x,y - wmiRepo

1. Zbieżność i ciągłość w przestrzeni euklidesowej
W przestrzeni Rn
1
istnieje naturalny iloczyn skalarny
n
X
< x, y >=
xk yk ,
k=1
gdzie x = (x1 , x2 , . . . xn ) i y = (y1 , y2 , . . . yn ) są wektorami tej przestrzeni. Iloczyn skalarny jest dwuliniową dodatnio określoną formą kwadratową na przestrzeni wektorowej
Rn .
Jak wiadomo, taka forma spełnia nierówność Schwartza
| < x, y > | ¬ kxk · kyk,
w której równość ma miejsce tylko wtedy, gdy wektory x i y są współiniowe.
Iloczyn skalarny indukuje normę euklidesową
√
kxk = < x, x >,
którą charakteryzują następujące własności:
a) kxk = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0,
b) kλxk = |λ|kx|| (jednorodność),
c) kx + yk ¬ kxk + kyk (podaddytywność)
spełniane przez dowolne x, y ∈ Rn i λ ∈ R.
Z kolei norma wyznacza odległość euklidesową
d(x, y) = kx − yk,
której następujące własności:
a) d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
b) d(x, y) = d(y, x) (symetria),
c) d(x, y) ¬ d(x, z) + d(z, y) (warunek trójkąta)
spełnione dla dowolnych x, y, z ∈ Rn odzwierciedlają i wynkają z własności normy.
Mając pojęcie odległości, możemy zdefiniować kulę otwartą i kulę domkniętą:
K(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r},
K(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) ¬ r},
gdzie a ∈ Rn nazywa się środkiem kuli, a r > 0 jej promieniem. Zbiór
S(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) = r}
nazywamy sferą o środku a i promieniu r. Mówimy,że zbiór A ⊂ Rn jest ograniczony,
jeśli A ⊂ K(0, r) dla pewnego r > 0.
Mówimy, że ciąg wektorów {xk } ⊂ Rn jest zbieżny do wektora x0 ∈ Rn , jeśli
d(xk − x0 ) → 0.
Piszemy wtedy
x0 = lim xk
k→∞
i mówimy, że x0 jest granicą tego ciągu. Nietrudno zauważyć, że wyrazy ciągu zbieżnego
tworzą zbiór ograniczony.
1.1. Ciąg wektorów xk = (xk1 , xk2 , . . . xkn ) jest zbieżny do wektora a = (a1 , a2 , . . . an )
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego 1 ¬ j ¬ n ciąg liczbowy xkj jest zbieżny do aj .
1Por.
M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, rozdział 1 (str. 9-22).
2
Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym obowiązuje następująca arytmetyka
granic.
1.2. Niech {xk } i {yk } będą ciągami wektorów, {αk } zaś ciągiem liczb. Jeśli xk → x0 ,
yk → y0 i αk → α0 , to
xk + yk → x0 + y0 ,
αk xk → α0 x0 ,
< xk , yk >→< x0 , y0 > .
Zanim zajmiemy się kwestią ciągłości odwzorowań wskazane będzie omówienie kilku
elementarnych pojęć topologicznych.
Niech będzie dany zbiór A ⊂ Rn . Mówimy, że punkt c ∈ Rn jest punktem wewnętrznym zbioru A, jeśli istnieje r > 0, takie że K(c, r) ⊂ A. Oczywiście każdy punkt wewnętrzny zbioru A jest elementem A. Punkt c nazywa się punktem brzegowym zbioru
A, jeśli dla każdego r > 0 oba przekroje K(c, r) ∩ A i K(c, r) ∩ Ac są niepuste. Punkt
brzegowy może, ale nie musi, należeć do A. Wreszcie punkt c, dla którego istnieje r > 0,
takie że K(c, r) jest rozłączna z A, nazywamy punktem zewnętrznym względem zbioru
A.
Dla danego zbioru A ⊂ Rn zbiory punktów wewnętrzych, brzegowych i zewnętrznych
będziemy oznaczać odpowiednio przez w(A), b(A) i z(A). Wprost z definicji widać, że
w(A) = z(Ac ),
b(A) = b(Ac ).
