Wzory na kolokwia i egzamin Rozkłady jednowymiarowe: Rozkłady
Transkrypt
Wzory na kolokwia i egzamin Rozkłady jednowymiarowe: Rozkłady
Wzory na kolokwia i egzamin Rozkłady jednowymiarowe: 1. Rozkład jednopunktowy skupiony w punkcie a: P (X = a) = 1; EX = a; V X = 0 2. Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) z parametrami n i p: n k P (X = k) = p (1 − p)n−k , SX = {0, 1, . . . , n}, EX = n · p, V X = n · p · (1 − p) k 3. Rozkład geometryczny z parametrem p: P (X = k) = (1 − p)k−1 p, SX = {1, 2, . . . }, EX = 1 p Własność braku pami˛eci: P (X > n + m| X > n) = (1 − p)m = P (X > m) 4. Rozkład Poissona z parametrem λ > 0: P (X = k) = e−λ n k λk Dla dużych n: p (1 − p)n−k ' e−λ · k k! 1 b−a 0 ( 5. Rozkład jednostajny na przedziale [a; b]: f (x) = EX = a+b 2 , VX = SX = {0, 1, . . . }, EX = V X = λ , x ∈ [a; b] , x∈ / [a; b] , 0 x− a F (x) = b−a 1 , x<a , a6x<b , , x>b 2 (b−a) 12 6. Rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0: f (x) = EX = λk k! , λe−λx 0 , , x>0 , x<0 F (x) = 0 1 − e−λx , , 1 1 , VX = 2 λ λ 7. Rozkład normalny (Gaussa) z parametrami m i σ 2 : f (x) = √ (x − m)2 1 exp − 2σ 2 2π · σ EX = m, V X = σ 2 X ∼ N (m, σ 2 ) −→ FX (b) = Φ b−m σ , Φ - dystrybuanta rozkładu N (0, 1), Φ(−x) = 1 − Φ(x). Rozkłady dwuwymiarowe: 1. Rozkład jednostajny w obszarze D: f (x, y) = m1 m2 0 1 |D| c11 , c12 , (x, y) ∈ /D , (x, y) ∈ D c12 m1 σ12 =N , c22 m2 ρσ1 σ2 ρσ1 σ2 2. Rozkład normalny N (m, C) = N σ22 1 c22 (x − m1 )2 − 2c12 (x − m1 )(y − m2 ) + c11 (y − m2 )2 f (x, y) = 2π√1detC exp − 2 detC : Twierdzenia Graniczne: Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Levy’ego (Xk )nk=1 - ciag ˛ niezależnych zmiennychP losowych o takim samym rozkładzie takich, że EXk = m, V Xk = σ 2 n dla każdego k = 1, . . . , n. Niech Sn = k=1 Xk . Wtedy dla dowolnego a ∈ R Sn − n · m √ P 6 a ≈ Φ(a) dla dużych n . σ· n Twierdzenie Moivre’a-Laplace’a (Xk )nk=1 - ciag ˛ niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie takim, że P (Xk = 1) = p dla każdego k = 1, . . . n, to ! Sn − n · p P p 6 a ≈ Φ(a) dla dużych n . n · p · (1 − p) 1 x<0 , x>0 Wyznaczanie kwartyli z szeregu rozdzielczego: (Q2 = xmed ) hQi Qi = x0 + nQ i NQi − k−1 X ! ni , i=1 gdzie: x0 - lewy kraniec przedziału, w którym znajduje si˛e i-ty kwartyl; hQi - długość przedziału, w którym Pk−1 znajduje si˛e i-ty kwartyl; nQi - liczność przedziału, w którym znajduje si˛e i-ty kwartyl; i=1 ni - suma liczności wszystkich przedziałów poprzedzajacych ˛ przedział, w którym znajduje si˛e i-ty kwartyl; NQ1 = n/4 (n + 1)/4 , , dla n parzystego dla n nieparzystego NQ3 = (3n)/4 3(n + 1)/4 , NQ2 = , , n/2 (n + 1)/2 , , dla n parzystego , dla n nieparzystego , dla n parzystego dla n nieparzystego . Regresja liniowa Y wzgl˛edem X: y = ax + b - na podstawie wylosowanej próby: Pn Pn Pn (yk − ȳ)xk (x − x̄)(yk − ȳ) k k=1 (xk − x̄)yk k=1 P P = = Pk=1 , b = ȳ − ax̄ a= n n n 2 2 2 (x − x̄) (x − x̄) k=1 k k=1 k k=1 (xk − x̄) P n 2 n ( k=1 (xk − x̄)(yk − ȳ)) 1 X Pn bład ˛ oszacowania: (yk − ȳ)2 − ; n−1 (n − 1) k=1 (xk − x̄)2 k=1 - gdy znany jest rozkład wektora (X, Y ): cov(X, Y ) , b = EY − aEX a= VX cov 2 (X, Y ) . bład ˛ oszacowania: V Y − VX 2