www.zadania.info – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA

www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 1
√
Wiedzac,
˛ że α jest katem
˛
ostrym oraz tg α = 4 3 oblicz wartość wyrażenia
√
3+sin α
1+cos α .
Z ADANIE 2
√
Znajdź najmniejsza˛ i najwi˛eksza˛ wartość funkcji f ( x ) = 3 sin x + cos x w przedziale h0; 2π i.
Z ADANIE 3
Wyznacz sin 2x i cos 2x jeśli wiadomo że x ∈ ( π2 ; π ) i tg x = −5.
Z ADANIE 4
a) Sprawdź, czy równość
sin(α + β) · sin(α − β) = sin2 α − sin2 β
jest tożsamościa˛ trygonometryczna.˛
b) Udowodnij, że jeżeli α i β sa˛ dwoma katami
˛
trójkata
˛ i sin(α − β) = sin2 α − sin2 β, to trójkat
˛ ten jest
trójkatem
˛
prostokatnym
˛
lub równoramiennym.
Z ADANIE 5
Wyznacz okres podstawowy funkcji f ( x ) = tg(2x −
π
2 ).
Z ADANIE 6
Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x ) = 5 − 2 sin2 x dla x ∈ R.
Z ADANIE 7
Wiedzac,
˛ że sin α − cos α = 21 , oblicz wartość wyrażenia sin α · cos α.
Z ADANIE 8
Wykaż, że dla dowolnego kata
˛ α takiego, że sin α cos 3α 6= 0 zachodzi tożsamość
tg 3α
3 − 4 sin2 α
=
.
tg α
4 cos2 α − 3
Z ADANIE 9
Dana jest funkcja f ( x ) =
1+tg x
ctg x
dla x ∈ h π6 , π3 i.
a) Rozwia˛ż równanie f ( x ) = 2.
b) Wyznacz najmniejsza˛ wartość funkcji f ( x ).
1
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 10
Wykaż, że wyrażenie
− cos 2x
sin x cos x
= tg x +
1
tg x
nie jest tożsamościa.˛
Z ADANIE 11
Wyznacz najmniejsza˛ wartość funkcji f ( x ) =
Z ADANIE 12
Wiedzac,
˛ że α jest katem
˛
ostrym i tg α +
1
tg α
(ctg2 x −tg2 x )·sin2 2x
.
4 cos 2x ·sin2 x
= 4 oblicz sin α cos α.
Z ADANIE 13
Udowodnij, że jeżeli cos α 6= sin 7α i cos 4α 6= sin 4α to
sin α + cos 7α
sin 4α + cos 4α
=
.
cos α − sin 7α
cos 4α − sin 4α
Z ADANIE 14
Wyznacz zbiór wartości funkcji: f ( x ) = cos 2x − 2 sin x, gdzie x ∈ R.
Z ADANIE 15
Rozwia˛ż równanie 4 cos2 x = 4 sin x + 1 w przedziale h0, 2π i.
Z ADANIE 16
Dla jakich wartości parametru k równanie sin4 x + cos4 x =
2k +1
k −1
Z ADANIE 17
Rozwia˛ż równanie (1 − tg x )(1 + sin 2x ) = 1 + tg x.
Z ADANIE 18
Rozwia˛ż równanie 4 cos4 x − 7 cos2 x + 3 = 0.
Z ADANIE 19
Rozwia˛ż równanie sin x sin 2x + 4 cos x = sin 2x
Z ADANIE 20
Wyznacz wszystkie rozwiazania
˛
równania
tg x
cos x
− 2 sin x = 0.
2
ma rozwiazanie?
˛
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 21
Dana jest funkcja f ( x ) = cos 2x +
, x ∈ R.
a) Narysuj wykres funkcji f dla x ∈ −π, 52 π .
b) Rozwia˛ż równanie: cos 2x + π3 = 21 , dla x ∈ −π, 52 π .
π
3
Z ADANIE 22
Rozwia˛ż równanie sin x cos x = 14 .
Z ADANIE 23
Rozwia˛ż równanie 4 sin 2x + 9 tg x = 10 cos x dla x ∈ h0, 2π i.
Z ADANIE 24
Rozwia˛ż równanie 2 sin2 x − 2 sin2 x cos x = 1 − cos x w przedziale h0, 2π i.
3