Wykresy

Strona 1 z 11
Lekcja 10
Wykresy
Wykresy tworzymy:
1. Z menu Insert Graph i następnie wybieramy rodzaj wykresu jaki chcemy utworzyć;
2. Z menu paska narzędziowego "Graph Toolbar" wybierając przycisk z odpowiednim wykresem;
3. Skrótem klawiszowym:
- wykres XY (X,Y Plot) - {shift}+2,
- wykres biegunowy (Polar Plot) - {ctrl}+7,
- wykres 3D powierzchniowy (Surface Plot) - {ctrl}+2,
- wykres 3D warstwicowy (Contour Plot) - {ctrl}+5,
- wykres 3D punktowy (3D Scater Plot).
Wykresy X - Y
Po wybraniu tego wykresu MathCad tworzy pusty wykres z sześcioma znacznikami, po trzy na osi OX i
OY.
1. Znacznik pośrodku osi odciętych służy do wprowadzenia nazwy zmiennej definiującej przedział
zmian na osi OX. Zmienna ta może być zmienną iteracyjną lub zmienną indeksowaną.
2. Znacznik pośrodku osi rzędnych ma zawierać wykreślane wyrażenie. Może to być zmienna
iteracyjna lub indeksowana, lub wyrażenie albo funkcja od nich zależna.
3. Skrajne znaczniki na osi poziomej i pionowej służą do określenia zakresu zmian dla dziedziny
funkcji i jej wartości. MathCad domyślnie przyjmuje pełny przedział zmian, tak aby wykres w
całości mieścił się na rysunku. Wartości domyślne zmienić można modyfikując liczby wpisane na
granicach zakresów osi OX oraz OY.
Rysując wykres, MathCad zaznacza po jednym punkcie dla każdej wartości zmiennej z przedziału na osi
OX oraz OY. Punkty są łączone liniami prostymi. Zmienne używane do opisu osi OX i OY muszą być
wcześniej zdefiniowane. Aby zmienić rodzaj linii (Line) łączącej punkty wykresu, oraz symbol (Symbol)
używany do rysowania punktów, należy dwukrotnie kliknąć lewym lub przyciskiem myszy na rysunku.
Ustawień dokonuje się w otwartym oknie formatowania.
Wykres wektora
Dane z osi OX oraz OY są w postaci zbioru punktów zapisanych w wektorach.
1. Wykreślane wektory muszą posiadać tę samą liczbę elementów.
2. Jeżeli stosujemy zmienne indeksowane, to indeksy muszą być identyczne na osi OX i OY.
⎛1 ⎞
⎜
⎜2 ⎟
⎜3 ⎟
x := ⎜ ⎟
⎜4 ⎟
⎜5 ⎟
⎜
⎝6 ⎠
⎛1 ⎞
⎜
⎜4 ⎟
⎜9 ⎟
y=⎜ ⎟
⎜ 16 ⎟
⎜ 25 ⎟
⎜
⎝ 36 ⎠
→
2
y := x
40
y
Dane do wykresów zapisane są w wektorach x i y.
Powinny mieć one taką samą liczbę współrzędnych.
20
0
0
2
4
6
x
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 2 z 11
Lekcja 10
N := 5
xi := 0.5 +
i := 0 .. N
yi :=
5
⋅i
N
Zmienna x przyjmuje N wartości z przedziału
[0.5,5.5] z krokiem 5/N.
exp( xi)
Dla każdej wartości x[i] obliczamy wartość
wykreślanego wyrażenia y[i].
( xi) 2
10
y
Modyfikując N zmieniamy jakość uzyskanego rysunku
5
0
0
2
4
6
x
Wykres funkcji
Aby go utworzyć należy:
1. Zdefiniować przedział zmian dla zmiennej umieszczonej na osi OX.
2. Na środkowym znaczniku osi OX wpisać nazwę odpowiedniej zmiennej.
3. Na środkowym znaczniku osi OY wpisać wykreślane wyrażenie lub funkcję.
4. Nacisnąć F9, lub kliknąć poza obszarem wykresu, aby ujrzeć wykres.
Zmienna x przyjmuje wartości z przedziału [-10,10] z krokiem 0.1
x := −10 , −9.9 .. 10
150
100
2
50
x +x
0
50
10
0
10
x
Zamiast wpisywać wykreślane wyrażenie na wykresie, można wcześniej zdefiniować wykreślaną funkcję i
w miejsce znacznika na osi OY wpisać nazwę funkcji.
