Równanie kwadratowe z parametrem Zadanie Rozwiązanie

Plik pobrany ze strony www.mat24h.pl
Równanie kwadratowe z parametrem
takim kolorem zostały podane komentarze, które pozwolą lepiej przyswoić materiał,
bynajmniej taki był ich cel 
Zadanie
Określ liczbę pierwiastków równania (k 2 − 1) ⋅ x 2 − (k + 1) ⋅ x − 0,5 = 0 w zależności od
wartości parametru k.
Rozwiązanie
Zadajmy sobie najpierw pytanie jakiego typu jest to równanie. Mamy zmienną x w drugiej
potędze więc sugerowałoby to że jest to równanie kwadratowe w postaci ax2 + bx + c = 0.
Zauważmy jednak że dla współczynnika a = 0 równanie to staje się równaniem liniowym w
postaci bx + c = 0, ponadto jeśli b = 0 i c≠ 0 to równanie to staje się sprzeczne.
Równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 może mieć w zależności od ∆ (delta) dwa
rozwiązania, jedno lub nie mieć wcale rozwiązań. ∆ obliczamy ze wzoru ∆ = b2- 4ac. Jeżeli
∆ > 0 to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, jeśli ∆ = 0 to jest jedno rozwiązanie, a
jeśli ∆ < 0 to brak jest rozwiązań.
Równanie liniowe bx + c = 0 dla b≠ 0 ma zawsze jedno rozwiązanie. Jeśli b = 0 i c ≠ 0 to jest
to równanie sprzeczne (przykład 5 = 0 jest sprzecznością)
Zbadajmy kiedy równanie (k 2 − 1) ⋅ x 2 − (k + 1) ⋅ x − 0,5 = 0 nie jest równaniem
kwadratowym, czyli określmy kiedy k 2 − 1 = 0 .
k2 − 1= 0
(k − 1)(k + 1) = 0
korzystamy ze wzoru skróconego
mnożenia (x – y)(x + y) = x2– y2
k = 1 ∨ k = −1
Zatem dla wartości k = 1 oraz k = –1 badane równanie nie jest kwadratowe. Sprawdźmy teraz
czy będzie ono liniowe czy może sprzeczne.
dla k =1
(1 − 1) x 2 − (1 + 1) ⋅ x − 0,5 = 0
− 2 ⋅ x − 0,5 = 0
dla k = 1 jest to równanie liniowe
dla k = –1
(1 − 1) x 2 − (− 1 + 1) ⋅ x − 0,5 = 0
− 0,5 = 0
dla k = –1 jest to równanie
sprzeczne
Plik pobrany ze strony www.mat24h.pl
2
2
Wynika stąd ze dla k ∈ R /{-1 ; 1} równanie (k − 1) ⋅ x − (k + 1) ⋅ x − 0,5 = 0 jest
kwadratowe.
Zbadajmy teraz, kiedy ma ono dwa, kiedy jeden i kiedy nie ma wcale rozwiązania.
Do tego celu obliczmy wartość ∆.
∆ = [ − (k + 1)] − 4 ⋅ (k 2 − 1) ⋅ (− 0,5)
2
∆ = k 2 + 2k + 1 + 2k 2 − 2
∆ = 3k 2 + 2k − 1
Delta jest wyrażona za pomocą
parametru k, ponadto jest
wyrażona za pomocą równania
kwadratowego. Aby wyznaczyć
kiedy ∆ = 0 obliczmy kiedy
3k2+2k-1 = 0
3k 2 + 2k − 1 = 0
∆
∆
k
k
k1=
k2=
= 2 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 1)
= 4 + 12 = 16
Przez ∆k oznaczmy deltę równania
3k2+2k-1 = 0
− 2 − 16 − 6
=
= −1
2⋅ 3
6
k1 oraz k2 są rozwiązaniami
równania 3k2+2k-1 = 0 ,
czyli wartościami
parametru dla których ∆= 0
− 2 + 16 2 1
= =
2⋅ 3
6 3
Z wykresu odczytamy dla jakich wartości k zachodzi 3k 2 + 2k − 1 > 0 ( czyli kiedy ∆ > 0 ), a
kiedy 3k 2 + 2k − 1 < 0 ( czyli ∆ < 0 ).
Plik pobrany ze strony www.mat24h.pl
1
3k 2 + 2k − 1 > 0 jeśli k ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ ( ; ∞ )
3
1
3k 2 + 2k − 1 < 0 jeśli k ∈ (− 1; )
3
Podsumowując, mamy równanie (k 2 − 1) ⋅ x 2 − (k + 1) ⋅ x − 0,5 = 0 , którego delta wynosi:
∆ = 3k 2 + 2k − 1 ,
ponadto
1
∆ > 0 dla k ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ ( ; ∞ )
3
1
∆ < 0 dla k ∈ (− 1; )
3
∆ = 0 dla k1= –1 lub k2=
1
3
Moglibyśmy stąd wnioskować, że równanie (k 2 − 1) ⋅ x 2 − (k + 1) ⋅ x − 0,5 = 0 ma:
1
k ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ ( ; ∞ ) ,
•dwa rozwiązania gdy
3
•jedno rozwiązanie gdy
1
k1= –1 lub k2= ,
3
•brak rozwiązań gdy
1
k ∈ (− 1; ) .
3
Plik pobrany ze strony www.mat24h.pl
Musimy jednak uwzględnić początkowe rozważania, gdy nasze równanie przestaje być
kwadratowym i staje się liniowym dla k =1 ( a tym samym ma jedno rozwiązanie ) lub gdy
jest sprzeczne dla k = –1.
Zatem ostatecznie równanie (k 2 − 1) ⋅ x 2 − (k + 1) ⋅ x − 0,5 = 0 ma:
1
k ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ ( ;1) ∪ (1; ∞ ) ,
•dwa rozwiązania gdy
3
•jedno rozwiązanie gdy
•brak rozwiązań gdy
k2=
1
lub k1= 1,
3
1
k ∈ < − 1; ) .
3