Analiza Matematyczna 1 dla F/FT/IB, lista 2 Zadanie 1. Zbadaj, czy

Analiza Matematyczna 1 dla F/FT/IB, lista 2
Zadanie √
1. Zbadaj, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry,
√ są ograniczone:
√
(−2)n
n
n
a) an = 2 + 1,
c) cn = n + 8 − n + 3,
b) bn = 1+(−2)n ,
2+cos n
,
f ) fn = 2n − 3n .
d) dn = 411+1 + 421+2 + . . . + 4n1+n , e) en = 3−2
sin n
Zadanie 2. Zbadaj, czy podane ciągi są monotoniczne
od pewnego miejsca:
√
n
1
a) an = n2 −6n+10
,
b) bn = 2n4+3n ,
c) cn = n2 + 1 − n,
n +1
100π
d) dn = 10n!n ,
e) en = 32n +1
,
f ) fn = tg 2n+1
.
Zadanie 3. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu, uzasadnij równości:
√
2√ n+1
2n+1
a) lim 3−n
=
−1,
b)
lim
=
0,
c)
lim
= 2,
2
n+1
n→∞ n+4
n→∞ n
n→∞
√ 5
1
d) n→∞
lim 2n +5 = 0, e) n→∞
lim log2 (n + 3) = ∞, f ) n→∞
lim (10 − n) = −∞.
Zadanie 4. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów, oblicz granice:
3
3 +2n2 +1
(n20 +2)
,
b)
lim
a) lim n n−3n
20 ,
3
n→∞ (n3 +1)
n→∞
2
(n +1)n!+1
,
d) lim (2n+1)(n+1)! ,
c) lim 1+3+...+(2n−1)
n→∞q
n→∞ 2+4+...+2n
√
√
√
√
e) n→∞
lim
n2 + 4n + 1 − n2 + 2n , f ) n→∞
lim
n+6 n+1− n ,
√
√
( n3 +1)
g) n→∞
lim 4 n4 + 16 − n ,
h) n→∞
lim ( √
,
3 5
n +1)2 +1
i) lim
√
3
n→∞
2n +3n
n
n.
n→∞ 3 +4
8n+1 +3
,
2n +1
j) lim
Zadanie 5. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, oblicz:
√
n
a) lim 2n+(−1)
,
b) lim bnπc
,
c) lim n 3 + sin n,
3n+2
n
n→∞ q
n→∞
n→∞ √
d) lim n n1 + n22 + n33 + n44 , e) lim n n2n + 1, f ) lim n21+1 + n21+2 + . . . +
n→∞ √
n→∞ n→∞ n
n
n
n+1
n+1
π
g) lim
,
h)
lim
,
i)
lim
sin
,
3
−
cos
n
2n
n
n→∞
n→∞
n→∞ √
q
√
n
n
bn 2c
j) n→∞
lim n√3 ,
k) n→∞
lim n 35n +2
,
l) n→∞
lim n+2 3n + 4n+1 .
+4n
b c
1
n2 +n
,
Zadanie 6. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu, oblicz:
a) n→∞
lim 1 +
d) n→∞
lim
n+4
n+3
3n−2
1
,
n
5−2n
,
b) n→∞
lim
5n+2
5n+1
e) n→∞
lim
n2
15n
n2
n2 +1
, c) n→∞
lim
f ) n→∞
lim
,
3n
3n+1
h
n
3n+2
5n+2
;
n ·
5n+3
3n+1
n i
.
Zadanie 7. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, oblicz:
√
a) lim n nn + 5,
b) lim (3n cos n − 4n ), c) lim (sin n−2)n2 ,
n→∞
h
i
n→∞
d) n→∞
lim ( 13 + n1 )n(5− n1 )n , e) n→∞
lim (n5 −10n6 +1),
n→∞ f ) n→∞
lim
√1 + √1 +. . .+ √1
n
1
2
.
Zadanie 8. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów, oblicz:
√
n
π
a) n→∞
lim (n4 − 3n3 − 2n2 − 1)5 , b) n→∞
lim 1−(n+1)!
,
c)
lim
5
−
cos
,
n!+2
n
n→∞ −n
√
2
√
d) lim ( n4 + 3n − n),
e) lim n n+1 ,
f ) lim nn+1
,
3
n→∞
n→∞
n
n
g) n→∞
lim (1 + 2 − 3 ),
n→∞
h) n→∞
lim 1 + sin
n+1
n
n
, i) n→∞
lim
2n2 +1
n2 +1
√n
.