Kopia NIEDZIELA 24-GO

SPIS TREŚCI
1. Witaj w świecie liczb rzeczywistych ..................................................................... 14
2. Poznajemy nazwy zbiorów liczb ......................................................................... 15
Cyfry arabskie i rzymskie ......................................................................................... 17
Liczby pierwsze i złożone ........................................................................................ 18
Wielkie liczby – notacja wykładnicza .................................................................. 18
Najmniejsza wspólna wielokrotność - NWW................................................ 20
Największy wspólny dzielnik - NWD ................................................................... 21
Cechy podzielności ...................................................................................................... 22
3. Zamieniamy jednostki długości ............................................................................. 24
Zamieniamy jednostki powierzchni ..................................................................... 27
Zamieniamy jednostki objętości ............................................................................ 28
Zamieniamy jednostki miary gruntu ................................................................. 29
Zamieniamy jednostki masy .................................................................................... 31
Zamieniamy jednostki czasu ................................................................................... 32
4. Skala .................................................................................................................................. 33
5. Liczby całkowite ........................................................................................................... 37
Dodawanie i odejmowanie ...................................................................................... 37
Mnożenie i dzielenie................................................................................................. 39
6. Ułamki zwykłe ............................................................................................................... 41
Miejsce ułamka na osi ................................................................................................ 41
Dodawanie...................................................................................................................... 42
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika................................ 42
Odejmowanie ................................................................................................................ 43
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy .................................. 44
Mnożenie ......................................................................................................................... 45
Dzielenie .......................................................................................................................... 45
Potęgowanie .................................................................................................................. 45
Skracanie ułamków ................................................................................................... 46
Rozszerzanie ułamków ............................................................................................ 47
Porównywanie ułamków ......................................................................................... 47
7. Ułamki dziesiętne ......................................................................................................... 49
Dodawanie i odejmowanie .................................................................................... 49
Mnożenie ......................................................................................................................... 49
Dzielenie .......................................................................................................................... 50
Potęgowanie .................................................................................................................. 52
8. Przybliżenia dziesiętne .............................................................................................. 53
9. Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny ........................................................... 55
10. Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły..................................................... 57
Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych ............................................ 57
11. Porządkowanie liczb wymiernych ...................................................................... 59
12. Liczby niewymierne..................................................................................................
niewymierne
60
Ułamek okresowy........................................................................................................ 61
13. Kolejność wykonywania działań.......................................................................... 63
Zastosowanie kolejności w zadaniach .............................................................. 64
14. Procenty ........................................................................................................................ 66
Zamiana ułamka zwykłego na procent .......................................................... 66
Zamiana procentu na ułamek zwykły lub dziesiętny .............................. 66
Obliczanie procentu z danej liczby................................................................... 67
Obliczanie liczby mając dany jej procent ..................................................... 67
Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? .................................... 67
Obliczanie odsetek od lokaty ................................................................................. 68
Kapitalizacja odestek podczas roku kalendarzowego.................................. 69
Obniżka i podwyżka procentowa.......................................................................... 70
15.
15. Wyrażenia algebraiczne – witamy literki ......................................................... 72
Najważniejsze nazwy wyrażeń algebraicznych .............................................. 72
Działania na wyrażeniach algebraicznych ........................................................ 75
Dodawanie i odejmowanie ...................................................................................... 75
Mnożenie......................................................................................................................... 76
Dzielenie.......................................................................................................................... 77
Potęgowanie .................................................................................................................. 77
Wzory skróconego mnożenia ................................................................................. 79
Doprowadzanie wyrażeń do najprostszej postaci..................................... 81
16. Jak rozwiązywać
rozwiązywać równania .................................................................................... 82
Proporcja w równaniu............................................................................................... 88
Proporcja w zadaniu tekstowym .......................................................................... 89
17.
