Pobierz pdf - Prószyński i S-ka

Niezwykłe liczby
profesora Stewarta
Profesor Ian Stewart jest słynnym na całym świecie popularyzatorem matematyki. W 1995 roku londyńskie Towarzystwo Królewskie odznaczyło go Medalem Faradaya za upowszechnianie
wiedzy o naukach ścisłych, w roku 2000 otrzymał Złoty Medal
przyznawany przez Institute for Mathematics and its Applications
(IMA – Instytut Matematyki i jej Zastosowań), w 2001 został nagrodzony przez American Association for the Advancement of
Science (AAAS – Amerykańskie Towarzystwo na rzecz Postępu
Nauki), a w 2008 roku Londyńskie Towarzystwo Matematyczne
i IMA uhonorowały go Medalem Zeemana. W 2001 roku został
członkiem londyńskiego Towarzystwa Królewskiego. Jest emerytowanym profesorem matematyki na Uniwersytecie w Warwick,
gdzie wciąż pracuje, dzieląc swój czas między badania z zakresu
dynamiki nieliniowej a popularyzację wiedzy matematycznej.
Wśród licznych napisanych przez niego książek popularnonaukowych należy wymienić cztery tomy Nauki Świata Dysku (napisane
wspólnie z Terrym Pratchettem i Jackiem Cohenem), Matematykę
życia, 17 równań, które zmieniły świat oraz Wielkie problemy matematyczne. Jest autorem aplikacji Professor Stewart’s Incredible Numbers
przeznaczonej na tablety iPad, którą przygotowały wydawnictwa
Profile Books i Touch Press. Aplikacja ukazała się w sprzedaży
w marcu 2014 roku i dwa oddziały sklepu AppStore, amerykański
i kanadyjski, uznały ją za najlepszą aplikację 2014 roku, program
został też uhonorowany nagrodą Digital Book Award w dziedzinie
wydawnictw niebeletrystycznych dla dorosłych.
Ian Stewart
Niezwykłe
liczby
profesora
Stewarta
Przełożyli:
Bogumił Bieniok i Ewa L. Łokas
Tytuł oryginału
PROFESSOR STEWART’S INCREDIBLE NUMBERS
Copyright © Joat Enterprises, 2015
First published in Great Britain in 2015 by Profile Books Ltd
All rights reserved
Projekt okładki
Prószyński Media
Redaktor prowadzący
Adrian Markowski
Redakcja i korekta
Anna Kaniewska
Łamanie
Jacek Kucharski
ISBN 978-83-8069-399-9
Warszawa 2016
Wydawca
Prószyński Media Sp. z o.o.
02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28
www.proszynski.pl
Druk i oprawa
Drukarnia POZKAL Spółka z o.o.
88-100 Inowrocław, ul. Cegielna 10-12
Spis treści
Wstęp
Liczby
. . . . . . . . 7
. . . . . . . 11
Małe liczby
1: Niepodzielna jednostka
2: Liczby parzyste i nieparzyste
3: Równanie sześcienne
4: Kwadrat
5: Pitagorejska przeciwprostokątna
6: Liczba punktów styku
7: Czwarta liczba pierwsza
8: Sześcian Fibonacciego
9: Kwadrat magiczny
10: System dziesiętny
. . . . . . . 27
. . . . . . . 29
. . . . . . . 34
. . . . . . . 58
. . . . . . . 69
. . . . . . . 88
. . . . . . 100
. . . . . . 107
. . . . . . 120
. . . . . . 127
. . . . . . 134
Zero i liczby ujemne
0: Czy nic jest liczbą?
