Dyfuzja anizotropowa w ewolucji powierzchni swobodnych

Nr wniosku: 147476, nr raportu: 12168. Kierownik (z rap.): prof. dr hab. Piotr Rybka
Popularyzatorski opis rezultatów projektu o nr. rej. 2011/01/B/ST1/01197
Dyfuzja anizotropowa w ewolucji powierzchni swobodnych
Piotr Rybka – kierownik
W przypadkach wielu interesujących procesów fizycznych lub przemysłowych jedną z niewiadomych jest położenie ruchomej powierzchni lub krzywej, będącej szukaną. Taką powierzchnię
nazywa się swobodną. Przykładem może służyć powierzchnia rosnącego kryształu lub kontury
analizowanego obrazu. Interesują nas takie procesy, których opisy opierają się na dyfuzji wspomnianej powierzchni swobodnej. Dokładniej, badamy przypadki, gdy ta dyfuzja istotnie zależy od
kierunku i jest gwałtowna. To znaczy może powodować wypłaszczanie powierzchni swobodnej w
szczególnych kierunkach, a nawet prowadzi do powstawania naroży. Zwracamy uwagę, że zazwyczaj dyfuzja zaokrągla kanty. Tutaj jest inaczej. Ważnym przedmiotem naszych badań są ścianki
ewoluujących powierzchni/krzywych. Kierunki ścianek są wyznaczone przez anizotropię badanego
układu. Wspomniane wcześniej wypłaszczanie odbywa się tylko w szczególnych kierunkach.
1) Nasze wyniki dotyczą głównie technicznej strony matematycznego opisu ewolucji. Jeden z naszych (technicznych) wyników można oddać następująco. Załóżmy, że w chwili początkowej jedna
powierzchnia swobodna, będąca wykresem funkcji u jest poniżej powierzchni swobodnej będącej
wykresem v. Wtedy w każdej późniejszej chwili wykres u jest poniżej v. Ten wynik nazwiemy Zasadą Porównawczą. Oczywiście, ścisły zapis wygląda zupełnie inaczej. Zasada Porównawcza przez
swój fundamentalny charakter będzie miała wielkie znaczenie dla rozwoju dziedziny zwanej teorią
lepkościowych rozwiązań osobliwych równań parabolicznych.
2) Ten dość teoretyczny wynik pozwala na wyciąganie wniosków o strukturze powierzchni
swobodnych, skonstruowanych w serii wcześniejszych prac. Na przykład, udało nam się ustalić,
że rozważane przez nas krzywe, które nazywaliśmy wygiętymi prostokątami, istotnie zasługują
na swoją nazwę, bo zachowują naroża a ich boki są wygięte. Co więcej udało nam się wykazać,
jedyność rozwiązań danego opisu, tzn. podanie położenia początkowego krzywej przesądza o dalszej
ewolucji.
3) W innej pracy badaliśmy układy, w których występują ścianki o różnych, można powiedzieć
konkurencyjnych, kierunkach. Wykazaliśmy, że liczba ścianek i ich geometryczne konfiguracje nie
mogą być dowolne. Pokazaliśmy też, że wspomniana wyżej Zasada Porównawcza pozwala na oszacowanie czasu, po którym ewolucja w układzie zamiera.
4) Badaliśmy też układy, odmienne od tych rozważanych w 2), w których występują ścianki,
na które działa siła zewnętrzną. Zbadaliśmy szereg przykładów takich oddziaływań. Pokazaliśmy,
że w szczególnych przypadkach siła zewnętrzna nie prowadzi do wykształcenia nowej ścianki.
5) Zbadaliśmy model samoorganizacji nano-struktur cienkich błon napylanych wiązką jonową.
Pokazaliśmy, że model jest nie tylko dobrze postawiony, tj. że podanie stanu początkowego jednoznacznie określa ewolucję układu, ale również badaliśmy jego zachowanie dla długich czasów.
Wykazaliśmy istnienie zbioru przyciągającego (globalnego atraktora). Jednocześnie symulacje numeryczne sugerują, że dynamika dla długich czasów może być bardzo złożona.
6) Jednym z celów projektu było zbadanie pełnego modelu wzrostu kryształu, składającego się
z prawa Gibbsa-Thomsona, opisującego ewolucję powierzchni swobodnej, sprzężonego z równaniem
opisującym dyfuzję materii. Ważnym elementem takiego opisu jest eksperymentalnie ustanowiony
efekt Berga, mówiący, że koncentracja materii jest rosnącą funkcją odległości od środka ścianki.
Przeprowadzona ścisła analiza modelu tego zjawiska pokazała, że z matematycznego punktu widzenia, efekt Berga jest rzadki. Dlatego koniecznie trzeba przemyśleć wszystkie próby analizy pełnego
modelu wzrostu kryształu, opierające się na efekcie Berga. Z tego względu nasze odkrycie odegra
znaczącą rolę w badaniu modeli wzrostu kryształu opartych na prawie Gibbsa-Thomsona.
1