Widać też, że dla każdego zbioru A
A = w(A) ∪ C,
C ⊂ b(A).
Jeśli A = w(A), a więc gdy zbiór C jest pusty, zbiór A nazywa się otwarty. Jeśli A =
w(A) ∪ b(A), a więc gdy C = b(A), zbiór A nazywa się domknięty. Innymi słowy, zbiór
jest otwarty, gdy zawiera się w swoim wnętrzu, a domknięty, gdy zawiera swój brzeg.
I tak,
w(K(a, r)) = w(K(a, r)) = K(a, r),
b(K(a, r)) = b(K(a, r)) = S(a, r).
Stąd kula otwarta jest zbiorem otwartym, a kula domknięta zbiorem domkniętym. Zbiór
jednopunktowy jest zbiorem domkniętym. Zbiorami jednocześnie domkniętymi i otwartymi są Rn i zbiór pusty.
1.3. Zbiór A ⊂ Rn jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór Ac jest domknięty.
1.4. Suma dowolnej ilości i przekrój skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem
otwartym. Przekrój dowolnej ilości i suma skończonej ilości zbiorów domkniętych jest
zbiorem domkniętym.
Zauważmy, że dla dowolnego zbioru A zbiór w(A) jest zawsze otwarty, a stąd
b(A) = Rn \ (w(A) ∪ z(A))
jest zbiorem domkniętym. W szczególności sfera kuli jest zbiorem domkniętym
W analizie ważna jest następująca charakteryzacja zbiorów domkniętych.
1.5. Zbiór F ⊂ Rn jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym zbieżnym
ciągiem swoich elementów zawiera on granicę tego ciągu.
Punkt c nazywa się punktem skupienia zbioru A, jeśli dla każdego r > 0 w kuli K(c, r)
istnieje element A różny od c. Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A0 .
1.6. Punkt c ∈ Rn jest punktem skupienia zbioru A ⊂ Rn wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje ciąg ak ∈ A, taki że
1
0 < kak − ck < .
k
3
I jeszcze jedno ważne pojęcie topologiczne. Zbiór A ⊂ Rn nazywa się zwarty, jeśli każdy ciąg elementów ak ∈ A ma podciąg zbieżny do pewnego elementu zbioru A.
Z twierdzenia Bolzano-Weierstarassa wynika, że odcinek domknięty [a, b] jest zwartym
podzbiorem prostej.
1.7. Jeśli zbiory K ⊂ Rn i C ⊂ Rm są zwarte, to i zbiór K × C ⊂ Rn+m jest zwarty.
Stąd przez indukcję łatwo widać, że każdy prostopadłościan n-wymiarowy
P =
n
Y
[ak , bk ]
k=1
i w szczególności każda kostka n-wymiarowa
Q = [a, b]n
są zbiorami zwartymi.
1.8. Podzbiór K przestrzeni Rn jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i
domknięty.
Tak więc, kula domknięta i sfera są zbiorami zwartymi.
1.9. Suma mnogościowa skończonej ilości zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym.
Dlatego zbiorami zwartymi są również zbiory skończone.
Przechodzimy do pojęcia granicy odwzorowania wielu zmiennych. Niech E ⊂ Rn i
niech
F : E → Rm .
Mówimy, że odwzorowanie F ma granicę y ∈ Rm w punkcie a ∈ E 0 , jeśli dla każdego
ciągu xk ∈ E \ a zbieżnego do a
lim F (xk ) = y.
k→∞
Równoważnie,
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E
0 < kx − ak < δ =⇒ kF (x) − yk < ε.
Piszemy wtedy
lim F (x) = y
x→a
lub
x→a
F (x) −−−→ y.
Jako że F (x) ∈ Rm możemy napisać
F (x) = F1 (x), F2 (x), . . . Fm (x)
i nazwać funkcje x → Fj (x) funkcjami składowymi odwzorowania F . Z definicji i (1.1)
łatwo wynika, że
1.10. Odwzorowanie F ma granicę y w punkcie a wtedy i tylko wtedy, gdy
lim Fj (x) = yj
x→a
dla każdego 1 ¬ j ¬ m.