–1: Mniej niż zero
. . . . . . 149
. . . . . . 151
. . . . . . 163
Liczby zespolone
i: Liczba urojona
. . . . . . 171
. . . . . . 173
Liczby wymierne
1
: Dzielenie niepodzielnego
2
22
: Przybliżenie π
7
466
: Wieże Hanoi
885
Liczby niewymierne
. . . . . . 181
. . . . . . 183
. . . . . . 191
. . . . . . 194
. . . . . . 203
2 ≈ 1,414213: Pierwsza poznana liczba niewymierna . . . 205
π ≈ 3,141592: Pomiar okręgu
1+ 5
ϕ=
≈ 1,618034: Złota liczba
2
e ≈ 2,718281: Logarytm naturalny
ln 3
≈ 1,584962: Fraktale
ln 2
≈ 0,740480: Pakowanie kul
18
. . . . . . 213
. . . . . . 229
. . . . . . 239
. . . . . . 253
. . . . . . 263
2 ≈ 1,059463: Skale muzyczne
. . . . . . 271
ζ ( 3) ≈ 1,202056: Stała Apéry’ego
. . . . . . 285
γ ≈ 0,577215: Stała Eulera
. . . . . . 289
12
Nieduże liczby o szczególnym znaczeniu
. . . . . . 291
11: Teoria strun
. . . . . . 293
12: Pentomino
. . . . . . 303
17: Wielokąty i wzory
. . . . . . 311
23: Paradoks urodzin
. . . . . . 325
26: Tajne szyfry
. . . . . . 333
56: Hipoteza o parówkach
. . . . . . 347
168: Geometria skończona
. . . . . . 350
Wielkie liczby o szczególnym znaczeniu
. . . . . . 367
26! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000: Silnia . . . . . . 369
43 252 003 274 489 856 000: Kostka Rubika
. . . . . . 374
6 670 903 752 021 072 936 960: Sudoku
. . . . . . 379
257 885 161 – 1 (liczba zawierająca 17 425 170 cyfr):
Największa znana liczba pierwsza
. . . . . . 383
Liczby nieskończone
ℵ0: Alef zero: najmniejsza nieskończoność
c: Liczba kardynalna continuum
. . . . . . 389
. . . . . . 391
. . . . . . 401
Życie, wszechświat i…
42: Wcale nie nudna
. . . . . . 407
. . . . . . 409
. . . . . . 416
. . . . . . 420
. . . . . . 421
Literatura uzupełniająca
Autorzy ilustracji
Indeks
Wstęp
Liczby fascynują mnie od zawsze. Mama nauczyła mnie czytać
i liczyć na długo, zanim poszedłem do szkoły. Anegdota rodzinna
głosi, że gdy w końcu znalazłem się tam po raz pierwszy, po powrocie narzekałem, że „nie nauczyłem się niczego nowego!”. Podejrzewam, że rodzice przygotowywali mnie na ten trudny dzień,
przekonując, że poznam tam wiele ciekawych rzeczy, a ja wziąłem
sobie ich zapewnienia zbyt mocno do serca. Wkrótce jednak dowiedziałem się o istnieniu planet i że po Ziemi chodziły kiedyś
dinozaury, nauczyłem się też lepić zwierzęta z plasteliny. No i dowiedziałem się czegoś więcej o liczbach.
Wciąż jestem nimi zauroczony i w dalszym ciągu poznaję nowe
fakty na ich temat. Zwykle staram się wszystkim przypominać, że
matematyka zajmuje się wieloma różnymi pojęciami, nie tylko
liczbami – na przykład opisuje także kształty, wzorce i prawdopodobieństwa – nie ulega jednak wątpliwości, że liczby stanowią
podstawę całej tej dziedziny. Do tego każda z nich ma odrębną
indywidualność. Kilka szczególnych liczb wysuwa się na pierwszy
plan i wydaje się, że odgrywają one główną rolę w wielu różnych
gałęziach matematyki. Najbardziej znaną z nich jest liczba π (pi),
na którą natrafiamy po raz pierwszy przy okazji analizy okręgów,
ale ma ona niezwykłą skłonność do pojawiania się w zagadnieniach
mających niewiele, a nawet nic wspólnego z okręgami.
Większość liczb nie pretenduje do tak ważnej roli, ale nawet te
najbardziej pospolite mają zazwyczaj w zanadrzu jakieś niezwykłe
cechy. W książce Autostopem przez Galaktykę liczba 42 okazała się
„odpowiedzią na ostateczne pytanie o życie, wszechświat i całą
8
Niezwykłe liczby profesora Stewarta
resztę”*. Douglas Adams powiedział kiedyś, że wybrał tę liczbę
dlatego, że szybka ankieta przeprowadzona wśród znajomych
przekonała go, iż jest to wartość zupełnie nieciekawa. Okazuje
się jednak, że to nieprawda, o czym przekonamy się w ostatnim
rozdziale.
