wykład - Wojciech Zieliński

Elementy
statystyki opisowej
Wojciech Zieliński
STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania (analizowania) zjawisk masowych; polega na
systematyzowaniu obserwowanych cech ilościowych
i jakościowych oraz przedstawianiu wyników w postaci zestawień tabelarycznych, wykresów, itp.; posługuje się rachunkiem prawdopodobieństwa.
STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH:
etap badania statystycznego polegający na wykrywaniu - przy użyciu odpowiednich metod - prawidłowości kształtowania się zjawisk statystycznych oraz
związków i zależności między nimi, a także na interpretacji wyników badań i formułowaniu wniosków
W Z Statopis 1.1
Literatura
Tukey J. W. 1977: Exploratory data analysis, Addison Wesley Publishing Company
Rao C. R. 1994: Statystyka i prawda, PWN
Domański C. 2001: Metody statystyczne, teoria
i zadania, wyd. IV, Wydawnictwo UŁ
Zieliński W. 1999, Tablice Statystyczne, Wyd. III
poprawione i uzupełnione, Fundacja Rozwój SGGW
(wyd. IV - 2000; wyd. V - 2001)
..................................................
Gupta C. B. 1982, An Introduction to Statistical
Methods, Wyd. IX, Vikas Publishing House PVT
Ltd., New Delhi, India
Reichmann W. J. 1968, Drogi i bezdroża statystyki, PWN, Warszawa
Kassyk–Rokicka H. 1986, Statystyka nie jest trudna: mierniki statystyczne, PWE, Warszawa
Michalski T. 1994, Statystyka, WSiP, Warszawa
W Z Statopis 1.2
Punkty z klasówki
0.00:
0.05:
0.10:
0.15:
0.20:
0.25:
0.30:
0.35:
0.40:
0.45:
0.50:
0.55:
0.60:
0.65:
0.70:
0.75:
0.80:
0.85:
0.90:
0.95:
1.00:
0
0
0
0
0
0
1
5
9
26
31
37
45
59
39
23
15
9
1
0
0
Średnia
Kwartyl dolny
Mediana
Kwartyl górny
0.589
0.508
0.595
0.672
W Z Statopis 1.3
Stopnie z klasówki
2.0:
3.0:
3.5:
4.0:
4.5:
5.0:
76
88
92
37
7
0
Średnia
Kwartyl dolny
Mediana
Kwartyl górny
3.06
2.00
3.00
3.50
.........................................................
..............
..........
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
........
.....
.
.
.
.
.
.......
.
.
.
.
...
.......
.....
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
.
...
...
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
...
...
.....
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
...
...
.
....
.
.
.
.
.
...
.
...
..
.
...
.
.
.
.
...
...
...
...
.
.
.
.
...
...
..
...
.
...
..
...
.
.
.
.
...
...
..
...
.
...
.
...
.
.
...
.
...
.
...
.
...
...
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
..
...
.
..
.... ...................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
... . ............................
..
...
......................
........... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................
.
...
...
.
......................
...........
...
...
..................
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...
...........
...
..
...
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
..
.
.....................
...
..
...
...
.
...
...
...
...
...
.
.
.
...
...
..
...
...
..
...
...
.
.
...
...
...
...
...
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
.
.....
.
.
...
.....
.....
...
.....
....
.
...
.
.....
.
... .......
.....
........
......
......
......
.
.
......
.
.
.......
......
........
.......
.
.
.
.
.
.........
.
.
.......
...........
...........
...................
.........................................
3.0
(29%)
2.0
(25%)
4.5(2%)
3.5
(31%)
4.0
(12%)
W Z Statopis 1.4
Oceny z klasówki
Negatywne Pozytywne
Razem
Ogółem
76 (25%)
224 (75%)
300
Kobiety
46 (28%)
116 (72%)
162
Mężczyźni
30 (22%)
108 (78%)
138
Grupa 1
3 (10%)
27 ( 90%)
30
Grupa 2
11 (37%)
19 ( 63%)
30
Grupa 3
17 (57%)
13 ( 43%)
30
Grupa 4
0 ( 0%)
30 (100%)
30
Grupa 5
6 (20%)
24 ( 80%)
30
Grupa 6
4 (13%)
26 ( 87%)
30
Grupa 7
12 (40%)
18 ( 60%)
30
Grupa 8
3 (10%)
27 ( 90%)
30
Grupa 9
7 (23%)
23 ( 77%)
30
Grupa 10
13 (43%)
17 ( 57%)
30
W Z Statopis 1.5
Pytania
Jaka jest struktura ocen?
Jaki jest odsetek ocen pozytywnych?
Czy są różnice w ocenach między grupami?
Czy są różnice w ocenach między płciami?
xxxxx


Analiza danych
xxxxx


..................................................




Wnioskowanie statystyczne
yyyyy
yyyyy
Jakich wyników można oczekiwać na następnej klasówce?
