Pobierz/Otwórz

Stereometria
Poziom podstawowy
Zad. 1 (CKE 05/2005)
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych
poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2a. Oblicz
objętość tego ostrosłupa.
Zad. 2 (CKE 12/2005)
Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się 144 3 , a pole
jego powierzchni bocznej 96 3 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zad. 3 (CKE 01/2006)
Wysokość walca jest 0 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni
całkowitej jest równe 378π . Oblicz objętość walca.
Zad. 4 (CKE 05/2006)
Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego
krawędź podstawy ma długość 4m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do
płaszczyzny podstawy po kątem 60 0 .
a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.
b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia
1m 2 potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.
Zad. 5 (CKE 11/2006)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8cm i tworzy
z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy
2
. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
3
Zad. 6 (CKE 05/2007)
Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz
krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku
długości 8cm i kątach ostrych A i C o mierze 60 0 . Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona
do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0 . Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim
wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zad. 7 (CKE 05/2008)
a 2 15
, gdzie
4
a oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt
nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz
symbolem β . Oblicz cos β i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się
przybliżoną wartość β z dokładnością do 10 .
Zad. 8 (CKE 05/2009)
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego
prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca kąt
o mierze 30 0 .
a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.
b) Sprawdź, czy objętość walca jest większa od 18 3 . Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 9 (CKE 11/2009)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 150cm 2 . Oblicz długość krawędzi tego
sześcianu.
Zad. 10 (CKE 05/2010)
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5x3x4.
Zad. 11 (CKE 05/2010)
Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Oblicz liczbę wszystkich krawędzi tego ostrosłupa.
Zad. 12 (CKE 05/2010)
Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz
rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że
AD = 12 , BC = 6 ,
BD = CD = 13 .
Zad. 13 (CKE 05/2011)
W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy AB = 5 , AD = 4 , AE = 3 . Który z odcinków
AB, BG, GE, RB jest najdłuższy ?
Zad. 14 (CKE 05/2011)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Oblicz długość przekątnej tego
sześcianu.
Zad. 15 (CKE 05/2011)
Oblicz objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12.
Zad. 16 (CKE 05/2011)
Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi
długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.
Zad. 17 (CKE 05/2012)
Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4. oblicz objętość tego sześcianu.
Zad. 18 (CKE 05/2012)
Tworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 0 .
Oblicz wysokość tego stożka.
Zad. 19 (CKE 05/2012)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma
długość 4. Kąt ACE jest równy 60 0 . Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na
poniższym rysunku.
Zad. 20 (CKE 06/2012)
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej.
Oblicz objętość powstałego stożka.
Zad. 21 (CKE 06/2012)
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Wyznacz związek między promieniem
podstawy oraz wysokością walca.
Zad. 22 (CKE 06/2012)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF
i krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest
równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość graniastosłupa.
Poziom rozszerzony
Zad. 1 (CKE 05/2005)
Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem
π
3
. Sporządź odpowiedni rysunek.
Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zad. 2 (CKE 01/2006)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a.
Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45 0 . Ostrosłup przecięto
płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi
bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego
przekroju.
Zad. 3 (CKE 05/2007)
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym
promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1m większa niż promień
2
półkuli. Objętość stożka stanowi
objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły
3
lądownika.
Zad. 4 (CKE 05/2008)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H – wysokość ostrosłupa oraz α - miara
kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy 45 0 < α < 90 0 .
(
)
3
Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa
4
H
⋅ 2
.
3 tg α − 1
Oblicz miarę kąta α , dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa
w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.
2 3
H . Wynik podaj
9
Zad. 5 (CKE 05/2009)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a
i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną
i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą
przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.
Zad. 6 (CKE 05/2010)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są
trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α .
Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Zad. 7 (CKE 05/2011)
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości
wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej.
Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Zad. 8 (CKE 05/2011)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie
równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy
AC : AS = 6 : 5 . Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Zad. 9 (CKE 05/2012)
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź AS jest wysokością
ostrosłupa oraz AS = 8 210 , BS = 118 , CS = 131 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zad. 10 (CKE 06/2012)
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym
AB = 30 ,
BC = AC = 39 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość
ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego
ostrosłupa.