Rozważmy funkcję zadaną wzorem
xy
,
f (x, y) = 2
x + y2
(x, y) ∈ E = R2 \ {(0, 0)}.
4
Punkt a = (0, 0) jest punktem skupienia zbioru E. Podstawiając (x, y) = (x, αx) jako
argumenty funkcji f , widzimy że
α
f (x, αx) =
,
1 + α2
więc nasza funkcja nie ma granicy w a, bo różne wartości α dają różne granice. Natomiast
funkcja
x2 y
g(x, y) = 2
,
(x, y) ∈ E,
x + y2
o tej samej dziedzinie, ma granicę równą y = 0. Rzeczywiście, jeśli E 3 (xk , yk ) → (0, 0),
to
k→∞
|g(xk , yk )| ¬ |yk | −−−−→ 0.
Następnego lematu dowodzi się mutatis mutandis tak, jak w przypadku jednowymiarowym.
1.11. Niech f będzie funkcją ciągłą na zbiorze zwartym K ⊂ Rn . Wówczas f osiąga w
pewnych punktach zbioru K swoje ekstremalne wartości.
Na przykład funkcja
f (x, y, z) = |xyz|
przyjmuje największą wartość na sferze
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}.
Jako że
1
x2 + y 2 + z 2
= ,
3
3
√
tą największą wartością jest 2727 . Punktami, w których jest ona przyjęta są wszystkie
√
√
√
punkty postaci (± 33 , ± 33 , ± 33 ).
|xyz|2/3 ¬
1.12. Wniosek. Jeśli f : Rn → R jest ciągła i jednorodna stopnia a > 0, tzn spełnia
warunek f (tx) = ta f (x), to istnieje stała C > 0, taka że
|f (x)| ¬ Ckxka .
Dowód. Istnieje stała C > 0, taka że |f (x)| ¬ C dla kxk = 1, bo sfera jest zwarta. Zatem
dla dowolnego x 6= 0
x a |f (x)| = kxk f
¬ Ckxka ,
x ∈ Rn .
kxk 1.13. Wniosek. Niech
f (x, y) =
xa y b
,
xA + y B
x, y > 0, A, B, a, b > 0.
Jeśli a/A + b/B > 1, to
lim
f (x, y) = 0.
(x,y)→(0,0)
Jeśli a/A + b/B ¬ 1, to granica nie istnieje.
A oto arytmetyka granic odwzorowań.
1.14. Niech F, G : E → Rm , gdzie E ⊂ Rn i niech f : E → R będzie funkcją. Niech
a ∈ E 0 . Jeśli F (x) → y, G(x) → z i f (x) → α przy x → a, to
x→a
F (x) + G(x) −−−→ x + y,
x→a
< F (x), G(x) >−−−→< y, z >,
x→a
f (x)F (x) −−−→ αy.
5
Odwzorowanie
F : E → Rm ,
gdzie E ⊂ R nazywa się ciągłe w punkcie a ∈ Rn , jeśli dla każdego ciągu xk ∈ E
zbieżnego do a
lim F (xk ) = F (a).
n
k→∞
Równoważnie,
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E
kx − ak < δ =⇒ kF (x) − F (a)k < ε.
Definicje granicy i ciągłości odwzorowania wyglądają bardzo podobnie, ale są istotnie różne. Warto je jeszcze raz dobrze przemyśleć. Proszę na przykład zwrócić uwagę, że pojęcie
granicy odwzorowania nie występuje w definicji ciągłości! Występuje w niej oczywiście
pojęcie granicy ciągu.
1.15. Odwzorowanie F jest ciągłe w punkcie a wtedy i tylko wtedy, gdy każda z funkcji
Fj jest ciągła w a.
Jeśli odwzorowanie F jest ciągłe w każdym punkcie swej dziedziny, to mówimy po
prostu, że jest ciągłe.
Następujące własności funkcji ciągłych są nowością w stosunku do teorii funkcji jednej
zmiennej.
1.16. Niech f : E → R będzie funkcją ciągłą na podzbiorze E ⊂ Rn . Jeśli E jest
domknięty, to dla każdego t ∈ R zbiór
{x ∈ E : f (x) ­ t}
jest domknięty. Jeśli E jest otwarty, to dla każdego t ∈ R zbiór
{x ∈ E : f (x) > t}
jest otwarty.