W książce przyjąłem zasadę porządkującą opartą na samych
liczbach, choć nie oznacza to, że materiał zawsze będzie przedstawiany w naturalnej kolejności. Oprócz rozdziałów 1, 2, 3
22
i tak dalej znajdziemy tu również rozdziały 0, 42, –1, 7 , π,
43 252 003 274 489 856 000, a nawet 2 . Nie powinno jednak
nikogo dziwić, że wiele potencjalnie interesujących liczb nie wydostało się poza obręb osi liczbowej i nie trafiło na tytułową stronę
rozdziału w tej książce. Każdy rozdział rozpoczyna krótkie wprowadzenie przedstawiające główne zagadnienia, jakie zostaną w nim
poruszone. Nie przejmujcie się, jeśli te wprowadzenia wydadzą
się wam czasami niezrozumiałe albo jeśli znajdziecie w nich kategoryczne stwierdzenia niepoparte żadnymi dowodami – wszystko
stanie się jasne w trakcie dalszej lektury.
Struktura książki jest prosta: każdy z rozdziałów poświęcony
jest jednej interesującej liczbie i jego celem jest wyjaśnienie, dlaczego jest ona interesująca. Liczba 2 jest na przykład ciekawa dlatego, że podział na wartości parzyste i nieparzyste występuje w całej matematyce i nauce. Z kolei 43 252 003 274 489 856 000 jest
intrygująca z tego powodu, że jest to liczba różnych możliwych
sposobów ułożenia kostki Rubika.
Skoro w książce znalazła się liczba 42, to również ona musi być
interesująca. Faktycznie tak jest, a przynajmniej do pewnego stopnia.
W tym miejscu muszę wspomnieć o utworze Alice’s Restaurant
Massacree Arla Guthriego, rozwlekłej bluesowej opowieści z absurdalnym zakończeniem, w której Guthrie relacjonuje szczegółowo wydarzenia związane z wyrzuceniem papierka. W dziesiątej
minucie utworu Arlo nagle przerywa i stwierdza: „Ale nie o tym
* Douglas Adams, Autostopem przez Galaktykę, przeł. Paweł Wieczorek, Zysk
i S-ka, Poznań 1984, s. 28.
Wstęp
9
chciałem wam dzisiaj opowiedzieć”. Ostatecznie przekonujemy
się, że jednak właśnie o tym chciał nam opowiedzieć, choć wyrzucony papierek okazuje się częścią bardziej rozbudowanej historii.
Czas więc, bym i ja zastosował sztuczkę Arla Guthriego: ta książka
tak naprawdę nie jest o liczbach.
Liczby są jedynie punktem wyjścia, wytyczają szlak pozwalający się nam zanurzyć w niezwykłych pojęciach matematycznych,
jakie się z nimi wiążą. Każda liczba ma w sobie coś szczególnego. Gdy
ktoś dostrzeże w nich odrębne indywidualności, stają się niczym
starzy znajomi. Każda ma jakąś historię do opowiedzenia. Często
opowieść ta prowadzi do wielu innych liczb, ale najważniejsze
w tym wszystkim są związane z nimi prawidła matematyki. Liczby
są jedynie osobami dramatu i najważniejszą rzeczą jest wymowa
całej sztuki, ale nie można przecież wystawić przedstawienia bez
bohaterów.
Aby uniknąć chaosu, podzieliłem książkę na części odpowiadające poszczególnym rodzajom liczb: małym liczbom całkowitym,
ułamkom, liczbom rzeczywistym, zespolonym, nieskończoności…
Oprócz kilku nieuniknionych wyjątków cały materiał jest przedstawiony w logicznym porządku, a więc wcześniejsze rozdziały
przygotowują grunt pod zagadnienia omawiane w dalszej części
książki, nawet jeśli poruszana w nich tematyka wydaje się zupełnie
inna. Ta zasada miała wpływ na kolejność przedstawienia liczb,
ale w kilku przypadkach trzeba było pójść na pewien kompromis.
Najbardziej istotne jest odstępstwo związane z liczbami zespolonymi. Pojawiają się bardzo wcześnie, ponieważ są mi potrzebne do
omówienia pewnych cech innych, bardziej swojsko wyglądających
liczb. Podobnie, czasami w opowieści pojawia się jakieś bardziej
zaawansowane zagadnienie, ponieważ było to jedyne sensowne
miejsce, by o nim wspomnieć. Jeśli któryś z takich fragmentów
okaże się dla was trudny do prześledzenia, po prostu go pomińcie.