Jakich wyników można oczekiwać na egzaminie?
Jaki jest wpływ prowadzącego zajęcia?
W Z Statopis 1.6
Niech ξ będzie zmienną losową o rozkładzie z dystrybuantą F i gęstością f .
Moda (dominanta):
punkt, w którym gęstość osiąga maksimum.
.......
... .......
.
...
.
...
..
...
.
..
...
...
..
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
...
...
...
....
..
....
.....
...
.....
.....
...
.....
......
...
......
........
...
..........
...............
..
.......................................
..
.....
.......
.. ....
... ....
.
.. ...
... ....
.
.. ...
... ....
...
..
...
...
...
..
...
..
...
..
...
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.... .......
.
.
.
.
....
...
.
...
.
.
.
...
...
.
..
.
.
.
...
...
.
..
.
.
...
...
.
..
.
.
.
...
...
.
..
...
.
.
.
.
.
.
....
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
...
.
......
.....
.
....
..............
.............................................
W Z Statopis 1.7
Kwantyl rzędu p: xp = inf{x : F (x) ≥ p}
p
...................................................................................................................................................................................................................................
...................
.....................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
.........
.
.
.
.
.
.
.
........
.......
.
.
.
.
......
......
.
.
.
.
......................................................................................
..... ..
.... ....
.
.
.
...
....
...
.....
.
.
.
...
..
.
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...
.
.
...
.
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...
.
.
.
...
..
.
.........
xp
Mediana: M e = x0.5
Dolny kwartyl: Q0.25 = x0.25
Górny kwartyl: Q0.75 = x0.75
W Z Statopis 1.8
1.00 ....................................................................................................................................................................................................................................................
............
..................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
.........
.
.
.
.
.
.
.
......
......
0.75 .....................................................................
...... ....
.....
.
.
..
.
.
..
.....
.
.
.
...
...
.
.
.
..
...
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0.50
....
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.. ...
...
.
.
.
.
..
..
...
.
.
.
..
.
..
...
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.
...
.
.
.
.
..
..
0.25 ............................
.
..
..
... ..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.. ..
.
.
.
.
..
.
..
..
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
...
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.....
Q0.25 M e
Q0.75
1.0 .....................................................................................................................................................................................................................................................
.................
................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0.9
. .
......... ..
........
..
.
.
.
.
.
.
..
0.8 ...........................................................................
..
... ...
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
0.7 .............................................................
..
.
.
.
.
.
.
.
..
..
... ..
.
.
.
..
.
..
..
0.6 ..................................................
..
.
.
.
.
..
.
.
.
..
.. ...
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
..
0.5 ...........................................
.
..
..
...
.
.
.
.
.
..
..
..
..
... ...
.
.
.
..
.
.
..
..
..
0.4 .................................... ...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
.. ... ..
...
.
.
.
..
.
..
..
..
0.3 ............................... ... ...
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
..
..
.. .. .. ...
.
.
..
.
.
..
.
..
0.2 ......................... ... ... ..
.
..
..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
.. .. .. .. ..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
..
..
0.1 ................... ... ... .. ...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
... . ... . ... ..
..
..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
W Z Statopis 1.9
Moment rzędu k:
Z
Eξ k =
∞
xk dF (x)
−∞
Wartość oczekiwana:
Z
Eξ =
∞
xdF (x)
−∞
Moment centralny rzędu k:
Z ∞
(x − Eξ)k dF (x)
E(ξ − Eξ)k =
−∞
Wariancja:
Z
D2 ξ = E(ξ − Eξ)2 =
∞
(x − Eξ)2 dF (x)
−∞
Odchylenie standardowe:
p
Dξ = D2 ξ
Moment absolutny rzędu k:
Z ∞
E|ξ − Eξ|k =
|x − Eξ|k dF (x)
−∞
W Z Statopis 1.10
Współczynnik asymetrii (skośności)
E(ξ − Eξ)3
γ1 =
(Dξ)3
............
..... .... ..........
.
.
.
....
.
...
.....
...
..
..
... ...
.
.
...
.
... ....
.
.
.
.
.
... ....
...
.
...
...
...
..
.
...
...
...
.
...
.
...
...
.
...
.
...
...
.
...
.
...
...
1
...
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
...
..
..
.
...
..
..
..
...
...
...
.
.
...
..
..
.
....
.
...
...
.....
.
.
...
...
.....
.
....
.
...
...
.
.....
.
...
...
.....
.
.
......
...
...
.
......
.
.
.
.
...
...
......
.
.......
.
..
..
.
...........
.
.
.
.
.
.
...............
.
.
.
.
...
...
...........................................
.....
......
.
.
γ >0
Eξ
...............
...... ... ...........
.
.
.
.....
..
....
....
....
..
.
...
.
.
.
.
...
..
...
...
.
.
.
...
..
...
...
.
..
.
...
.
.
.
...
.
.
..
..
...
.
.
.
...
..
...
...