17. Wykres proporcjonalności prostej...................................................................... 91
18. Proporcjonalność odwrotna .................................................................................. 92
Przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych ..................................... 92
Wykres proporcjonalności odwrotnej ................................................................ 93
19. Przekształcanie wzorów ........................................................................................ 94
20. Zadania tekstowe z jedną niewiadomą.............................................................. 95
Zadania różne ................................................................................................................ 96
Zadania o wieku ........................................................................................................... 98
Z miasta A i B wyjeżdżają dwaj motocykliści ................................................... 99
Roztwory procentowe ............................................................................................... 99
21. Przedziały domknięte i otwarte .........................................................................102
Przedziały z nieskończonością w nawiasie ...................................................103
22. Nierówności z jedną niewiadomą......................................................................104
Co oznacza zwrot w nierówności........................................................................104
Zmiana zwrotu w nierówności ............................................................................106
Rozwiązujemy nierówności ................................................................................106
23. Pierwiastek kwadratowy ......................................................................................108
Pomocnicza tabelka pierwiastków i kwadratów liczb ...............................108
Obliczanie pierwiastków kwadratowych ........................................................109
Działania na pierwiastkach .................................................................................110
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków .......................................................110
Mnożenie sum i różnic, które zawierają pierwiastki ................................111
Skracanie pierwiastków ........................................................................................111
Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka.................................................112
Włączanie liczby pod znak pierwiastka ........................................................113
Uwalnianie mianownika od pierwiastka ......................................................113
24. Pierwiastek
Pierwiastek sześcienny..........................................................................................116
Tabelka pierwiastków i sześcianów liczb........................................................116
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek sześcienny ..................................117
Włączanie czynnika pod znak pierwiastka .....................................................118
Uwymiernianie mianownika z pierwiastkiem sześciennym ...................119
25. Działania na zbiorach A, B ....................................................................................120
Suma, iloczyn i obie różnice ..................................................................................121
Dopełnienie zbioru ...................................................................................................121
Działania na przedziałach ....................................................................................122
26. Logika ...........................................................................................................................125
Alternatywa .................................................................................................................125
Koniunkcja....................................................................................................................125
Implikacja .....................................................................................................................126
Równoważność...........................................................................................................126
Logiczne tabelki..........................................................................................................127
27. Układ współrzędnych ............................................................................................129
Symetrie w układzie współrzędnych ................................................................129
28. Funkcja – definicja...................................................................................................130
Sposoby prezentowania funkcji ........................................................................131
Zestaw własności każdej funkcji .......................................................................132
Dziedzina funkcji ......................................................................................................133
Miejsce zerowe funkcji ..........................................................................................135
Monotoniczność funkcji ..........................................................................................136
Parzystość i nieparzystość funkcji .....................................................................137
29. Wartość bezwzględna ............................................................................................138
Wykres wartości bezwzględnej .........................................................................139
Wykres wartości bezwzględnej przesunięty o wektor.........................139
Równania i nierówności z wartością bezwzględną.....................................140
Równanie z dwoma wartościami bezwzględnymi ..................................142
Nierówność z dwoma wartościami bezwzględnymi ..................................143
30. Funkcja liniowa ........................................................................................................145
Analiza własności funkcji liniowej .....................................................................145
Warunek równoległości i prostopadłości prostych ....................................148
Parametr w funkcji liniowej...............................................................................148
Postać kierunkowa i ogólna prostej ............................................................... 151
Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty...................................152
Tangens kąta nachylenia prostej do osi x.......................................................154
31. Układ równań z dwiema niewiadomymi ........................................................156
Metody rozwiązywania układów równań.......................................................157
Porządkowanie układu równań ........................................................................ 160
Przykład układu nieoznaczonego ..................................................................... 162
Przykład układu sprzecznego ..............................................................................162
Układ równań z trzema niewiadomymi ...........................................................163
Zadania tekstowe na układ równań...................................................................165
Układ nierówności liniowych .............................................................................170
32.