Zawsze możecie później do niego wrócić.
Książce towarzyszy przygotowana przeze mnie aplikacja Incredible Numbers, przeznaczona na tablety iPad. Nie jest ona potrzebna do zrozumienia książki, ani też książka nie jest potrzebna
10
Niezwykłe liczby profesora Stewarta
do używania aplikacji. Prawdę mówiąc, książka i aplikacja zazębiają
się ze sobą jedynie na niewielkim obszarze. Wzajemnie się jednak
uzupełniają, ponieważ każda z tych form przekazywania treści
oferuje inne możliwości.
Liczby naprawdę są niesamowite – nie w tym sensie, że wzbudzają lęk, ale w pozytywnym znaczeniu tego słowa: bez wątpienia
potrafią nas wprawić w zdumienie. Aby tego doświadczyć, wcale
nie trzeba przeprowadzać obliczeń. Możemy przyjrzeć się historii
ich ewolucji, dostrzec piękno zawarte w ich wzorach, dowiedzieć
się, jak się je wykorzystuje, i cieszyć się z niespodzianek: „Nie
sądziłem, że liczba 56 jest tak fascynująca!”. Faktycznie, jest. Naprawdę.
Tak samo zresztą jak i inne liczby. Nawet 42.
Liczby
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Czyż może być coś prostszego? A jednak to
właśnie liczby, chyba bardziej niż cokolwiek innego, przyczyniły
się do tego, że ludzkość otrzepała się z błota i sięgnęła gwiazd.
Poszczególne liczby mają swoje charakterystyczne cechy i prowadzą do różnych obszarów matematyki. Zanim się jednak nimi
kolejno zajmiemy, zastanówmy się krótko nad trzema wielkimi
pytaniami. Skąd wzięły się liczby? Jak rozwinęło się pojęcie wartości liczbowych? I czym liczby w ogóle są?
Pochodzenie liczb
Około 35 tysięcy lat temu, w górnym paleolicie, nieznany człowiek wyciął 29 kresek na kości strzałkowej pawiana. Znaleziono
ją w jaskini w górach Lebombo w Suazi i od tego czasu znana jest
jako „kość z Lebombo”. Uważa się, że był to swego rodzaju rejestr
– przedmiot, na którym zapisywano liczby w postaci ciągu nacięć:
|, ||, |||i tak dalej. Miesiąc księżycowy ma 29,5 dnia, zatem mógł
to być prymitywny kalendarz księżycowy – lub zapis kobiecego
cyklu menstruacyjnego. Albo przypadkowy zbiór karbów. Jakieś
gryzmoły na kości.
W 1937 roku Karel Absolon znalazł w Czechosłowacji wilczą
kość, która okazała się kolejnym podobnym rejestrem z 55 karbami. Znalezisko to liczy około 30 tysięcy lat.
W 1960 roku belgijski geolog Jean de Heinzelin de Braucourt
odkrył karbowaną kość strzałkową pawiana wśród pozostałości
12
Niezwykłe liczby profesora Stewarta
Ryc. 1. P
rzód i tył kości z Ishango wystawionej w Muzeum Nauk
Przyrodniczych w Brukseli
po niewielkiej wiosce rybackiej zasypanej pyłem wulkanicznym.
Wioska znajdowała się na obszarze nazywanym obecnie Ishango,
na granicy między Ugandą i Kongo. Wiek znaleziska datuje się na
około 20 tysięcy lat.
Najprostsze wyjaśnienie nacięć na kości z Ishango opiera się na
założeniu, że również w tym wypadku był to swego rodzaju rejestr.
Niektórzy antropolodzy wysuwają jednak śmielsze hipotezy i dopatrują się w owych karbach elementów struktury arytmetycznej,
takich jak mnożenie, dzielenie czy zapis liczb pierwszych; inni
uważają, że jest to sześciomiesięczny kalendarz księżycowy; jeszcze inni są przekonani, że nacięcia miały jedynie zapewnić dobrą
przyczepność rękojeści narzędzia wykonanego z tej kości i nie mają
żadnego matematycznego znaczenia.
Jest to niezwykle intrygujące. Na kości widać trzy serie nacięć.
