KARTA PRZEDMIOTU Kod przedmiotu AM1_M Nazwa przedmiotu
Transkrypt
KARTA PRZEDMIOTU Kod przedmiotu AM1_M Nazwa przedmiotu
KARTA PRZEDMIOTU Kod przedmiotu AM1_M w języku polskim w języku angielskim Nazwa przedmiotu Analiza Matematyczna 1 Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Matematyka Forma studiów Stacjonarne Poziom studiów Studia I stopnia licencjackie Profil studiów Ogólnoakademicki Specjalność Matematyka bankowa i ubezpieczeniowa Jednostka prowadząca przedmiot Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Osoba odpowiedzialna za przedmiot- koordynator przedmiotu Imię i nazwisko Kontakt Prof. dr hab. Kazimierz Włodarczyk [email protected] Forma zajęć Termin i miejsce odbywania zajęć Miejsce realizacji Zajęcia w pomieszczeniu dydaktycznym Instytutu Nauk Ekonomicznych i Informatyki Wykład i konwersatorium Termin realizacji Semestr zimowy OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU Status przedmiotu/przynależność do modułu Moduł treści podstawowych Przedmiot obowiązkowy Język wykładowy Polski Semestry, na których realizowany jest przedmiot I Wymagania wstępne Student powinien posiadać wiedzę dotyczącą szkoły średniej FORMY, SPOSOBY I METODY PROWADZENIA ZAJĘĆ Formy zajęć Wykład rok Liczba godzin Sem estr ćwiczenia r s lektorat R s Konwersatorium r 45 s seminariu m r s ZP r Samokszt ałcenieZBUN PZ S r s r 30 Zajęcia konwersatoryjne w grupach 25-30 osobowych, Sposób realizacji zajęć 3 godziny tygodniowo wykładu, 2 godziny tygodniowo konwersatorium. Sposób zaliczenia zajęć Metody dydaktyczne Wykład – egzamin ustny Konwersatorium - kolokwia 1. Wykład – wykład, analiza tekstu z dyskusją. Przedstawione są zagadnienia teoretyczne - twierdzenia, definicje, ilustrujące przykłady, stawiane są i rozwiązywane problemy, prezentowane są idee i możliwości stosowań, prezentowany jest rys historyczny oraz wskazywane są S kontynuacje oraz związki z innymi działami matematyki. Konwersatorium – pogadanka, własna działalność, zadania do rozwiązania. Analizowane są zadania ilustrujące materiał teoretyczny zaprezentowany na wykładzie, konwersatorium prowadzone jest w formie pogadanki i ogólnej dyskusji. 2. Przedmioty powiązane/moduł Podstawowa Wykaz literatury Uzupełniająca [1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa, 1996. [2] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II, PWN, Warszawa, 2006. [3] G. N. Berman, A problem book in mathematical analysis, 1977. [4] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna, Wydaw. UJ, 1998. [1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I-III, PWN, W-wa, 1964. [2] B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin, 1992. [3] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, W-wa, 1983. [4] W. I. Smirnow, Matematyka wyższa, PWN, Warszawa, 1958. [5] S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2007. [6] R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Matematyka dla studentów i kandydatów na wyższe uczelnie. Repetytorium. PWN, Warszawa 2012. CELE, TREŚCI I EFEKTY KSZTAŁCENIA Cele przedmiotu (ogólne, szczegółowe) C1 Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi przestrzeni rzeczywistej R i zespolonej C, przestrzeni euklidesowych k-wymiarowych, przestrzeni metrycznych oraz przestrzeni wektorowych, unormowanych i topologicznych. C2 Zaznajomienie studenta z takimi pojęciami jak: otoczenie punktu; punkt skupienia zbioru; otwartość i domkniętość zbioru; spójność, zwartość i zupełność przestrzeni. C3 Zaznajomienie studenta z funkcjami (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). C4 Zaznajomienie studenta z ciągami (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). C5 Zaznajomienie studenta z szeregami (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). Treści programowe Efekty kształceni a (kody) Forma zajęć W1 Wykład W1, W2 Wykład W1-W3 Wykład Temat Liczby naturalne: aksjomat dobrego uporządkowania, indukcja. Liczby rzeczywiste. Liczby: całkowite, wymierne i niewymierne. Relacja <. Wartość bezwzględna. Pierwiastek. Ograniczenia i kresy zbiorów. Zasada ciągłości. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Liczby zespolone: nierówność Schwarza; argument; wzór de Moivre'a; pierwiastki. Przestrzenie k-wymiarowe (rzeczywiste i zespolone) : Iloczyn skalarny; Norma euklidesowa i przestrzeń euklidesowa. Definicja funkcji. Obrazy i przeciwobrazy. Odwzorowanie różnowartościowe (wzajemnie jednoznaczne, 1-1 odwzorowanie). Liczba kardynalna. Relacja równoliczności. Zbiór przeliczalny i zbiór nieprzeliczalny. Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. (a) Przestrzeń metryczna (X,d). Kula otwarta i kula domknięta. Otoczenie punktu. Punkt skupienia zbioru. Punkt izolowany zbioru. Zbiór domknięty. Punkt wewnętrzny zbioru. Zbiór otwarty. Dopełnienie zbioru. Zbiór ograniczony. Zbiór E gęsty w X, ośrodkowość przestrzeni. Kula otwarta (domknięta) jest zbiorem otwartym Liczba godzin 6 4 15 (domkniętym). Dowolne otoczenie punktu skupienia zbioru zawiera nieskończenie wiele punktów tego zbioru. Zbiór G jest otwarty (domknięty) wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym (otwartym). Suma (iloczyn) zbiorów otwartych (domkniętych) jest zbiorem otwartym (domkniętym). Skończona suma (skończony iloczyn) zbiorów domkniętych (otwartych) jest zbiorem domkniętym (otwartym). Zbiór domknięty w R, ograniczony z góry (z dołu) zawiera kres górny (dolny). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór E jest otwarty (domknięty) w Y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór G otwarty (F domknięty) w X taki, że E jest iloczynem G i Y (E jest iloczynem F i Y). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór K jest zwarty w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty w przestrzeni X. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni. Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zbiorem zwartym. Każda kostka k-wymiarowa jest zbiorem zwartym. Jeśli rodzina zwartych podzbiorów przestrzeni metrycznej X posiada tę własność, że iloczyn dowolnej skończonej podrodziny rodziny tej rodziny nie jest pusty, to iloczyn elementów rodziny jest niepusty. Jeśli E jest nieskończonym podzbiorem zbioru zwartego K, to E ma punkt skupienia należący do K. W przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej następujące warunki są równoważne: (i) E jest zbiorem zwartym; (ii) E jest zbiorem domkniętym i ograniczonym; (iii) każdy nieskończony podzbiór zbioru E ma punkt skupienia należący do E. (Weierstrass) Każdy nieskończony i ograniczony podzbiór przestrzeni euklidesowej kwymiarowej ma punkt skupienia w tej przestrzeni. Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest podzbiorem X, to zbiór E zawarty w Y jest spójny w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny w przestrzeni X. Podzbiór E przestrzeni R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy ma następującą własność: jeśli x, y należą do E i x < z < y, to z należy do E. Charakteryzacja zbiorów spójnych na R. Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru. (b) Ciała. Przestrzenie wektorowe, unormowane, topologiczne. Ciągi liczbowe (w przestrzeniach metrycznych) W1-W4 Wykład Definicja ciągu zbieżnego. Ciąg ograniczony. Jeśli dany jest ciąg w przestrzeni metrycznej, to: (a) jest zbieżny do punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu; (b) granica tego ciągu jest wyznaczona jednoznacznie; (c) jeśli ciąg ten jest zbieżny, to jest ograniczony. Jeśli p jest punktem skupienia podzbioru E zbioru X, to istnieje ciąg elementów zbioru E, zbieżny do p. Działania na granicach ciągów. Podciągi. Warunek Cauchy'ego. Zupełność. Przestrzenie Banacha. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ciągiem Cauchy'ego. Ciąg w przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. W R ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Ciągi rozbieżne i rozbieżne do nieskończoności. Granice: górna i dolna ciągu. Twierdzenie o trzech ciągach. Granice nα, xn , a1/n , n1/n . Zbieżność (1+1/n)n. Definicja liczby e. Dowód niewymierności liczby e. Szeregi liczbowe (w przestrzeniach metrycznych) Kryterium kondensacyjne Cauchy'ego. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Szereg harmoniczny. Kryteria: porównawcze, Cauchy'ego, D'Alemberta, Dirichleta, Abela, Leibniza. Działania na szeregach. Szeregi zbieżne: bezwzględnie, warukowo, bezwarunkowo. Iloczyn Cauchy'ego szeregów - twierdzenie Martensa. Zmiana porządku 20 składników szeregu - twierdzenie Riemanna. K_U01K_U04 Konwersatorium K_U01K_U06, K-U08 Konwersatorium Liczby naturalne: aksjomat dobrego uporządkowania, indukcja. Liczby rzeczywiste. Liczby: całkowite, wymierne i niewymierne. Relacja <. Wartość bezwzględna. Pierwiastek. Ograniczenia i kresy zbiorów. Zasada ciągłości. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Liczby zespolone: nierówność Schwarza; argument; wzór de Moivre'a; pierwiastki. Przestrzenie k-wymiarowe (rzeczywiste i zespolone) : Iloczyn skalarny; Norma euklidesowa i przestrzeń euklidesowa. Definicja funkcji. Obrazy i przeciwobrazy. Odwzorowanie różnowartościowe (wzajemnie jednoznaczne, 1-1 odwzorowanie). Liczba kardynalna. Relacja równoliczności. Zbiór przeliczalny i zbiór nieprzeliczalny. Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. 6 4 Przestrzeń metryczna K_U06, K_U23 Kula otwarta i kula domknięta. Otoczenie punktu. Punkt skupienia zbioru. Punkt izolowany zbioru. Zbiór domknięty. Punkt wewnętrzny zbioru. Zbiór otwarty. Dopełnienie zbioru. Zbiór ograniczony. Zbiór E gęsty w X, ośrodkowość przestrzeni. Kula otwarta (domknięta) jest zbiorem otwartym (domkniętym). Dowolne otoczenie punktu skupienia zbioru zawiera nieskończenie wiele punktów tego zbioru. Zbiór G jest otwarty (domknięty) wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym (otwartym). Suma (iloczyn) zbiorów otwartych (domkniętych) jest zbiorem otwartym (domkniętym). Skończona suma (skończony iloczyn) zbiorów domkniętych (otwartych) jest zbiorem domkniętym (otwartym). Zbiór domknięty w R, ograniczony z góry (z dołu) zawiera kres górny (dolny). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór E jest otwarty (domknięty) w Y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór G otwarty (F domknięty) w X taki, że E jest iloczynem G i Y (E jest iloczynem F i Y). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór K jest zwarty w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty w przestrzeni X. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni. Konwer- Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zbiorem zwartym. Każda satorium kostka k-wymiarowa jest zbiorem zwartym. Jeśli rodzina zwartych podzbiorów przestrzeni metrycznej X posiada tę własność, że iloczyn dowolnej skończonej podrodziny rodziny tej rodziny nie jest pusty, to iloczyn elementów rodziny jest niepusty. Jeśli E jest nieskończonym podzbiorem zbioru zwartego K, to E ma punkt skupienia należący do K. W przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej następujące warunki są równoważne: (i) E jest zbiorem zwartym; (ii) E jest zbiorem domkniętym i ograniczonym; (iii) każdy nieskończony podzbiór zbioru E ma punkt skupienia należący do E. (Weierstrass) Każdy nieskończony i ograniczony podzbiór przestrzeni euklidesowej kwymiarowej ma punkt skupienia w tej przestrzeni. Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest podzbiorem X, to zbiór E zawarty w Y jest spójny w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny w przestrzeni X. Podzbiór E przestrzeni R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy ma następującą własność: jeśli x, y należą do E i x < z < y, to z należy do E. Charakteryzacja zbiorów spójnych na R. Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru. 8 Ciała. Przestrzenie wektorowe, unormowane, topologiczne Podstawowe pojęcia. K_U10 Konwer- Ciągi liczbowe 10 satorium (w przestrzeniach metrycznych) Definicja ciągu zbieżnego. Ciąg ograniczony. Jeśli dany jest ciąg w przestrzeni metrycznej, to: (a) jest zbieżny do punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu; (b) granica tego ciągu jest wyznaczona jednoznacznie; (c) jeśli ciąg ten jest zbieżny, to jest ograniczony. Jeśli p jest punktem skupienia podzbioru E zbioru X, to istnieje ciąg elementów zbioru E, zbieżny do p. Działania na granicach ciągów. Podciągi. Warunek Cauchy'ego. Zupełność. Przestrzenie Banacha. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ciągiem Cauchy'ego. Ciąg w przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. W R ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Ciągi rozbieżne i rozbieżne do nieskończoności. Granice: górna i dolna ciągu. Twierdzenie o trzech ciągach. Granice nα, xn , a1/n , n1/n . Zbieżność (1+1/n)n. Definicja liczby e. Dowód niewymierności liczby e. Szeregi liczbowe (w przestrzeniach metrycznych) Kryterium kondensacyjne Cauchy'ego. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Szereg harmoniczny. Kryteria: porównawcze, Cauchy'ego, D'Alemberta, Dirichleta, Abela, Leibniza. Działania na szeregach. Szeregi zbieżne: bezwzględnie, warukowo, bezwarunkowo. Iloczyn Cauchy'ego szeregów - twierdzenie Martensa. Zmiana porządku składników szeregu - twierdzenie Riemanna. Efekty kształcenia Student, który zaliczył przedmiot Odniesienie do efektów kształcenia w zakresie WIEDZY dla kierunku Kod W3 Student zna liczby rzeczywiste i zespolone, przestrzenie euklidesowe k-wymiarowe oraz pojęcia normy i przestrzeni unormowanej. Student zna funkcje i zagadnienia równoliczności, przeliczalności i nieprzeliczalności zbiorów. Student zna przestrzenie metryczne. W4 Student zna ciągi i szeregi liczbowe. W1 W2 U1 U2 U3 U4 K1 w zakresie KOMPETENCJI Student potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień z zakresu prostych przestrzeni, teorii zbiorów i odwzorowań oraz teorii zbieżności ciągów i szeregów liczbowych. Metody weryfikacji efektów kształcenia Efekty kształcęnia (kody) W1 W2 W3 W4 Egzamin pisemny Projekt K_W01-K_W06 K_W01-K_W06 K_W01-K_W06 w zakresie UMIEJĘTNOŚCI Student potrafi wykonywać działania na liczbach rzeczywistych i zespolonych oraz potrafi wyznaczać iloczyn skalarny i normę wektorów. Student potrafi zbadać monotoniczność, różnowartościowość, parzystość i nieparzystość funkcji oraz równoliczność zbiorów Student potrafi sprawdzić, że przestrzeń jest przestrzenią metryczną oraz potrafi zbadać czy podzbiór prostej przestrzeni metrycznej jest otwarty, domknięty, zwarty czy spójny. Student potrafi zbadać zbieżność ciągów i szeregów Egzamin ustny K_W01-K_W05 Kolokwium U1 U2 U3 U4 K1 Sprawozdanie K_U01-K_U03, K_U08 K_U09 K_U06 K-U10 K_K01-K_K07 Referat/ prezentacja Inne Punkty ECTS Obciążenie studenta Liczba punktów Liczba godzin ECTS Godziny kontaktowe z nauczycielem akademickim, w tym: wykłady 45 Forma aktywności konwersatoria 30 1,2 Konsultacje przedmiotowe w ramach wykładów 30 1,2 Konsultacje przedmiotowe w ramach konwersatorium/ćwiczeń Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć kontaktowych z nauczycielem akademickim 105 4 Ćwiczenia Godziny bez udziału nauczyciela akademickiego wynikające z nakładu pracy studenta, w tym: Przygotowanie się do egzaminu + zdawanie egzaminu 40 1,6 Przygotowanie się do kolokwium zaliczeniowego 30 1,2 25 1 95 4 200 8 52% 52% Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej literatury w ramach wykładów Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej literatury w ramach konwersatorium/ćwiczeń Przygotowanie raportu, projektu, prezentacji, dyskusji Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z samodzielnej pracy studenta Sumaryczna liczba godzin/punktów ECTS dla przedmiotu wynikająca z całego nakładu pracy studenta Odsetek godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć kontaktowych z nauczycielem akademickim