2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH.
Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej),
Twierdzenie Lagrange’a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange’a), Regułę de
l’Hospitala, charakteryzacje funkcji wypukłych/wklęsłych (przy pomocy stycznych, drugiej pochodnej).
2.1. Wyznaczyć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji
(a) f (x) = ln3 x − ln x,
(b) f (x) =
e2x
.
x2 − 2
2.2. Zbadać, czy funkcja f (x) = (2x − π) sin(2x) ma ekstremum w punkcie x0 = π2 .
2.3. Wyznaczyć liczbę rozwiązań poniższych równań.
(a) x + 1 = 2 arc tg x,
(b) 2x +
1
= ln x + 4.
x
2.4. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale.
(a) f (x) = x +
2
− 2,
x
x ∈ [1, 4],
(b) f (x) =
√
x − x,
x ∈ [0, 9].
2.5. Znaleźć wymiary otwartego pudła maksymalnej objętości, które można otrzymać z prostokątnego kartonu o wymiarach 2m×1m poprzez wycięcie kwadratów z każdego z czterech
rogów.
2.6. Wyznaczyć największą możliwą objętość stożka wpisanego w kulę o promieniu R > 0.
2.7. O północy statek B znajdował się 100 mil na południe od statku A. Statek A płynie na
wschód z prędkością 15 mph, a statek B na północ z prędkością 20 mph. O której godzinie
znajdą się najbliżej siebie?
2.8. Jak wysoka powinna być wieża o kwadratowej podstawie i danej objętości V > 0, aby
koszt konstrukcji jej ścian i dachu był minimalny? Przyjmujemy, że koszt zależy od pola
powierzchni.
2.9. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 lub wykazać, że styczna
nie istnieje.
√
ln(3 − x)
√
, x0 = 4, (b) f (x) = (cos x)x , x0 = 0,
(a) f (x) =
x
(c) f (x) =
q
|x − 1|,
x0 = 1.
2.10. Udowodnić nierówności
(a) ∀a,b∈R
| sin a − sin b| ¬ |a − b|,
(b) ∀x>0
x
< ln(1 + x) < x.
1+x
2.11. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f (x) = arc tg(2x), x ∈ R.
2.12. Przedstawić wielomian p(x) = x4 + x3 + 3x2 − 6x + 4 jako kombinację liniową potęg dwumianu x − 1.
2.13. Ile składników w rozwinięciu Taylora funkcji ex należy zsumować aby otrzymać przybliżenie
liczby e z dokładnością do 10−5 ? Podać otrzymane w ten sposób przybliżenie.
2.14. Wyznaczyć wielomian Taylora, który przybliża cos
π
7
z błędem nie przekraczającym 10−6 .
2.15. Korzystając z wielomianu Taylora stopnia n odpowiedniej funkcji wyznaczyć przybliżoną
wartość podanego wyrażenia oraz oszacować błąd.
(a)
(b) (1, 1)1,2 , n = 3.
ln(1, 3), n = 4,
2.16. Stosując rozwinięcia skończone obliczyć granice.
(a)
ex sin x − x(1 + x)
,
x→0
x3
lim
(c)
*2.17. Obliczyć granicę
lim
x→∞
(b)
√
6
lim x3/2
x→∞
x6 + x5 −
√
6
√
x+1+
x6 − x5 .
1 − (cos x)sin x
.
x→0
x2
lim
*2.18. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
ln8 n
(2n + 1)π
sin
.
2
n=1 n
2.19. Obliczyć granice poniższych ilorazów lub uzasadnić, że nie istnieją.
tg πx
√ ;
x→1 x −
x
(a) lim
2sin x − 2− sin x
;
x→0
x
x − 1 + e−x
(c) lim
;
x→0
x sin x
π − 2 arc tg x
;
(d) lim
x→∞
ln 1 + x1
(b) lim
xx − 1
;
x→1 ln x + x − 1
2x − sin x
(f) lim
.
x→∞ x + arc tg x
(e) lim+
2.20. Obliczyć poniższe granice lub uzasadnić, że nie istnieją.
(a) lim+ sin x ln x;
x→0
1
1
− 2 ;
x→0 x sin x
x
(c) lim x ln |x|;
(b) lim
x→0
(d) lim+ xsin x ;
x→0
(e) lim+ (ctg x)tg x .
x→π
√
√ x−1−2 x ,
2.21. Czy da się tak dobrać wartości a, b ∈ R aby funkcje f i g były ciągłe w całej dziedzinie?
(
a+cos x
x
3
f (x) =
dla x > 0
,
dla x ¬ 0
bx
(
g(x) =
x2 +a
ln x
2
bx
dla x > 1
.
dla x ¬ 1
2.22. Udowodnić, że ∀x>0 ∀k∈N ln x < kx1/k .
2.23. Wykazać, że
arc tg
π
1
+ arc tg x =
x
2
dla x > 0.
2.24. Wyznaczyć asymptoty podanych funkcji.
(a) f (x) =
x3
,
4 − x2
(b) g(x) = xe1/x .
2.25. Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia poniższych funkcji.
(a) f (x) = 3x+ln(1+x2 ),
(b) g(x) = ln 1 + e−x ,




x2 +q2x + 1 dla x ¬ −1
(c) f (x) =
|x|
dla |x| < 1 .


