Zadanie 1. Komplet klocków Domino składa się z 28 klocków, każdy

Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Komplet klocków Domino składa się z 28 klocków, każdy klocek odpowiada
nieuporządkowanej parze liczb (i, j ), i, j = 0,1,2, K ,6 .
Mówimy, że klocek B(k,l) możemy dołożyć do klocka A(i,j), jeżeli k=i lub k=j lub l=i
lub l=j. Dwa klocki pasujące układamy tak, aby jednakowe liczby były obok siebie,
na przykład: A(1,2)B(2,0). Następny klocek możemy dołożyć do otrzymanego ciągu,
jeżeli jest na nim liczba równa jednej ze skrajnych liczb otrzymanego ciągu (w
przykładzie liczba 1 lub 0).
Losujemy kolejno trzy klocki K, L, M bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że klocek M możemy dołożyć do ciągu utworzonego z klocków K i L, jeżeli
wiadomo, że klocki K i L pasują do siebie.
(A)
41
91
(B)
1
2
(C)
6
13
(D)
11
26
(E)
żadna z powyższych odpowiedzi.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech Z 1 , Z 2 , K , Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto o
gęstości
 λθ θ
dla x > 0

p λ ,θ ( x) =  ( x + λ ) θ +1

0
dla x ≤ 0,
gdzie θ > 1, λ > 0 są ustalonymi liczbami.
Wyznaczyć E ( Z 1 + Z 2 + K + Z n | min( Z 1 , Z 2 , K , Z n ) = t ) , gdzie t jest ustaloną liczbą
większą od 0.
(A)
nt +
λ +t
θ −1
(B)
nt +
(n − 1)(λ + t )
n(θ − 1)
(C)
nt + (n − 1)
(D)
 λ +t 
n t +

 θ −1 
(E)
nt + (n − 1)
λ +t
θ −1
λ
θ −1
.
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zmienna losowa ( X , Y , Z ) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną (0,0,0) i
macierzą kowariancji
 4 1,5 1 
1,5 1 0,5 .


 1 0,5 1 
Obliczyć Var (( X + Y ) Z ) .
(A)
12,5
(B)
9,5
(C)
11
(D)
10,25
(E)
8,75
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech X = ( X 1 , X 2 , K , X k ) będzie zmienną losową o rozkładzie wielomianowym
Mult (n, p1 , p 2 , K , p k ) , gdzie wektor p = ( p1 , p 2 , K , p k ) ( p i ≥ 0 dla i = 1,2, K , k
oraz
k
Σp
i =1
i
= 1 ) jest wektorem nieznanych parametrów. Rozważamy problem estymacji
1 k
( p i − pˆ i ) 2 .
Σ
k i =1
Wśród estymatorów wektora p postaci pˆ = (aX 1 + b, aX 2 + b, K , aX k + b) (gdzie a, b
są liczbami rzeczywistymi) o ryzyku (to znaczy EL( p, pˆ ) ) stałym, niezależnym od p,
najmniejsze ryzyko ma estymator, dla którego
wektora p przy kwadratowej funkcji straty L( p, pˆ ) =
1
a=
(B)
a=
(C)
a=
(D)
a=
(E)
żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna
n− n
1
n− n
1
n+ n
1
n+ n
, b=
−1
(A)
, b=
, b=
, b=
k ( n − 1)
−1
2( n − 1)
1
2( n + 1)
1
k ( n + 1)
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech X 1 , X 2 , K , X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
 θ

dla x > 1
f θ ( x) =  x θ +1
 0
dla x ≤ 1,
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Budujemy przedział ufności dla parametru θ
d c 
postaci  θˆ, θˆ  na poziomie ufności 1 − α , gdzie liczby c i d są dobrane tak, aby
n n 
d 
c  α


Pθ θ < θˆ  = Pθ θ > θˆ  =
n 
n  2


i θˆ jest estymatorem największej wiarogodności parametru θ .
Przy n = 20 i α = 0,05 przedział ufności ma postać:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
[0,663θˆ, 1,394θˆ]
[0,812θˆ, 1,242θˆ]
[0,611θˆ, 1,484θˆ]
[0,480θˆ, 1,709θˆ]
[0,325θˆ, 2,048θˆ]
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X 1 , X 2 , K , X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
N ( µ , σ 2 ) , gdzie oba parametry są nieznane. Estymując parametr µ 2 wyznaczono
dwa estymatory T1 - estymator największej wiarogodności i T2 - estymator
nieobciążony o minimalnej wariancji.
Różnica ryzyk estymatora T1 i estymatora T2 przy kwadratowej funkcji straty jest
równa
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
σ 4 (n + 1)
n 2 (n − 1)
σ 4 (n − 3)
n 2 (n − 1)
2σ 4
n 2 (n − 1)
σ4
n2
−
σ4
n2
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Obserwujemy pary ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ), K , ( X 20 , Y20 ) zmiennych losowych. Zmienne
X 1 , X 2 ,K, X 20 są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (m x ,1) , a zmienne
Y1 , Y2 , K , Y20 o rozkładzie normalnym N (m y , σ 2 ) , gdzie σ 2 = 4 . Wszystkie zmienne
są niezależne. Rozważamy test najmocniejszy hipotezy:
H0 : (m x , m y ) = (0, 0)
przeciw alternatywie:
H1 : (m x , m y ) = (1, 1) ,
na poziomie istotności α = 0,01 .
Wyznaczyć prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju tego testu.
(A)
jest mniejsze niż 0,001
(B)
0,004
(C)
0,048
(D)
0,371
(E)
0,010
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X 1 , X 2 , K , X n , K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
wykładniczym z wartością oczekiwaną 1, a Y1 , Y2 , K , Yn , K niezależnymi zmiennymi
losowymi o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 2. Niech N będzie
zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem 4. Wszystkie zmienne są
niezależne. Niech
N
N
∑ X i gdy N ≥ 1
 Yi gdy N ≥ 1
T =  i =1
S = ∑
i =1
 0
 0
gdy N = 0
gdy N = 0
Obliczyć współczynnik korelacji corr(T,S) między zmiennymi T i S.
(A)
(B)
(C)
0
1
2 3
1
2
(D)
1
4
(E)
1
2
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Losujemy n (n ≥ 3) niezależnych realizacji
jednostajnego na przedziale (0, θ ) o gęstości
zmiennej
losowej
z
rozkładu
1

dla 0 < x < θ
f ( x ) = θ
.
 0 dla x ∉ (0, θ )
Po uporządkowaniu zaobserwowanych wartości w ciąg rosnący {x1 , x 2 , K , x n }
tworzymy przedział (2 x1 ,2 x n −1 ) .
Dobrać najmniejsze n, przy którym prawdopodobieństwo tego, że tak utworzony
przedział pokrywa wartość parametru θ jest większe niż 0,9.
(A)
6
(B)
7
(C)
8
(D)
9
(E)
10
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku w łańcuchu Markowa o
dwóch stanach {1, 2} jest postaci
1 3
4 4
1 1


2 2
Niech X n oznacza stan łańcucha w momencie n.
Obliczyć lim E ( X n X n +1 ) .
n → +∞
(A)
5
2
(B)
13
5
(C)
19
8
(D)
2
(E)
granica zależy od rozkładu początkowego na przestrzeni stanów.
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ..............................KLUCZ ODPOWIEDZI...................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
Odpowiedź
D
C
D
D
C
B
B
E
B
A
Punktacja♦
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11