.
..
...
..
.
.
...
.
..
...
...
.
1
.
.
...
..
..
.
...
.
.
.
.
...
..
..
...
..
...
.
.....
.
.
.
.
.....
.
.
..
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.....
..
...
.
.....
.
.
...
.....
..
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
...
..
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............
.
.
.
.
.
.........
.
γ =0
Eξ
W Z Statopis 1.11
Kurtoza (spłaszczenie, eksces)
E(ξ − Eξ)4
γ2 =
(Dξ)4
.............
.................
.
.. .. .......
......
.....
.
.....
...
.
.... ... . .. .......
.
.. . .....
.. .
.........
...........
.
. ...
........
.
......
....
.
.....
.....
......
.
....
....
.
.....
......
.....
.......
.......
.... .
. ...
.... ..
.
.
.... .
.. ....
.
..... .
.
.
.
.
.... ...
.
.
.
. ...
.... .
.
.
.
....
.
.
.
...... ....
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
....
.
.
...
...
.
.
.
...
...
.
. ..
.
.
.
.
.
.
.
.. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
....
....
..
.
.
. ....
.
.
.
.
..
......
....
.
.
. ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .... .
.
.
.
.......
......
....
.
.
.
.
.... . ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ......
............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......... .............
.... ...
..........................................................
..........................................................................
rozkład normalny (γ2 = 3)
................ rozkład Studenta t(5) (γ = 6)
2
.... . .... . .... rozkład Cauchy’ego (γ = +∞)
2
..........................
W Z Statopis 1.12
Niech ξn , n = 1, 2, . . ., będzie
Pn ciągiem zmiennych
losowych oraz niech Sn = i=1 ξi .
Jeżeli
Sn − ESn
→ 0 p.n.
n
to ciąg spełnia mocne prawo wielkich liczb.
Jeżeli
Sn − ESn
→ 0 według prawdopodobieństwa
n
to ciąg spełnia słabe prawo wielkich liczb.
..................................................
Jeżeli ξ1 , ξ2 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie oraz E|ξ1 | < ∞,
to
Sn
→ Eξ1 p.n.
n
W Z Statopis 1.13
Centralne twierdzenie graniczne (CT G)
Jeżeli ξ1 , ξ2 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie takim, że
Eξ1 = µ oraz D2 ξ1 = σ 2 < ∞,
to
Sn − nµ
√
→ N (0, 1) według rozkładu
σ n
..................................................
Sn − nµ
√
sup P
≤ x − Φ(x) → 0
σ n
x∈R
gdzie Φ(x) jest dystrybuantą rozkładu N (0, 1)
..................................................
3
S
−
nµ
E|ξ
−
Eξ
|
n
1
1
√
√
sup P
≤ x − Φ(x) ≤ C
2
σ n
σ n
x∈R
√
gdzie 1/ 2π ≤ C < 0.8
W Z Statopis 1.14
Rozkłady Pearsona
Rozkłady o gęstości f (x) takiej, że
1 df (x)
x−b
=
f (x) dx
c0 + c1 x + c2 x2
Niech ξ będzie zmienną losową o rozkładzie Pearsona
Eξ = µ, D2 ξ = σ 2 , E(ξ − µ)3 = µ3 , E(ξ − µ)4 = µ4
Zmienna losowa (ξ −µ)/σ ma rozkład Pearsona o gęstości spełniającej równanie
x + b1
1 df (x)
=−
f (x) dx
b0 + b1 x + b2 x2
4γ2 − 3γ1
2(5γ2 − 6γ1 − 9)
√
γ1 (γ2 + 3)
b1 =
2(5γ2 − 6γ1 − 9)
2γ2 − 3γ1 − 6
b2 =
2(5γ2 − 6γ1 − 9)
b0 =
W Z Statopis 1.15
8
7
6
5
γ2
4
3
2
1
......
.......
.
.
.
.
.
.
.......
.......
.
.
.
.
.
.
........
.......
.
.
.
.
.
.
.......
.......
.
.
.
.
.
.
....
..
...... V
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.......
.......
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
V I ........... III
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
IV
.......
.........
.......
.......
.......
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.......
.......
......
.........
.......
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
.......
........
........
.......
.........
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.......
.........
........
....... ................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
I(J)
........
....... ..........
........
.......................
.
.
.
.
.
.
.
.
I
.
.
.
.
.
.
.
....... .........
...........
........
...........
........................
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................
............
........
...........
........
..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
........
............
.........
............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
....
...
.............
............
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............
.............
........
............
.............
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
I(U ) ......................
............
........
.................................
.
.
..........
.
.
.
.............
.
................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
γ1
II(U )
II
N
V II
:
:
:
:
γ1
γ1
γ1
γ1
= 0;
= 0;
= 0;
= 0;
1 ≤ γ2 < 1.8
1.8 < γ2 < 3
γ2 = 3
3 < γ2 ≤ 4.5
W Z Statopis 1.16