Regionalne Koło Matematyczne
Transkrypt
Regionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 10, grupa zaawansowana (12.12.2009) Równania diofantyczne 1. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 1 1 1 + = , x y p gdzie p jest daną liczbą pierwszą. Rozwiązanie. Równanie przekształcamy do postaci py + px = xy, a następnie do postaci (x − p)(y − p) = p2 . Zatem x − p ∈ {1, p, p2, −1, −p, −p2 }, ale x 6= 0, otrzymujemy więc pięć możliwości: ( x=p+1 y = p2 + p, ( x = 2p y = 2p, ( x = p2 + p y = p + 1, ( x=p−1 y = −p2 + p, 2. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie x + 2y + 3xy = 123. Rozwiązanie. Przekształcamy równanie do postaci (3x + 2) · (3y + 1) = 371. 1 ( x = −p2 + p y = p − 1. Zauważmy, że 371 = 7 · 53, przy czym dzielnikami liczby 371 dającymi resztę 1 przy dzieleniu przez 3 są: 1, 7, −53 i −371, a dzielnikami dającymi resztę 2 są: 53, 371, −1, −7. Mamy zatem następujące możliwości: ( 3x + 2 = 371 3y + 1 = 1, ( 3x + 2 = 53 3y + 1 = 7, ( 3x + 2 = −1 3y + 1 = −371, ( x = −1 y = −124, ( 3x + 2 = −7 3y + 1 = −53. Otrzymujemy rozwiązania: ( x = 123 y = 0, ( x = 17 y = 2, ( x = −3 y = −18. 3. Jakie reszty przy dzieleniu przez: a) 3, b) 4, c) 5, może dać kwadrat liczby całkowitej? Rozwiązanie. a) Jeśli a jest podzielne przez 3, czyli a = 3k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to a2 = 9k 2 też jest podzielne przez 3. Jeśli a nie jest podzielne przez 3, to a = 3k ±1 dla pewnego całkowitego k, i wówczas a2 = 9k 2 ± 6k + 1 = 3(3k 2 ± 2k) + 1, czyli a2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Uwaga. Możemy oczywiście skorzystać z kongruencji. Jeśli a ≡ 0 (mod 3), to a2 ≡ 0 (mod 3), a jeśli a ≡ ±1 (mod 3), to a2 ≡ 1 (mod 3). b) Jeśli a = 2k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to a2 = 4k 2 , więc kwadrat liczby parzystej jest podzielny przez 4. Jeśli a = 2k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą, to a2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k) + 1, więc kwadrat liczby nieparzystej przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. c) Jeśli a ≡ 0 (mod 5), to a2 ≡ 0 (mod 5). Jeśli a ≡ ±1 (mod 5), to a2 ≡ 1 (mod 5). Jeśli natomiast a ≡ ±2 (mod 5), to a2 ≡ 1 (mod 5). 4. Udowodnić, że jeżeli liczby całkowite a, b, c spełniają warunki: NWD (a, b, c) = 1 i a2 + b2 = c2 , to: (a) dokładnie jedna z liczb a, b jest parzysta, a c jest nieparzysta, (b) dokładnie jedna z liczb a, b jest podzielna przez 3, a c jest niepodzielna przez 3, (c) dokładnie jedna z liczb a, b, c jest podzielna przez 5. Rozwiązanie. 2 (a) Gdyby obie liczby a i b były parzyste, to c też byłoby liczbą parzystą, co jest niemożliwe na mocy założenia, że NWD (a, b, c) = 1. Gdyby liczby a i b były obie nieparzyste, to a2 i b2 dawałyby resztę 1 przy dzieleniu przez 4 (poprzednie zadanie). Wówczas liczba c2 = a2 + b2 dawałaby resztę 2 – sprzeczność, gdyż kwadrat liczby całkowitej nie daje przy dzieleniu przez 4 reszty 2. Zatem dokładnie jedna z liczb a, b jest parzysta, a c jest wówczas nieparzysta. (b) Gdyby liczby a i b były podzielne przez 3, to c też byłoby podzielne przez 3, co jest niemożliwe, gdyż NWD (a, b, c) = 1. Gdyby zaś liczby a i b były obie niepodzielne przez 3, to a2 i b2 dawałyby resztę 1 przy dzieleniu przez 3 (poprzednie zadanie), czyli c2 dawałoby resztę 2, co też jest niemożliwe na mocy poprzedniego zadania. Zatem dokładnie jedna z liczb a, b jest podzielna przez 3, a c jest liczbą niepodzielną przez 3. (c) Gdyby dwie z liczb a, b, c były podzielne przez 5, to trzecia też musiałaby się dzielić przez 5, wbrew założeniu. Zatem co najwyżej jedna z liczb a, b, c jest podzielna przez 5. Gdyby żadna z liczb a, b, c nie była podzielna przez 5, to ich kwadraty dawałyby reszty 1 lub 4. Wówczas a2 + b2 dawałoby resztę 0, 2 lub 3 i nie mogłoby być równe c2 , które daje resztę 1 lub 4. W takim razie dokładnie jedna z liczb a, b, c jest podzielna przez 5. 5. Opisać wszystkie rozwiązania równania a2 + b2 = c2 w liczbach naturalnych a, b, c. Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że NWD(a, b, c) = 1. Z poprzedniego zadania wiemy, że jedna z liczb a i b jest parzysta, a druga nieparzysta. Przyjmijmy, że c+a c−a i a jest liczbą nieparzystą. Wówczas c też jest nieparzyste i liczby 2 2 są względnie pierwsze, a ich iloczyn jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem te liczby są kwadratami liczb naturalnych: c+a = m2 2 c−a = n2 , 2 dla pewnych liczb naturalnych m > n. Zauważmy, że liczby m, n są względnie pierwsze i różnej parzystości. Otrzymujemy stąd: a = m2 − n2 , b = 2mn, c = m2 + n2 . Wszystkie rozwiązania równania a2 + b2 = c2 w liczbach naturalnych a, b, c przedstawiają się następująco: a = d · (m2 − n2 ) b = 2dmn c = d · (m2 + n2 ), a = 2dmn b = d · (m2 − n2 ) c = d · (m2 + n2 ) 3 a = 0 oraz b = 0 c = 0, gdzie m > n są nieujemnymi liczbami całkowitymi, względnie pierwszymi i różnej parzystości (dopuszczamy przypadek m = 1, n = 0), a d jest dodatnią liczbą całkowitą. 4