Egzamin gimnazjalny nr 3 ZADANIA ZAMKNIĘTE

Egzamin gimnazjalny nr 3
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Zadanie 1 (1pkt)
Rozwiązanie.
0,007 μm
0
0,007
7 0
1200 Mm
0,007
0,0
,
Odp. 7 0
m, ,
7
0
m
00
0,0 nm
0,00 Gm
0
00
0
,00
000
0
,
0 m, ,00
0
,
0
0
0
m, ,
0
0
,00
,
,
0 m
0 m
0 m
Zadanie 2(1pkt)
Rozwiązanie
Obliczamy objętość kartonu do spakowania pudełeczek z lekiem
0,
0,
0,
0,0
0,0
00
000
Obliczamy objętość pudełeczka
,
,
0
Ustalamy ile pudełeczek zmieści się wewnątrz
000 0
000
0
0000
000
0000
-u kartonów
.
0
0
0
0
,
Odp. 2,4 hl
Zadanie 3(1pkt)
Wskazówka
Z polskich nazw potęg liczby 0 wynika
.
000
000
Rozwiązanie.
1.
milionów
1 milisekunda
125 000 000
0 , zatem
0
0
0 m
Dokonujemy zamiany jednostek
0
0
0
=
0
Zdanie 1. jest prawdziwe.
2. 0
0 0
Zdanie . jest fałszywe.
0
0
0
0 000 000
0
Odp. . , .
Zadnie 4 (1pkt)
Rozwiązanie.
Liczba 1410 – rok bitwy pod Grunwaldem
0
000
0
M D
00
00
0
Liczba 837
7
7
00
00
D
00
00
0
0
0
II
Liczba M M I
rok uzyskania Nagrody Nobla w dziedzinie literatury przez
Władysława Reymonta
M M
I
M M
I
M
M
000
I
00
0
0
Liczba CMXLV
CMXLV = CM+ XL + V
CMXLV = 900 + 40 + 5 = 945
Tabelka jest postaci
Lp. Zapis
dziesiętny
1. 1410
2.
837
3. 1924
4.
945
Zapis
rzymski
MCDX
DCCCXXXVII
MCMXXIV
CMXLV
Odp. 1. wiersz – MCDX, 2. wiersz – DCCCXXXVII, 3. wiersz – 1924, 4. wiersz – 945
Zadanie 5 (1pkt)
Rozwiązanie.
Substancja rozpuszczona – sól stanowi
roztworze:
00%
%
%, to rozpuszczalnika - wody jest w
%
Oznaczenie
liczba kilogramów wody w roztworze
0,
,
, 7 kg
Odp. , 7 kg
Zadanie 6 (1pkt)
Rozwiązanie.
Wiemy, że
0
Zatem
,
,
i przyprostokatna
nie jest razy krótsza od
Wyznaczamy długości przyprostokątnych
Podstawiamy
tylko 2,4 razy.
stosując twierdzenie Pitagorasa
,
,
,7
7
,7
7
00
0
Dłuższy bok
,
0
.
Stop
Zauważ, że jeśli
,
, to przyjmując
0 mamy
. Liczby 0, ,
tworzą
trójkę pitagorejską czyli trójkę liczb całkowitych spełniających twierdzenie Pitagorasa.
Można więc rozwiązanie zgadnąć.
Zatem przyprostokątne
Odp. TAK, NIE, TAK
są liczbami całkowitymi i parzystymi.
Zadanie 7(1pkt)
Rozwiązanie.
Z tekstu zadania mamy, że przeciwprostokątna
i
.
Z twierdzenia Pitagorasa
Dodajemy do obu stron równania
7
7
0
Stop
Aby otrzymać powyższy wynik można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia
,
Obliczamy pola trójkątów
0
ą
i podobnego do niego w skali
0
Stosunek pól trójkątów podobnych
0
Odp. 0
0
i
o skali
spełnia warunek
Zadanie 8 (1pkt)
Rozwiązanie.
Średnia cena jednego jabłka wynosi 0 gr i można ją przedstawić w postaci
0
0
0
0
Oznaczenie
,
ceny brakujących jabłek
Średnia jest taka sama, zatem
0
0
0
00
0
mogą przyjmować wartości
Liczby
,
, , .
Podstawiając te wartości do równania otrzymujemy tylko jedną możliwość
0
Zatem brakowało po jednym jabłku za
Odp. O jabłko za
gr i gr.
gr i jabłko za gr.
Zadanie 9(1pkt)
Rozwiązanie.
Odp.
Zadanie 10(1pkt)
Wskazówka
Sprawdź jak obliczysz, na ile dni starczy np.
0 g białka.
