...................................................... 306 Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym ............................................... 306 Przekształcenia na płaszczyźnie – symetrie i inne ...................................... 309 Symetria osiowa......................................................................................................... 309 Symetria środkowa względem punktu ............................................................. 309 Translacja, czyli przesunięcie o wektor ........................................................... 310 Obrót figury o kąt ...................................................................................................... 310 Jednokładność............................................................................................................. 311 40. Planimetria – pola i obwody figur ..................................................................... 312 Jak zapisać równanie w planimetrii................................................................... 315 Twierdzenie Pitagorasa .......................................................................................... 316 Obliczanie pól i obwodów z zastosowaniem tw. Pitagorasa ................... 318 Zadania związane z trójkątem równobocznym ............................................320 Twierdzenie Talesa ...................................................................................................323 Podział odcinka na nieparzystą ilość równych części ................................324 Podział odcinka w danym stosunku ..................................................................325 Podział liczby w danym stosunku.......................................................................326 Figury podobne ..........................................................................................................327 Podobieństwo figur w zadaniach tekstowych ...............................................328 41. Funkcje trygonometryczne ..................................................................................330 Definicje sin, cos, tg, ctg...........................................................................................330 Funkcje trygonometryczne na układzie współrzędnych ..........................332 Funkcje dla kątów: ......................................................333 Zamiana stopni na radiany .................................................................................333 Zamiana radianów na stopnie ..............................................................................334 Tabelka wartości funkcji dla ......................................................335 Kiedy funkcje, a kiedy twierdzenie Pitagorasa?............................................335 Obliczanie trzech funkcji mając daną jedną z nich ......................................339 Tożsamości trygonometryczne ............................................................................340 Redukowanie wielkiego kąta do miary kąta ostrego ..................................342 Wzory redukcyjne dla itp ...............................................344 Konstrukcja kąta w oparciu o dany sin, cos, tg lub ctg ..............................345 Twierdzenie cosinusów i sinusów w trójkącie..............................................348 Równania trygonometryczne ...............................................................................352 Tabelka dla kątów: 0 30 45 60 , 90 180 270 ,360 .........................353 Nierówność trygonometryczna ...........................................................................358 42. Ciągi liczbowe............................................................................................................360 Wzór ciągu i jego zastosowanie ...........................................................................360 Pytania dotyczące wzoru ogólnego ....................................................................361 Wzór rekurencyjny ...................................................................................................362 Wykres ciągu ...............................................................................................................363 Monotoniczność ciągu .............................................................................................364 Ciąg arytmetyczny .....................................................................................................367 Ciąg geometryczny ....................................................................................................373 Połączony ciąg arytmetyczny z geometrycznym ..........................................376 Szereg geometryczny ...............................................................................................380 Zastosowanie szeregu w ułamku okresowym ...............................................382 Indukcja matematyczna ..........................................................................................383 43. Statystyka ................................................................................................................... 384 Średnia arytmetyczna .............................................................................................. 384 Mediana ......................................................................................................................... 384 Dominanta .................................................................................................................... 384 Średnia ważona .......................................................................................................... 385 Wariancja ...................................................................................................................... 385 Odchylenie standardowe........................................................................................ 385 44. Geometria analityczna .......................................................................................... 387 Wzór na długość odcinka, czyli odległość dwóch punktów ..................... 387 Wzór na środek odcinka AB .................................................................................. 387 Wektory ......................................................................................................................... 