32. Wzór funkcji w symetrii i translacji.................................................................172
Symetria względem osi x......................................................................................172
Symetria względem osi y........................................................................................173
Symetria względem punktu (0,0) ....................................................................... 174
Translacja, czyli przesunięcie wykresu o wektor ........................................175
33. Funkcja kwadratowa ..............................................................................................179
Elementarne parabole .............................................................................................180
Własności funkcji kwadratowej ..........................................................................181
Wpływ delty i współczynnika „a” na wykres paraboli ...............................187
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej .........................................................188
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej.........................................................190
Wzory Viete’a, czyli minus baca ..........................................................................192
Równania kwadratowe ...........................................................................................195
Równania kwadratowe zupełne ..........................................................................195
Równanie kwadratowe niezupełne ...................................................................197
Równania kwadratowe iloczynowe ...................................................................199
Równania dwukwadratowe ..................................................................................201
Nierówności kwadratowe ......................................................................................203
Nierówności kwadratowe zupełne ....................................................................203
Nierówności kwadratowe niezupełne ..............................................................205
Zadania tekstowe z funkcją kwadratową ........................................................209
Parametr w funkcji kwadratowej .......................................................................212
Założenia do równań z parametrem..................................................................212
Założenia do nierówności z parametrem ........................................................215
34. Wielomiany ................................................................................................................217
Dodawanie....................................................................................................................218
Odejmowanie ..............................................................................................................218
Mnożenie .......................................................................................................................219
Dzielenie ........................................................................................................................219
Równość wielomianów ...........................................................................................223
Rozkład wielomianu na czynniki ........................................................................224
Metody rozkładania wielomianu na czynniki ................................................225
Twierdzenie Bezout’a ..............................................................................................229
Równania wielomianowe .......................................................................................233
Równania rozłożone na czynniki ........................................................................233
Równania wielomianowe nierozłożone na czynniki ..................................235
Nierówności wielomianowe..................................................................................238
Wykres fali potrzebny do nierówności.............................................................238
Nierówności rozłożone na czynniki ...................................................................240
Nierówności nierozłożone na czynniki ............................................................242
Parametr w wielomianie ........................................................................................246
35. Funkcja wymierna ...................................................................................................248
Własności funkcji.......................................................................................................248
Postać kanoniczna funkcji wymiernej ..............................................................251
Zamiana funkcji homograficznej na postać kanoniczną ............................255
Działania na wyrażeniach wymiernych ...........................................................257
Skracanie wyrażeń wymiernych ......................................................................... 258
Mnożenie i dzielenie.................................................................................................259
Dodawanie i odejmowanie ....................................................................................261
Równania wymierne ................................................................................................263
Różnica między równaniem a nierównością .................................................266
Rozwiązujemy nierówności wymierne ............................................................267
36. Funkcja potęgowa....................................................................................................
272
potęgowa
Miliardy wykresów funkcji ....................................................................................272
Twierdzenia o potęgach .........................................................................................274
Pomocny zestaw potęg............................................................................................276
37. Funkcja wykładnicza .............................................................................................280
Własności funkcji.......................................................................................................280
Przekształcenia funkcji ...........................................................................................283
Przesunięcie wykresu o wektor ..........................................................................283
Miejsce zerowe ...........................................................................................................284
Równania i nierówności wykładnicze ..............................................................286
38. Funkcja logarytmiczna...........................................................................................289
Obliczanie logarytmu z liczby...............................................................................289
Dziedzina logarytmu ................................................................................................293
Twierdzenia o logarytmach ..................................................................................294
Równania logarytmiczne........................................................................................295
Nierówności logarytmiczne ..................................................................................298
Wykres funkcji logarytmicznej ............................................................................300
Własności funkcji logarytmicznej .......................................................................301
Przekształcenia wykresów logarytmicznych.................................................302
39. Geometria – podstawowe pojęcia .....................................................................304
Wzór na liczbę przekątnych w wielokącie ......................................................306
Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym ...............................................306
Przekształcenia na płaszczyźnie – symetrie i inne ......................................309
Symetria osiowa.........................................................................................................309
Symetria środkowa względem punktu .............................................................309
Translacja, czyli przesunięcie o wektor ...........................................................310
Obrót figury o kąt ......................................................................................................310
Jednokładność.............................................................................................................311
40. Planimetria – pola i obwody figur .....................................................................312
Jak zapisać równanie w planimetrii................................................................... 315
Twierdzenie Pitagorasa ..........................................................................................316
Obliczanie pól i obwodów z zastosowaniem tw. Pitagorasa ...................318
Zadania związane z trójkątem równobocznym ............................................320
Twierdzenie Talesa...................................................................................................323
Podział odcinka na nieparzystą ilość równych części ................................324
Podział odcinka w danym stosunku ..................................................................325
Podział liczby w danym stosunku.......................................................................326
Figury podobne ..........................................................................................................327
Podobieństwo figur w zadaniach tekstowych ...............................................328
41. Funkcje trygonometryczne ..................................................................................330
Definicje sin, cos, tg, ctg...........................................................................................330
Funkcje trygonometryczne na układzie współrzędnych ..........................332
Funkcje dla kątów: OP°, RSP°, TUP°, VWP°......................................................333
Zamiana stopni na radiany .................................................................................333
Zamiana radianów na stopnie ..............................................................................334
Tabelka wartości funkcji dla VP°, XY°, WP° ......................................................335
Kiedy funkcje, a kiedy twierdzenie Pitagorasa?............................................335
Obliczanie trzech funkcji mając daną jedną z nich ......................................339
Tożsamości trygonometryczne ............................................................................340
Redukowanie wielkiego kąta do miary kąta ostrego..................................342
Wzory redukcyjne dla OP° Z [, RSP° Z [, itp ...............................................344
Konstrukcja kąta w oparciu o dany sin, cos, tg lub ctg..............................345
Twierdzenie cosinusów i sinusów w trójkącie..............................................348
Równania trygonometryczne ...............................................................................352
tabelka dla kątów: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°,180°,270°,360°...........................353
Nierówność trygonometryczna ...........................................................................358
42. Ciągi liczbowe............................................................................................................360
Wzór ciągu i jego zastosowanie ...........................................................................360
Pytania dotyczące wzoru ogólnego ....................................................................361
Wzór rekurencyjny ...................................................................................................362
Wykres ciągu ...............................................................................................................363
Monotoniczność ciągu .............................................................................................364
Ciąg arytmetyczny .....................................................................................................367
Ciąg geometryczny ....................................................................................................373
Połączony ciąg arytmetyczny z geometrycznym..........................................376
Szereg geometryczny ...............................................................................................380
Zastosowanie szeregu w ułamku okresowym...............................................382
Indukcja matematyczna ..........................................................................................383
43. Statystyka ...................................................................................................................384
Średnia arytmetyczna ..............................................................................................384
Mediana .........................................................................................................................384
Dominanta ....................................................................................................................384
Średnia ważona ..........................................................................................................385
Wariancja ......................................................................................................................385
Odchylenie standardowe........................................................................................385
44. Geometria analityczna ..........................................................................................387
Wzór na długość odcinka, czyli odległość dwóch punktów .....................387
Wzór na środek odcinka AB ..................................................................................387
Wektory .........................................................................................................................387
Prostopadłość i równoległość wektorów ........................................................390
Iloczyn skalarny wektorów ...................................................................................391
Równanie prostej ......................................................................................................393
Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty ........................................395
Prosta równoległa .....................................................................................................395
Prosta prostopadła ...................................................................................................395
Parabola, hiperbola...................................................................................................395
Równanie okręgu.......................................................................................................396
Wzajemne położenie dwóch okręgów ..............................................................399
Odległość punktu od prostej .................................................................................400
Pole trójkąta ................................................................................................................401
Zadania analityczne z zastosowaniem kilku wzorów ................................402
45. Stereometria – co należy powtórzyć ................................................................408
46. Graniastosłupy..........................................................................................................410
Graniastosłup prawidłowy trójkątny................................................................410
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ........................................................411