Rozwiązanie.
Oznaczenia
liczba dni
ilość białka potrzebna dziecku w ciągu
dni
0
0
Odp.
Zadanie 11(1pkt)
Rozwiązanie.
Wprowadzimy oznaczenia
, ,
,
odpowiednio reszka na białej monecie, orzeł na białej monecie, reszka
na czerwonej monecie i orzeł na czerwonej monecie
Rzucamy obiema monetami i ustalamy ile wszystkich różnych wyników można uzyskać.
Ze wszystkich par wyników na obu monetach otrzymanych z połączenia dwóch
elementów oznaczonych wyżej nie wchodzą w grę pary
, gdyż jeśli np.
wypadnie
to na drugiej monecie nie można otrzymać
(jest pod spodem).
Zatem wszystkie pary (nie istotne jest przestawienie elementów można wypisać
,
,
,
Są więc zdarzenia a nie
elementarne tworzące zbiór wszystkich takich zdarzeń.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A czyli uzyskania pary
, jest równy
Zdarzenie polega na wyrzuceniu co najmniej raz reszki na czerwonej monecie, takich
możliwości są dwie pary
, zatem
Odp. 1. TAK, 2. NIE, 3. TAK
Zadanie 12 (1pkt)
Rozwiązanie.
Stop
Długości odcinków zapisujemy np. |AB |, ale możemy również używać zapisu AB.
Punkt
|
dzieli odcinek
taka że |
|
|
w stosunku 3 : 1, to |
|
|
|
. Istnieje więc liczba dodatnia ,
. Nanosimy dane z zadania na rysunek
Rys.3
trójkąty są podobne z cechy , , , gdyż
Skala podobieństwa
Odcinek
|
|
jest wysokością trójkąta
cm i |
|
, oznaczmy
cm
Z podobieństwa trójkątów
i
|
|
|
|
|
|
0 cm
cm
|
|
cm
Zatem pole
0
Odp.
cm
cm
Zadanie 13(1pkt)
Rozwiązanie.
Iloczyn
jest dodatni, to zachodzą dwie możliwości albo obie liczby są
dodatnie, albo obie ujemne.
Dla obu liczb dodatnich suma jest dodatnia, a dla ujemnych po dodaniu mamy wynik
ujemny.
Zatem obie liczby będące rozwiązaniem układu równań są dodatnie.
Odp.
.
Zadanie 14 (1pkt)
Rozwiązanie.
Na osi I. zaznaczono zbiór, który jest odcinkiem łączącym punkty o współrzędnych
,
, a jego środkiem jest punkt o współrzędnej
,
0,7
Zatem każdy punkt tego zbioru jest odległy od
są spełnione.
0,7 o ,7 , czyli warunki zadania nie
Na osi II. zaznaczono zbiór, który jest odcinkiem łączącym punkty o współrzędnych
a jego środkiem jest punkt o współrzędnej
,
,
i warunki zadania nie są spełnione.
Na osi II. zaznaczono zbiór, który jest odcinkiem łączącym punkty o współrzędnych
a jego środkiem jest punkt o współrzędnej
,
i warunki zadania nie są spełnione.
Na osi III. zaznaczono zbiór, który jest odcinkiem łączącym punkty o współrzędnych
,
, , a jego środkiem jest punkt o współrzędnej
,
,
i warunki zadania są spełnione, gdyż każdy punkt
niż , odczytujemy z rysunku .
tego zbioru jest odległy od o mniej
Na osi IV. zaznaczono zbiór, który jest odcinkiem łączącym punkty o współrzędnych
, a jego środkiem jest punkt o współrzędnej , .
Zatem warunki zadania nie są spełnione.
Odp.
.
,
Zadanie 15 (1pkt)
Rozwiązanie.
Kątami zewnętrznymi trójkąta są kąty zaznaczone na rysunku, czyli kąty przyległe do
kątów wewnętrznych trójkąta, o wierzchołkach będących wierzchołkami trójkąta.
Rys.5
Stop
Trójkąt ma kątów zewnętrznych, po o równej mierze. Na rysunku zaznaczono trzy.
Sposób .
Można obliczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta i sprawdzić, czy spełnione jest
twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
Obliczamy kąty wewnętrzne trójkąta
1.
0
0
0,
0
00
0,
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0
Nie istnieje trójkąt o podanych kątach zewnętrznych.
2.
0
00
0,
0
0
0,
0
0
0
0
0
Istnieje trójkąt o podanych kątach zewnętrznych, mając długość jednego boku można
skonstruować trójkąt rysując bok i dwa z kątów wewnętrznych, których jedno z ramion
zawiera ten bok.