387 Prostopadłość i równoległość wektorów ........................................................ 390 Iloczyn skalarny wektorów ................................................................................... 391 Równanie prostej ...................................................................................................... 393 Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty ........................................ 395 Prosta równoległa ..................................................................................................... 395 Prosta prostopadła ................................................................................................... 395 Parabola, hiperbola................................................................................................... 395 Równanie okręgu....................................................................................................... 396 Wzajemne położenie dwóch okręgów .............................................................. 399 Odległość punktu od prostej ................................................................................. 400 Pole trójkąta ................................................................................................................ 401 Zadania analityczne z zastosowaniem kilku wzorów ................................ 402 45. Stereometria – co należy powtórzyć ................................................................ 408 46. Graniastosłupy.......................................................................................................... 410 Graniastosłup prawidłowy trójkątny ................................................................ 410 Graniastosłup prawidłowy czworokątny ........................................................ 411 Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ........................................................ 411 Prostopadłościan ....................................................................................................... 412 Sześcian ......................................................................................................................... 412 Obliczanie objętości i powierzchni graniastosłupów ................................. 413 47. Ostrosłupy .................................................................................................................. 421 Ostrosłup prawidłowy trójkątny ........................................................................ 421 Czworościan foremny .............................................................................................. 422 Ostrosłup prawidłowy czworokątny................................................................. 423 Ostrosłup czworokątny o podstawie prostokąta ......................................... 424 Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ................................................................. 425 Kąty w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym .............................................. 426 Kąty w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ......................................427 Obliczanie objętości i powierzchni ostrosłupów..........................................428 48. Bryły obrotowe .........................................................................................................436 Walec ..............................................................................................................................436 Stożek .............................................................................................................................437 Kula..................................................................................................................................438 Obliczanie objętości i powierzchni walca ........................................................439 Obliczanie objętości i powierzchni stożka ......................................................443 Jak omijać sin, cos, tg mając kąt i bok ................................................................446 Kula w zadaniach .......................................................................................................448 49. Kombinatoryka .........................................................................................................451 Reguła mnożenia .......................................................................................................452 Permutacja ...................................................................................................................457 Skracanie ułamków, w których występuje silnia .........................................457 Zastosowanie permutacji .......................................................................................459 Wariacja z powtórzeniami .................................................................................460 Wyniki rzutów kostką lub monetą .....................................................................461 Zadania na wariację z powtórzeniami ..............................................................462 Wariacja bez powtórzeń .........................................................................................464 Zadania na wariację bez powtórzeń ................................................................464 Kombinacja - symbol Newtona ............................................................................467 Zadania na kombinację............................................................................................468 Szybkie obliczanie kombinacji bez wzoru .......................................................470 Karciane kombinacje ................................................................................................471 Kłopotliwe „co najmniej” i „co najwyżej” .........................................................473 Kombinatoryka – podsumowanie wiadomości .............................................475 50. Rachunek prawdopodobieństwa ......................................................................477 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa .....................................................478 Obliczanie prawdopodobieństwa z wariacji i reguły mnożenia ...........479 Obliczanie prawdopodobieństwa z kombinacji ...........................................485 Metoda drzewka.........................................................................................................489 Wzór na prawdopodobieństwo sumy i iloczynu ..........................................494 Prawdopodobieństwo warunkowe...................................................................496 Niezależność zdarzeń..............................................................................................499 Prawdopodobieństwo całkowite ........................................................................501 Schemat Bernoulliego ..............................................................................................505 51. Granice funkcji .......................................................................................................... 