ALGEBRA M2 Lista 4 Zadania standardowe: 1,2,4,6,10,13 Zad.1

ALGEBRA M2
Lista 4
Zadania standardowe: 1,2,4,6,10,13
Zad.1. Które z odwzorowań są funkcjonałami liniowymi?
1. ϕ : R3 → R, zadane wzorem ϕ(x1 , x2 , x3 ) = x1 − x3
2. ϕ : R2 → R, zadane wzorem ϕ(x1 , x2 ) = x1 x2
R1
3. ϕ : C[0, 1] → R, zadane wzorem ϕ(f ) = 0 f (t)g 2 (t)dt, gdzie g(t) ∈ C[0, 1] jest
ustalona
Zad.2. Niech B = {e1 , e2 , . . . , en } będzie bazą w przestrzeni liniowej V . Wykazać, że
zbiór funkcjonałów B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn }, gdzie ϕi zadany jest następująco
1 i=j
ϕi (ej ) =
0 i 6= j
jest bazą przestrzeni V ∗ (jest to tzw. baza sprzężona lub dualna do bazy B). Wywnioskować,
że dimV ∗ = n.
Zad.3. Dla przekształcenia liniowego T ∈ L(V, W ) definiujemy przekształcenie sprzężone
T ∗ ∈ L(W ∗ , V ∗ ) wzorem (T ∗ ϕ)(v) = ϕ(T v) dla ϕ∗ ∈ W ∗ , v ∈ V . Uzasadnić, że
1. odwzorowanie T → T ∗ jest liniowe i różnowartościowe
2. jeśli T −1 istnieje, to (T ∗ )−1 istnieje i (T ∗ )−1 = (T −1 )∗
3. jeśli dimV < ∞, dimW < ∞ i ustalimy bazy w V i W , przy czym T ma macierz
A, to T ∗ ma macierz AT jeśli w V ∗ i W ∗ weźmie się bazy dualne do baz w V i W .
Zad.4. Które z podanych niżej funkcji są funkcjonałami dwuliniowymi na odpowiednich
przestrzeniach liniowych?
1. ϕ(x, y) = xT ◦ y w przestrzeni Kn
2. ϕ(u, v) = Re(uv) w przestrzeni C
3. ϕ(u, v) = Re(uv) w przestrzeni C
Rb
4. ϕ(f, g) = a f (t)g 0 (t)dt w przestrzeni funkcji różniczkowalnych znikających w a
oraz b
Rb
5. ϕ(f, g) = a (f (t) + g(t))2 dt w przestrzeni C[a, b]
Które z odpowiadająych im form dwuliniowych sa symetryczne?
Zad.5. Wykazać, że jeżeli dimV = n < ∞, to istnieje bijekcja między zbiorem L(V ×
V, K) przekształceń dwuliniowych, a zbiorem macierzy Mn (K) dla n ∈ N.
1
Zad.6. Niech będzie dana forma dwuliniowa w pewnej bazie B1 = {e1 , e2 , e3 } o macierzy


1 2 3
 4 5 6 
7 8 9
Znależć macierz tej formy w bazie B2 = {f1 , f2 , f3 } jeżeli f1 = e1 − e2 , f2 = e1 + e3 ,
f3 = e1 + e2 + e3 .
Zad.7. Wykazać, że jeżeli A, P ∈ Mn (K) oraz P jest macierzą nieosobliwą, to rz(A) ≤
rz(AP ) oraz rz(A) ≤ rz(P A). Wywnioskować, że rząd formy dwuliniowej (formy
kwadratowej) nie zależy od wyboru bazy.
Zad.8. Pokazać, że następujące warunki są równoważne dla formy dwuliniowej ϕ na
przestrzeni V :
1. ∀v ∈ V ϕ(v, v) = 0
2. ∀u, v ∈ V ϕ(u, v) = −ϕ(v, u)
Formę spełniającą powyższe warunki nazywamy antysymetryczną. Jaką własność ma
macierz takiej formy?
Zad.9. Rozłożyć formę dwuliniową
x1 y1 − 3x1 y2 − 5x2 y1 + x2 y2
na sumę formy symetrycznej i antysymetrycznej. Jak to zrobić ogólnie dla dowolnej
formy dwuliniowej ϕ?
Zad.10. Stosując metodę Lagrange’a, sprowadzić podane formy kwadratowe w przestrzeni
R3 do postaci kanonicznej, a następnie do postaci normalnej.
2x21 + 3x22 + 4x23 − 2x1 x2 + 4x1 x3 − 3x2 x3
x21 + 2x22 + 2x1 x2 + 4x2 x3 + 5x23
x 1 x2 + x1 x3
x1 x 2 + x2 x3 + x1 x3
2x21 + 5x22 + 11x23 + 2x1 x2 + 8x1 x3 + 6x2 x3
Wyznaczyć macierz przejścia z wyjściowej bazy do bazy kanonicznej.
Zad.11. Stosując metodę Lagrange’a, sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową w przestrzeni Rn postaci
X
X
x2j +
xj xk
j
j<k
Zad.12. Wykorzystując wynik z zadania 6, znaleźć postać kanoniczną formy kwadratowej w przestrzeni Rn postaci
X
xj xk
j<k
2
Zad.13. Stosując metodę Jacobiego do tych form kwadratowych z zad. 10, dla których
jest to możliwe, wyznaczyć ich postać kanoniczną. Na wybranym przykładzie przeprowadzić
procedurę ortogonalizacji bazy względem formy dwuliniowej.
Zad.14. Dla każdej z form kwadratowych z zadania 9 wyznaczyć jej rząd oraz zbadać
czy jest dodatnio określona oraz istotnie dodatnio określona.
3