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ........................................................411
Prostopadłościan .......................................................................................................412
Sześcian .........................................................................................................................412
Obliczanie objętości i powierzchni graniastosłupów .................................413
47. Ostrosłupy ..................................................................................................................421
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ........................................................................421
Czworościan foremny ..............................................................................................422
Ostrosłup prawidłowy czworokątny.................................................................423
Ostrosłup czworokątny o podstawie prostokąta .........................................424
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny .................................................................425
Kąty w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ..............................................426
Kąty w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ......................................427
Obliczanie objętości i powierzchni ostrosłupów..........................................428
48. Bryły obrotowe.........................................................................................................436
Walec ..............................................................................................................................436
Stożek .............................................................................................................................437
Kula..................................................................................................................................438
Obliczanie objętości i powierzchni walca ........................................................439
Obliczanie objętości i powierzchni stożka ......................................................443
Jak omijać sin, cos, tg mając kąt i bok ................................................................446
Kula w zadaniach .......................................................................................................448
49. Kombinatoryka .........................................................................................................451
Reguła mnożenia .......................................................................................................452
Permutacja ...................................................................................................................457
Skracanie ułamków, w których występuje silnia .........................................457
Zastosowanie permutacji .......................................................................................459
Wariacja z powtórzeniami.................................................................................460
Wyniki rzutów kostką lub monetą .....................................................................461
Zadania na wariację z powtórzeniami ..............................................................462
Wariacja bez powtórzeń .........................................................................................464
Zadania na wariację bez powtórzeń ................................................................464
Kombinacja - symbol Newtona ............................................................................467
Zadania na kombinację............................................................................................468
Szybkie obliczanie kombinacji bez wzoru .......................................................470
Karciane kombinacje ................................................................................................471
Kłopotliwe „co najmniej” i „co najwyżej” .........................................................473
Kombinatoryka – podsumowanie wiadomości .............................................475
50. Rachunek prawdopodobieństwa ......................................................................477
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa .....................................................478
Obliczanie prawdopodobieństwa z wariacji i reguły mnożenia ...........479
Obliczanie prawdopodobieństwa z kombinacji ...........................................485
Metoda drzewka.........................................................................................................489
Wzór na prawdopodobieństwo sumy i iloczynu ..........................................494
Prawdopodobieństwo warunkowe...................................................................496
Niezależność zdarzeń..............................................................................................499
Prawdopodobieństwo całkowite ........................................................................501
Schemat Bernoulliego ..............................................................................................505
51. Granice funkcji ..........................................................................................................509
Granica na krańcach nieskończoności ..............................................................509
Granica w punkcie .....................................................................................................511
Granica lewostronna i prawostronna ...............................................................513
52. Pochodna funkcji......................................................................................................
515
funkcji
Obliczanie pochodnej z wzorów..........................................................................515
Pochodne z funkcji trygonometrycznych ........................................................516
Pochodne z pierwiastków ......................................................................................516
Pochodna z iloczynu dwóch funkcji ................................................................... 516
Pochodna z ilorazu dwóch funkcji.................................................................. 517
Obliczanie pochodnej z definicji ..........................................................................518
Pochodna a monotoniczność funkcji .................................................................520
Ekstremum funkcji....................................................................................................523
Styczna do krzywej ...................................................................................................524
Pochodna w zadaniu optymalizacyjnym .........................................................525
53. Badanie przebiegu zmienności funkcji ............................................................ 528
Przebieg funkcji wielomianowej .........................................................................528
Przebieg funkcji wymiernej ..................................................................................532
54. Asymptoty ..................................................................................................................536
Asymptota pionowa .................................................................................................536
Asymptota pozioma..................................................................................................538
Asymptota ukośna.....................................................................................................539
55. Całka z funkcji
funkcji ..........................................................................................................540
Obliczanie całki z wzorów .....................................................................................540
Całkowanie przez części .........................................................................................543