2
Wykreślana funkcja
f( x) := x + x
150
100
f ( x)
50
0
50
10
0
10
x
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 3 z 11
Lekcja 10
Na osiach wpisywać możemy zarówno nazwy zmiennych bez indeksów jak też z indeksami. W tym drugim
przypadku musimy pamiętać, aby indeksy na obu osiach były identyczne.
Krzywa Lissajous
N := 20
⎛
⎝
xj := sin⎜ 2 ⋅π ⋅
j := 0 .. N
j⎞
N⎠
⎛
⎝
y⎯ := cos ⎜ 6 ⋅π ⋅
j
j⎞
N⎠
1
yj
Modyfikując N zmieniamy jakość uzyskanego rysunku
0
1
1
0
1
xj
Wykres z zastosowaniem obliczeń iteracyjnych
Kardioida
N := 20
Θ i := 2 ⋅π ⋅
i := 0 .. N
2⋅
( )
π
= 0.314
N
( )
ri := cos Θ i + 1
xi := ri⋅cos Θ i
2
y
Ten zapis oznacza, że zmienna Θ przyjmuje N
wartości z przedziału [0,2*π] z założonym
krokiem 2π/N.
i
N
( )
yi := ri⋅sin Θ i
Zmieniając wielkość N proszę sprawdzić jak
wpływa to na precyzję wykonania rysunku.
0
UWAGA MathCad "pamięta" wcześniejsze definicje. Proszę
zmienić N na 10 i sprawdzić co wyjdzie!
2
1
0
1
2
x
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 4 z 11
Lekcja 10
Na osi OX używać możemy zarówno zmiennej iteracyjnej lub indeksowanej, jak też funkcji zależnej od takiej
zmiennej
Wykres Kardioidy z zastosowaniem funkcji
Θ := 0 ,
N := 20
r ( Θ ) := cos ( Θ ) + 1
Zmienna Θ przyjmuje N wartości z przedziału [0,2π]
z krokiem 2π/N.
2 ⋅π
.. 2 ⋅π
N
x( Θ ) := r ( Θ ) ⋅cos ( Θ )
y( Θ ) := r ( Θ ) ⋅sin( Θ )
2
y( Θ )
Na osiach OX i OY mamy funkcje zależne od zmiennej
iteracyjnej Θ.
0
2
1
0
1
2
x( Θ )
Wykresy większej ilości funkcji/wyrażeń
Wykreślanie większej ilości funkcji na jednym wykresie:
- definiujemy wszystkie potrzebne funkcje;
- wprowadzamy wykres z Insert Graph;
- po wprowadzeniu pierwszego wyrażenia w miejsce znacznika, obejmujemy je polem wyboru i
naciskamy przecinek;
- w miejsce powstałego nowego znacznika wpisujemy kolejne wyrażenie.
Wszystkie wykreślane funkcje zależą od tego samego argumentu
N := 80
j := 0 .. N
xj := −4 ⋅π +
π
⋅j
10
yj := xj⋅sin( xj)
20
yj
1.5⋅x j
W tym przypadku na osi OX wystarczy wpisać
tylko ten jeden argument.
0
− 1.5⋅x j
20
20
10
0
10
20
xj
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 5 z 11
Lekcja 10
Wykreślane funkcje mają różne argumenty
N := 80
j := 0 .. 80
xj := −4 ⋅π +
π
⋅j
10
t := −15 , −14.9 .. 15
2
yj := xj⋅sin( xj)
f( t) := 0.1 ⋅t + 3
40
yj
f ( t)
− f ( t)
MathCad zestawia wyrażenia w pary: Pierwsze wyrażenie
na osi OX zestawia z pierwszym wyrażeniem na osi OY,
drugie z drugim, itd. Wyrażenia w parach powinny używać
tych samych indeksów i przedziałów zmiennej. Pomiędzy
parami mogą wystąpić różnice.