509 Granica na krańcach nieskończoności .............................................................. 509 Granica w punkcie ..................................................................................................... 511 Granica lewostronna i prawostronna ............................................................... 513 52. Pochodna funkcji...................................................................................................... 515 Obliczanie pochodnej z wzorów.......................................................................... 515 Pochodne z funkcji trygonometrycznych ........................................................ 516 Pochodne z pierwiastków ...................................................................................... 516 Pochodna z iloczynu dwóch funkcji ................................................................... 516 Pochodna z ilorazu dwóch funkcji.................................................................. 517 Obliczanie pochodnej z definicji .......................................................................... 518 Pochodna a monotoniczność funkcji ................................................................. 520 Ekstremum funkcji.................................................................................................... 523 Styczna do krzywej ................................................................................................... 524 Pochodna w zadaniu optymalizacyjnym ......................................................... 525 53. Badanie przebiegu zmienności funkcji ............................................................ 528 Przebieg funkcji wielomianowej ......................................................................... 528 Przebieg funkcji wymiernej .................................................................................. 532 54. Asymptoty .................................................................................................................. 536 Asymptota pionowa ................................................................................................. 536 Asymptota pozioma.................................................................................................. 538 Asymptota ukośna..................................................................................................... 539 55. Całka z funkcji .......................................................................................................... 540 Obliczanie całki z wzorów ..................................................................................... 540 Całkowanie przez części ......................................................................................... 543 14 1. WITAJ W ŚWIECIE LICZB RZECZYWISTYCH Na początku matematycznej drogi poznajesz dodatnie całości. Jeszcze nie znasz ich „fachowej” nazwy, ale już dodajesz je, odejmujesz, itd. Powita Cię także tabliczka mnożenia. Jeśli masz z nią kłopoty, to narysuj sobie tabelkę, która jest poniżej. Potem przepisz ją 8 -10 razy. Pozornie wyda Ci się to bez sensu, jednak Twój umysł będzie kodował liczby i ćwiczył pamięć, a o to w nauce chodzi. Zauważ, że w mnożeniu przez „2” liczby maszerują dwójkami: 2, 4, 6,… W wierszu „3” maszerują trójkami: 3, 6, 9, 12, 15, 18,… W wierszu „6” maszerują szóstkami: 6, 12, 18, 24, 30, 36,… W wierszu „7” maszerują siódemkami: 7, 14, 21, 28, 35, 42,… Taki logiczny układ jest w całej tabelce: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Zauważ, że w wierszu 9 są liczby: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Przy 1 stoi 8, bo 1+8 = 9; przy 2 jest 7, bo 2+7 = 9. Zawsze razem 9. Tylko na 9 tak jest. W wolnym czasie choćby na palcach możesz dodawać czwórki, szóstki, siódemki czy ósemki i oswajać się z tabelkowymi liczbami. Naucz się dobrze tabliczki mnożenia, wtedy zadania rozwiążesz o wiele szybciej i będziesz mieć więcej czasu na swoje pasje i zainteresowania. 15 2. POZNAJEMY NAZWY ZBIORÓW LICZB Na początku poznajesz dodatnie całości. To zbiór liczb naturalnych. Do nich należy również zero. Naturalne oznaczamy N – naturalne 0 1 2 7 23 33 47 Potem dowiadujesz się o liczbach ujemnych. Odczytujesz je np. z termometru: Ujemne całości to liczby całkowite. To zbiór, do którego należą także dodatnie całości, czyli liczby naturalne. C – całkowite -1 -4 -9 N – naturalne 0 1 2 3 Liczby naturalne zawierają się w zbiorze liczb całkowitych Zapisujemy to Liczby całkowite to las, w którym znajduje się polana naturalnych. Przyszedł czas na ułamki. Są to liczby wymierne: ; 3 ; 12,97. W – wymierne 1,4 C – całkowite -1 -4 -9 N – naturalne 0 1 5 23 Wymierne to wyspa W, na której znajduje się las a w nim jest polana . zawiera się w zawiera się w zawiera się w Oprócz liczb wymiernych są jeszcze liczby niewymierne. Na kalkulatorze ciągną się one w nieskończoność, np. 4,7138492… – niewymierne 16 Liczby niewymierne nie mają nic wspólnego z wymiernymi, to zupełnie inna bajka. Jednakże niewymierne i wymierne tworzą cały świat liczb rzeczywistych. ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH W 1,72 R C N 0 1 7 Nw W O 5 powiesz, że to liczba naturalna, całkowita, wymierna, rzeczywista. O liczbie 3,758 powiesz, że jest wymierna i rzeczywista. O liczbie powiesz: naturalna, całkowita, wymierna, rzeczywista. O liczbie powiesz, że jest niewymierna i rzeczywista. Gdy wpiszesz ją do kalkulatora, to okaże się, że jej rozwinięcie jest nieskończone: Taki zapis przeczytasz: 5 - liczba 5 należy do liczb naturalnych. - ułamek 0,3 nie należy do liczb naturalnych. Znak „należy” lub „nie należy” wstawiasz między liczbą i zbiorem.