W środkowym ciągu pojawiają się liczby 3, 6, 4, 8, 10, 5, 7. Dwa
razy 3 to 6, dwa razy 4 to 8 i dwa razy 5 to 10, ale w ostatniej parze kolejność liczb jest odwrotna, a 7 zupełnie nie pasuje do tego
wzorca. Ciąg widoczny po lewej składa się z liczb 11, 13, 17, 19
– są to liczby pierwsze z przedziału między 10 i 20. W ciągu po
prawej znajdziemy liczby nieparzyste 11, 21, 19, 9. Liczby każdego
z ciągów zapisanych po lewej i prawej sumują się do wartości 60.
Problem z interpretacją tego typu ciągów polega na tym, że znalezienie jakiejś prawidłowości w dowolnym ciągu niedużych liczb
wcale nie jest takie trudne. W tabeli 1 przedstawiono na przykład
Liczby
13
Powierzchnia
w milach kwadratowych
Nazwa wyspy
Berry
12
Bimini
9
Crooked Island
93
Little Inagua
49
Mayaguana
110
New Providence
80
Ragged Island
14
Rum Cay
30
Samana Cay
15
San Salvador Island
63
Tabela 1
pole powierzchni dziesięciu wysp archipelagu Bahamów, a mówiąc
konkretnie, chodzi o te plasujące się na miejscach od 11 do 20 na
liście największych wysp archipelagu. Aby nieco przemieszać te
liczby, ułożyłem wyspy w porządku alfabetycznym. Przysięgam,
że nigdy wcześniej nie analizowałem tego ciągu liczb. Przyznaję,
że byłem gotów zastąpić go jakimś innym przykładem, gdyby nie
udało się dowieść mojej tezy – ale powiodło mi się za pierwszym
razem, niczego więc nie zmieniałem.
Jakie „prawidłowości” możemy zauważyć w tym ciągu liczb?
Występuje w nim wiele krótszych ciągów o jednakowych cechach.
wielokrotności liczby 3
kwadraty
wielokrotności liczby 10
wielokrotności liczby 3
wielokrotności liczby 7
dwukrotność
Ryc. 2. N
iektóre pozorne prawidłowości występujące w ciągu
powierzchni wysp Bahama
14
Niezwykłe liczby profesora Stewarta
Zacznijmy od tego, że cała lista charakteryzuje się piękną symetrią. Na obu końcach występują trzy wartości będące wielokrotnościami liczby 3. W środku znajdziemy parę wielokrotności 10
rozdzielającą dwie wielokrotności liczby 7. Co więcej, mamy dwa
kwadraty, 9 = 32 i 49 = 72, będące kwadratami liczb pierwszych.
Inną parę tworzą liczby 15 i 30 – druga z nich jest dwukrotnością
pierwszej. W ciągu 9–93–49 we wszystkich liczbach występuje
cyfra 9. Kolejne liczby są na przemian raz większe, raz mniejsze,
z wyjątkiem ciągu 110–80–14. Ach, i czy zauważyliście, że żadna
z tych dziesięciu wartości nie jest liczbą pierwszą?
Chyba wystarczy… Innym problemem związanym z kością
z Ishango jest to, że praktycznie nie mamy szans na znalezienie
dodatkowych dowodów potwierdzających którąkolwiek z interpretacji. Jednak nacięcia na tej kości z pewnością są intrygujące.
Zagadki liczbowe zawsze wzbudzają naszą ciekawość. Oto inna,
nieco mniej kontrowersyjna.
Przed dziesięciu tysiącami lat ludzie zamieszkujący Bliski
Wschód rejestrowali liczby za pomocą glinianych żetonów – być
może robili to dla celów podatkowych, a może chodziło o przechowywanie dowodu własności posiadanego dobytku. Najstarsze
tego typu przykłady pochodzą z Tepe Asiab i Gandż Dareh Tepe
– dwóch stanowisk archeologicznych w górach Zagros w Iranie.
Żetony miały postać niewielkich glinianych bryłek o różnych
kształtach. Na niektórych z nich widać jakieś symboliczne oznaczenia. Bryłka ze znakiem „+” oznaczała owcę; siedem takich
bryłek to siedem owiec. Aby uniknąć konieczności przechowywania dużej liczby żetonów, stosowano inny rodzaj glinianej bryłki
oznaczający dziesięć owiec. Jeszcze inny rodzaj żetonu symbolizował dziesięć kóz i tak dalej. Archeolog Denise Schmandt-Besserat doszła do wniosku, że poszczególne żetony oznaczały
podstawowe rodzaje ówczesnego pożywienia: zboża, zwierzęta,
dzbany oliwy.