2

2x − x
dla x ­ 1
2.26. (Badanie przebiegu zmienności funkcji ) Wyznaczyć asymptoty, przedziały monotoniczności,
ekstrema lokalne, przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia, a następnie
naszkicować wykres funkcji.
!
x2
,
(a) f (x) = exp −
2
(b) g(x) =
x
,
ln x
(c) h(x) =
√
3
x3 − 1.
2.27. Korzystając z wypukłości/wklęsłości odpowiednich funkcji wykazać, że:
(a)
√
2 2
π
(b) 1 + 2 x −
π
4
< tg x
(c) ln x < 12 (x2 − 1)
(d)
x+y
2
100
dla
π
4
dla x ∈ 0, π4 ,
x < sin x
dla
< 12 (x100 + y 100 )
< x < π2 ,
0 < x 6= 1,
dla
x 6= y.
*2.28. Korzystając z wypukłości/wklęsłości odpowiednich funkcji wykazać, że
1
x+y+z
(sin x + sin y + sin z) ¬ sin
3
3
dla x, y, z ∈ [0, π],
przy czym nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy gdy x = y = z.
2.29. W√pewnym państwie poddany, który zarobił x dukatów, płaci władcy podatek wynoszący
1
( x2 + 1 − 1) dukatów. Czy małżeństwu opłaca się wspólne opodatkowanie, jeśli małżon2
kowie płacą podwojony podatek od połowy sumy swych dochodów?
2.30. Wykazać, że jeśli funkcje f i g są wypukłe oraz funkcja g jest niemalejąca, to funkcja g ◦ f
jest wypukła.
ZADANIA DODATKOWE
D2.1. Wykazać, że log2 3 > log3 4.
D2.2. Pokazać, że punkty przegięcia funkcji f (x) = x sin x (jeśli istnieją) leżą na krzywej o równaniu
y 2 (x2 + 4) = 4x2 .
D2.3. Czy funkcja wypukła musi być ciągła?
D2.4. Czy da się tak dobrać wartości a, b, c ∈ R aby funkcja f była różniczkowalna w całej dziedzinie?
(
x−a
dla x ­ 1
ln x
.
f (x) =
x
bxe + c dla x < 1
Pomocnik teoretyczny
Twierdzenie. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 , być może
z wyjątkiem punktu x0 .
• Jeśli f 0 zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie x0 , to x0 jest minimum lokalnym
funkcji f .
• Jeśli f 0 zmienia znak z dodatniego na ujemny w punkcie x0 , to x0 jest maksimum lokalnym
funkcji f .
Twierdzenie. Załóżmy, że funkcja f jest klasy C 2 w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz f 0 (x0 ) = 0.
• Jeśli f 00 (x0 ) > 0, to x0 jest minimum lokalnym funkcji f .
• Jeśli f 00 (x0 ) < 0, to x0 jest maksimum lokalnym funkcji f .
Twierdzenie (Reguła de l’Hospitala). Przypuśćmy, że funkcje f i g są różniczkowalne w otoczeniu
punktu x0 oraz zachodzi
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→x0
x→x0
Wówczas
lim
x→x0
lub
lim f (x) = lim g(x) = ±∞.
x→x0
x→x0
f 0 (x)
f (x)
= x→x
lim 0
,
0 g (x)
g(x)
pod warunkiem, że druga granica istnieje. Analogiczna własność zachodzi przy x → ±∞.
Definicja. Funkcja f ma asymptotę pionową o równaniu x = x0 jeśli
lim f (x) = ±∞ lub
x→x0 +
lim f (x) = ±∞.
x→x0 −
Funkcja f ma asymptotę poziomą o równaniu y = a, gdzie a ∈ R, w +∞ jeśli
lim f (x) = a.
x→∞
Analogicznie definiujemy asymptotę poziomą w −∞.
Jeśli istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że
f (x)
=a
x→+∞ x
lim
oraz
lim (f (x) − ax) = b,
x→+∞
to funkcja f ma asymptotę y = ax + b w +∞. Analogicznie dla −∞.
Definicja. Niech U będzie zbiorem wypukłym.
Funkcję f : U → R nazywamy wypukłą, jeśli
∀x,y∈U
∀λ∈[0,1]
f (λx + (1 − λ)y) ¬ λf (x) + (1 − λ)f (y).
Funkcję f : U → R nazywamy ściśle wypukłą, jeśli
∀x,y∈U, x6=y
∀λ∈(0,1)
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y).
Twierdzenie. Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest wypukła, a jej wykres ma w punkcie x0 ∈ (a, b)
styczną, to wykres leży nie niżej niż ta styczna, tzn.:
∀x∈(a,b)
f (x) ­ f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
W przypadku funkcji ściśle wypukłej:
∀x∈(a,x0 )∪(x0 ,b)
f (x) > f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Twierdzenie. Jeśli funkcja f : (a, b) → R posiada na (a, b) drugą pochodną (przy czym może
być a = −∞ i/lub b = +∞), która jest nieujemna (dodatnia), to funkcja f jest wypukła (ściśle
wypukła) na (a,b).