Geometria w grafice komputerowej

Uniwersytet Łódzki
Wydział Matematyki i Informatyki
Geometria w grafice komputerowej
II rok informatyki
rok akademicki 2015/2016
Zagadnienia egzaminacyjne
Egzamin ma charakter pisemny. Zestaw składa się z 30 pytań, w tym: 10 pytań testowych dotyczących zrozumienia podstawowych pojęć (część I), 8 pytań o definicje (część II),
9 pytań o sformułowanie twierdzeń (część III) oraz 3 pytań o dowody twierdzeń z części
IV.
Punktacja: do 1 pkt. za pytania z części I,II i sformułowanie twierdzeń z części III, do 3
pkt. za dowody twierdzeń z części III. Pytania testowe z części I zawierają po trzy podpunkty
wymagające odpowiedzi tak/nie. Za jedną prawidłową odpowiedź cząstkową otrzymuje się
0 pkt., za dwie — 14 pkt., a za trzy — 1 pkt. Pozytywną ocenę gwarantuje zdobycie 50%,
dobrą — 70%, a bardzo dobrą — 90% ogólnej sumy punktów.
I. Podstawowe pojęcia i fakty
(1) prosta i płaszczyzna w przestrzeni
(2) iloczyn skalarny i wektorowy
(3) krzywe stożkowe
(4) działania na macierzach
(5) liczby zespolone
(6) przekształcenia geometryczne płaszczyzny
(7) parametryzacja krzywej
(8) krzywizna krzywej
(9) parametryzacja powierzchni
(10) krzywizny powierzchni
II. Definicje
(1) liniowa niezależność wektorów
(2) kąt pomiędzy wektorami
(3) układ współrzędnych
(4) czworościan
(5) równanie ogólne prostej
(6) równanie kierunkowe prostej
(7) wektor normalny do prostej
(8) iloczyn skalarny w R3
(9) iloczyn wektorowy
(10) kąt pomiędzy płaszczyznami
(11) elipsa, jej ogniska, kierownice, mimośród
(12) hiperbola, jej ogniska, kierownice, mimośród
(13) parabola, jej ognisko, kierownica, mimośród
(14) mnożenie macierzowe
(15) wyznacznik macierzy
(16) macierz ortogonalna
(17) macierz przekształcenia liniowego
(18) mnożenie liczb zespolonych
(19) postać trygonometryczna liczby zespolonej
(20) mnożenie kwaternionów
(21) symetria względem podprzestrzeni afinicznej
(22) krzywa parametryczna, wektor styczny
1
2
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
wektor normalny i binormalny krzywej
krzywizna i skręcenie krzywej
powierzchnia regularna
przestrzeń styczna do powierzchni
wektor normalny do powierzchni
pierwsza i druga forma podstawowa powierzchni
krzywizna Gaussa i krzywizna średnia
krzywizny główne
III. Twierdzenia i wzory
(1) współrzędne wektora w bazie ortonormalnej
(2) objętość sympleksu
(3) własności normy
(4) nierówność Schwarza
(5) warunki równoległości prostych
(6) odległość punktu od prostej
(7) pole trójkąta o danych wierzchołkach w E2
(8) własności liniowe iloczynu wektorowego
(9) własności geometryczne iloczynu wektorowego
(10) odległość prostych skośnych
(11) własność ogniskowa elipsy, hiperboli
(12) warunek styczności prostej do elipsy, hiperboli
(13) lista zbiorów algebraicznych stopnia 2 w E2
(14) Cauchy’ego
(15) wzór na macierz odwrotną
(16) macierz złożenia przekształceń
(17) własności modułu liczby zespolonej
(18) mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
(19) wzór na pierwiastki z liczby zespolonej
(20) mnożenie kwaternionów w postaci wektorowej
(21) własności symetrii
(22) przedstawienie macierzowe i zespolone obrotu
(23) przedstawienie macierzowe i zespolone rzutów na osie
(24) przedstawienie macierzowe symetrii względem osi i płaszczyzn układu współrzędnych w E3
(25) trójścian Freneta
(26) zasadnicze twierdzenie teorii krzywych
(27) parametryzacja geograficzna sfery
(28) parametryzacja powierzchni obrotowej
(29) wzór na krzywiznę Gaussa i krzywiznę średnią w parametryzacji
(30) krzywizna Gaussa powierzchni obrotowej i wykresu
IV. Dowody twierdzeń
(1) odległość punktu od prostej i odległość prostych równoległych
(2) własność ogniskowa elipsy
(3) warunek styczności prostej do hiperboli
(4) mnożenie kwaternionów w postaci wektorowej
(5) rzut prostopadły na dowolną prostą
(6) symetria względem dowolnej prostej
(7) wzory Freneta
(8) krzywizna krzywej w dowolnej parametryzacji
(9) pole torusa
(10) krzywizna Gaussa powierzchni obrotowej