3.
0
0
7 ,
0
,
0
0
7
0
0
0
Nie istnieje trójkąt o podanych kątach zewnętrznych.
Sposób .
Jeśli , , są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to
0
,
0
0
0
0
,
0
0
0
0
0
0
Sprawdzamy czy dane z tabeli spełniają ten warunek.
1.
0
00
0
0
0
0
0
2. 00
0
00
0
3. 0
0
0
0
Tylko w przypadku . warunek jest spełniony i można narysować trójkąt o kątach
wewnętrznych 0
00
0, 0
0
0,
0
00
0 i podanym
boku.
Odp. 1. NIE, 2. TAK, 3. NIE
Zadanie 16 (1pkt)
Rozwiązanie.
Rys 6
Punkt przecięcia przekątnych sześcianu jest równoodległy od wierzchołków sześcianu.
W pierwszym sześcianie powstają więc tylko ostrosłupy prawidłowe czworokątne o
podstawie pokrywającej się ze ścianą sześcianu i wysokości równej połowie krawędzi
sześcianu. Każda z -u ścian sześcianu jest podstawą innego ostrosłupa, a żadna ze ścian
bocznych nie jest trójkątem równobocznym, gdyż boki mają długości
0
, 0,
0
jako połowy przekątnej sześcianu i krawędzi sześcianu.
Stop
Zapamiętaj, że przekątna sześcianu o krawędzi
ma długość
.
jest równa
, a kwadratu o boku
Bryła powstała w drugim sześcianie jest ośmiościanem foremnym zbudowanym z ośmiu
trójkątów równobocznych, można go podzielić na ostrosłupy o wspólnej podstawie
kwadratowej. Bryła ma więc
krawędzi i wierzchołków.
Zatem zdanie . jest prawdziwe, zdanie . jest fałszywe, zdanie . jest fałszywe a zdanie
4. prawdziwe.
Odp. . ,
. ,
. ,
.
Zadanie 17 (1pkt)
Rozwiązanie.
Sposób .
Zapisujemy warunki zadania
Grupy (szt)
Czas pracy (h)
3
16
12
Ile razy mniejsza jest liczba godzin, tyle razy więcej potrzeba grup.
Liczba grup i liczba godzin potrzebna do wykonania takiej samej pracy są wielkościami
odwrotnie proporcjonalnymi. Stały jest ich iloczyn
grupy
Sposób .
część pracy wykonana przez trzy grupy w ciągu jednej godziny
część pracy wykonana przez
grup w ciągu jednej godziny
część pracy wykonana przez jedną grupę w ciągu jednej godziny
część pracy wykonana przez jedną grupę w ciągu jednej godziny
grupy
Sposób .
część pracy wykonana przez jedną grupę w ciągu szesnastu godzin
część pracy wykonana przez jedną grupę w ciągu dwunastu godzin
część pracy wykonana przez jedną grupę w ciągu jednej godziny
Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy
Odp. 4 grupy
Zadanie 18(1pkt)
Rozwiązanie.
Dla
dokonujemy przekształceń, aby obliczyć
grupy.
,
Wzór . jest prawdziwy, a wzór . jest fałszywy.
Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez
i otrzymujemy
,
Wzór . jest prawdziwy.
Wyłączymy
przed nawias w liczniku
,
Wzór . jest prawdziwy.
Równością fałszywą jest wzór . Warunki zastrzeżenia
Odp.
, wzór .
Zadanie 19(1pkt)
Wskazówka.
c Skorzystaj z symetrii środkowej względem punktu
punktów ,
symetrycznych do ,
.
0, 0 i odczytaj współrzędne
Rozwiązanie.
Rozwiązanie polega na sprawdzeniu, która odpowiedź jest prawidłowa.
a) Punkty
leżą na wspólnej prostej równoległej do osi y . Ponieważ
,
Punkty
.
leżą na wspólnej prostej równoległej do osi . Ponieważ
b) Trójkąt
jest prostokątny a jego przyprostokątne
odpowiednio
. Zatem pole trójkąta
wynosi
,
mają długości
.
,
cm
c) Rys.8
,
Odp. a)
,
,
,0 ,
,
,
, cm ,
,
,
,0 ,
,
Zadanie 20(1pkt)
Rozwiązanie.
Z wierzchołka ostrosłupa wychodzi tyle krawędzi bocznych co jest w podstawie, zatem
oznacza liczbę równych boków podstawy. W podstawie ostrosłupa jest
ciokąt foremny, który ma kątów wewnętrznych równych i równych boków.
Stop
Boki równe to boki o równych długościach.
Obliczamy kąt wewnętrzny tego wielokąta.
Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta foremnego o
0
bokach jest równa
0.
WZÓR
Kąt
wielokąta foremnego o n bokach jest równy
0
Dla
0
cio kąta foremnego
0
0
0
0
Zdanie . jest fałszywe, a zdanie . jest prawdziwe.
Korzystając z zamiany jednostek
otrzymujemy
0
00
,
0
0 000
0
0 i zapisując w notacji wykładniczej
,0
Kąt wewnętrzny podstawy ostrosłupa ma miarę
kątowych czyli ,0
0 sekund kątowych.
0
0 , co oznacza ,
Zatem zdanie . jest fałszywe, zdanie . jest prawdziwe.
0 minut
Odp. 1. ,
. ,
. ,
.
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 21 (3pkt)
Rozwiązanie.
a) W każdej podanej liczbie wyróżnimy czynniki podzielne przez 5 i zapiszemy je w
postaci iloczynu z piątką
… 0
…
…
dwie piątki
…
0
…
…
0
…
0
…
…
– cztery piątki
ą
(2 + 2)
…
0
…
…
0
…
0
…
0
…
…
siedem
ą
piątek (4 + 3)
…
0
…
…
0
…
7
…
dziewięć
ą
piątek (7 + 2)
…
0
…
00
…
0
…
…
ą
…
0
…
ą
70 7
…
ą
ą
7
…
0 – dziewiętnaście piątek
ą
Iloczyny
…
…
…
…
0
0
0
0
…
…
…
0
0
0
…
0
…
0
…
…
0
0
…
0
Liczby
piątek
2
4
7
9
⋯
19
b) W liczbie z ostatniego wiersza tabeli można maksymalnie wybrać tyle 0-ek ile
jest 5-ek. Dla każdej liczby znajdziemy czynnik podzielny przez , a więc po
pomnożeniu dostajemy czynnik 0. Można wybrać liczbę parzystą poprzednią
przed wielokrotnością piątki. Wyjątkiem są liczby , 0, 7 , dla których możemy
wybrać liczby parzyste jako poprzedni i następny czynnik np.
i .
Zatem liczba
… 0
… 0 jest podzielna przez 0 . A więc operację
dzielenia przez 0 bez reszty możemy wykonać
razy.
Odp. a) 2, 4, 7, 9, 19, b) 19
Zadanie 22 (3 pkt)
Rozwiązanie.
a)
iągła linia opisuje zależność drogi od czasu w przypadku pana Henryka (H), a
przerywana – pana Krzysztofa (K).
Odczytujemy z wykresów
H : 2 godziny (od 5,5 h do 7,5 h)
K : 1,5 godziny (od 4 h do 5,5 h)
b) Każdy kierowca po swoim postoju jedzie z inną prędkością.
H →
K →
,
,
c) Na poziomie 400-u kilometrów łatwo z wykresów dokonując porównania
wywnioskować, że przedział czasowy ma większą długość dla wykresu
narysowanego linią ciągłą a nie przerywaną.
Możemy również obliczyć czas poświęcony na przejazd odpowiedniego odcinka trasy
dla każdego kierowcy
H →
K →
i
,
, h
i
,
h
Więcej czasu na przejazd 0-u kilometrów od chwili wyjazdu poświęcił pan Henryk.
Odp. a) 2 godziny, 1,5 godziny, b)
,
, c) Pan Henryk.
Zadanie 23(4pkt)
Rozwiązanie.
Stop
Zauważ, że dzieląc liczbę np. 7 przez
otrzymujemy iloraz i resztę , co możemy
zapisać 7
. Ogólnie przy dzieleniu liczby naturalnej przez 11 istnieje
pewien iloraz liczba całkowita uzyskana z dzielenia przez
i reszta , gdzie jest
liczbą naturalną mniejszą niż . Uzyskujemy zapis 7
, gdzie jest jedną z
liczb 0, , , … , 0.
W zadaniu liczba naturalna
naturalna , taka że
7
przy dzieleniu przez 7 daje resztę , zatem istnieje liczba
.
Podobnie, istnieje liczba naturalna , że
Zauważmy, że najmniejszą z liczb
.
spełniających oba warunki jest .
Zatem
Obliczamy
z warunków
7
7
7
Sprawdzamy czy
7
Dla
zachodzi
.
Obliczmy różnicę
7
Liczba
7
jest naturalna, oznaczmy
Zatem reszta z dzielenia liczby
przez
jest równa .
Pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Z równości
i warunku, że liczba jest naturalną mamy, że wyrażenie
czyli reszta z dzielenia przez
jest równa 0.
Drugie zdanie jest prawdziwe.
Odp. . , .
jest podzielne przez
,