Około roku 4000 p.n.e. żetony przechowywano nanizane na
sznurek, niczym naszyjnik. W takim razie jednak łatwo można
było w sposób niekontrolowany zmienić zarejestrowane liczby,
Liczby
15
dodając lub usuwając żetony, wprowadzono więc dodatkowe zabezpieczenia. Odliczone żetony zawijano w glinianą „kopertę”,
którą następnie wypalano. Jeśli doszło do jakiejś różnicy zdań, zawsze można było ją rozstrzygnąć, rozbijając glinianą kopertę. Aby
uniknąć konieczności niepotrzebnego tłuczenia kopert, biurokraci
starożytnej Mezopotamii od 3500 roku p.n.e. zaczęli dodatkowo
zapisywać na samej kopercie symbole oznaczające liczby żetonów
znajdujących się w środku.
Potem kogoś olśniło, że przecież same zapisane symbole w zupełności już wystarczają – żetony są wówczas zbędne. Tak powstał
system zapisu symboli oznaczających liczby, który przygotował
grunt pod wszystkie późniejsze systemy liczbowe, a może nawet
pod rozwój samego pisma.
Ryc. 3. G
liniana koperta i żetony używane do ewidencji, okres
Uruk, znalezisko pochodzi z Suzy.
Nie jest to książka poświęcona historii, późniejsze systemy zapisu liczb więc przedstawimy w dalszych rozdziałach, przy okazji
omawiania związanych z nimi określonych wartości liczbowych.
Na przykład starożytny i współczesny sposób zapisu ułamków
dziesiętnych omówimy w rozdziale 10. Jednak, jak zauważył
16
Niezwykłe liczby profesora Stewarta
kiedyś wielki matematyk Carl Friedrich Gauss, najważniejsze
w tym wszystkim są nie notacje, ale pojęcia. Zagadnienia omawiane w dalszej kolejności nabiorą większego sensu, jeśli zobaczymy je w kontekście zmieniającego się pojęcia liczb. Zacznijmy
więc od krótkiego przeglądu najważniejszych zbiorów liczbowych
i wprowadzenia ważnej terminologii.
Bezustannie powiększający się zbiór liczb
Zazwyczaj uważamy liczby za coś ustalonego i niezmiennego, za
jedną z cech świata przyrody. Tak naprawdę są one jednak naszym
wynalazkiem – ale bardzo użytecznym, ponieważ odzwierciedlają
ważne aspekty otaczającego nas świata. Takie jak liczba posiadanych owiec czy wiek Wszechświata. Natura bezustannie nas zaskakuje, raz za razem stawiając przed nami nowe pytania, i czasami
znalezienie na nie odpowiedzi wymaga użycia nowych pojęć matematycznych. Czasami zaś to wewnętrzne wymogi matematyki
wskazują na istnienie nowych, potencjalnie użytecznych struktur. W niektórych wypadkach te wskazówki i problemy zmuszały
matematyków do rozszerzenia zbiorów liczbowych i wymyślenia
nowych rodzajów liczb.
Powiedzieliśmy już o tym, że pierwsze liczby powstały po to,
by móc liczyć różne rzeczy. W starożytnej Grecji zbiór liczb zaczynał się początkowo od wartości 2, 3, 4 i tak dalej – wartość 1 była
szczególna, nie uważano jej za „prawdziwą” liczbę. Później, gdy ta
konwencja zaczęła wyglądać naprawdę głupio, 1 uznano w końcu
za pełnoprawną liczbę.
Kolejnym ważnym etapem w powiększaniu zbioru liczb było
wprowadzenie ułamków. Ułamki przydają się, gdy chcemy coś
rozdzielić między kilka osób. Jeśli trzy osoby mają podzielić
równo między sobą dwa korce ziarna, to każda powinna otrzy2
mać korca.
3
Starożytni Egipcjanie zapisywali ułamki na trzy różne sposoby.
2 3
Mieli specjalne hieroglify na oznaczenie wartości i . Używali
3
4