Rozważmy następujący ważny przykład. Każda podprzestrzeń afiniczna W ⊂ Rn
zadaje się równaniami
< x, aj >= αj ,
1 ¬ j ¬ m ¬ n,
więc jest przekrojem skończonej ilości zbiorów domkniętych, czyli zbiorem domkniętym.
Z arytmetyki granic odwzorowań wynika, że
1.17. Jeśli F i G są ciągłymi odwzorowaniami na E ⊂ Rn o wartościach w Rm , a f
ciągłą funkcją na E, to odwzorowania f · F , F + G oraz funkcja h =< F, G > są też
ciągłe.
Zauważmy, że jeśli F : E → Rm jest odwzorowaniem ciągłym na podzbiorze Rn , to
dla każdego k odzworowanie
G : E × Rk 3 (x, y) → F (x) ∈ Rm
jest też ciągłe. Korzystając z tej uwagi oraz z (1.17) można wyprodukować bardzo wiele
odwzorowań ciągłych, wychodząc od znanych ciągłych funkcji na R. W szczególności,
widać, że wielomiany wielu zmiennych, czyli na przykład funkcje
f (x, y) = xy 2 + xy,
g(x, y, z) = x4 + y 3 z 2 + x2 yz
są ciągłe. Ogólnie, wielomiany wielu zmiennych są postaci
X
f (x) =
cα x α
|α|¬p
6
i też są funkcjami ciągłymi. Tutaj
n
X
|α| = |(α1 , α2 , . . . , αn )| =
αj ∈ Z + ,
αj ,
j=1
oraz
xα =
n
Y
α
xj j .
j=1
1.18. Złożenie odwzorowań ciągłych jest odwzorowaniem ciągłym. Dokładniej, jeśli
F : B → Rk ,
G : A → B,
gdzie A ⊂ Rn , B ⊂ Rm , są ciągłe, to i
F ◦ G : A → Rk
jest ciągłe.
Ważną klasę funkcji ciągłych tworzą odwzorowania lipschitzowskie, tj. takie które spełniają warunek
kF (x) − F (y)k ¬ Ckx − yk
dla x, y z dziedziny F i pewnej stałej C > 0. Jak łatwo zauważyć, takimi odwzorowaniami
są w szczególności odwzorowania liniowe. Rzeczywiście,
1.19. Niech T : Rn → Rm będzie odwzorowaniem liniowym. Istnieje wtedy stała M , taka
że
kT xk ¬ M kxk,
x ∈ Rn .
Dowód. Niech wektory aj będą wierszami macierzy odwzorowania T . Wtedy


< a1 , x >
 < a2 , x > 
,
Tx = 


...
< am , x >
więc
kT xk =
m
X
< aj , x >2
1/2
j=1
¬
m
X
kaj k2
1/2
· kxk,
j=1
gdzie skorzystaliśmy z nierówności Schwartza.
Niech T : Rn → Rm będzie odwzorowaniem liniowym. Definiujemy
kT k = sup kT xk.
kxk=1
Wielkość kT k nazywamy normą odwzorowania T . Zauważmy, że dla każdego x
kT xk ¬ kT kkxk
i kT k jest najmniejszą ze stałych M spełniających (1.19).
1.20 (Zadanie). Udowodnij, że kT +Sk ¬ kT k+kSk i kT Sk ¬ kT kkSk dla odwzorowań
liniowych, dla których te wzory mają sens.
1.21. Jeśli T : Rn → Rn jest odwracalne, to
K(0, r) ⊂ T (K(0, 1),
gdzie r = kT
−1 −1
k
.
7
Dowód. Rzeczywiście, jeśli kyk ¬
1
kT −1 k ,
to
kT −1 yk ¬ kT −1 kkyk ¬ 1,
więc y = T x, gdzie x = T −1 y ∈ K(0, 1).
Tytułem komentarza dodajmy, że obraz kuli o środku 0 przez odwzorowanie liniowe
nie musi być kulą, ale jak wynika z (1.21) zawsze zawiera kulę o odpowiednio mniejszym
promieniu.