20
0
20
40
20
10
0
10
20
xj , t , t
Formatowanie wykresów
Aby zmienić wygląd wykresu klikamy prawym przyciskiem myszy na formatowanym wykresie:
- Zoom pozwala wybrać fragment wykresu i powiększyć go;
- Trace pozwala na odczytanie współrzędnych rysowanych punktów;
- Format pozwala zmieniać wygląd wykresu, opisywać osie i wykres.
⎛ 1⎞
⎝ x⎠
f( x) := x⋅sin⎜
x := 0 , 0.001 .. 1
1
0.5
Korzystając z funkcji Zoom powiększyć
początkowy fragment wykresu
f ( x)
0
0.5
0
0.5
1
x
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 6 z 11
Lekcja 10
Wykresy 3D
Wykreślanie funkcji dwóch zmiennych wymaga zastosowania wykresów 3D powierzchniowych lub
warstwicowych. W tym przypadku nie operuje się przedziałami dla zmiennych i funkcji, a macierzami wartości.
Po wprowadzeniu wykresu z menu Insert Graph Surface Plot ukazuje się obszar wykresu z znacznikiem, w
którego miejsce należy wpisać nazwę macierzy zawierającą wartości rysowanej funkcji dwóch zmiennych. Po
wciśnięciu klawisza F9 lub kliknięciu poza obszarem wykresu, ukaże się wykres. Każdy element macierzy
reprezentowany jest jako punkt położony na określonej wysokości w stosunku do siatki. Wysokość ta jest
proporcjonalna do wartości tego elementu macierzy. Skala na osiach OX oraz OY dobierana jest arbitralnie.
Standardowo pierwszy wiersz macierzy rozciąga się w prawo od tylnego, lewego rogu siatki, natomiast
pierwsza kolumna rozciąga się od tylnego lewego rogu siatki w kierunku oglądającego.
Wykresy powierzchniowe - trójwymiarowe wykresy powierzchni
Chcąc uzyskać wykres powierzchniowy należy:
1. Zdefiniować funkcję dwóch zmiennych, której wykres chcemy uzyskać.
2. Zdefiniować przedziały zmian dla zmiennych oraz liczbę wykreślanych punktów na osiach OX i OY.
3. Zdefiniować zmienne jako równomiernie rozłożone punkty na osiach OX i OY.
4. Wypełnić macierz wartościami wykreślanej funkcji w zadanych punktach siatki.
5. Wprowadzić wykres powierzchniowy.
6. W miejsce znacznika wpisać nazwę macierzy zawierającą wartości funkcji.
N := 20
i := 0 .. N
xi := −1.5 + 0.15 ⋅i
(2
Liczba wykreślanych punktów
j := 0 .. N
Siatki punktów na osiach OX i OY
yj := −1.5 + 0.15 ⋅ j
)
2
f( x , y) := sin x + y
Wykreślana funkcja
Mi , j := f( xi , yj)
Macierz zawierająca punkty, które chcemy
umieścić na wykresie.
Klikając na rysunku otwieramy menu pozwalające
modyfikować jego wygląd. Zmieniać można
przezroczystość, kolor, skalę szarości. Wykonywać
można obroty (Rotation), przechylać (Tilt). Można
również zmienić sposób prezentacji z
powierzchniowego wykresu na warstwicowy.
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 7 z 11
Lekcja 10
Wykresy parametryczny
MathCad pozwala na tworzenie parametrycznych wykresów powierzchniowych. W tym przypadku w miejsce
znacznika pod obszarem wykresu wpisuje się nazwy trzech macierzy oddzielone przecinkami i zawierających
współrzędne punktów wykresu na osiach OX, OY i OZ . Macierze te zapisywane są w nawiasie.
TORUS
N := 20
m := 0 .. N
φ m := 2 ⋅π ⋅
m
N
Liczba wykreślanych punktów wzdłuż
osi OX i OY
n := 0 .. N
θ n := 2 ⋅π ⋅
n
N
r := 3
Promień wewnętrzny
R := 6
Promień zewnętrzny
Siatki punktów na osiach OX i OY
φ oraz θ przyjmują wartości z przedziału
od 0 do 2π
Wykreślana funkcja
(
( ))
( )
Xm , n := R + r ⋅cos θ n ⋅cos φ m
(
( )) ( )
Ym , n := R + r ⋅cos θ n ⋅sin φ m
( )
Zm , n := r ⋅sin θ n
Macierze X, Y oraz Z zawierają punkty współrzędnych wzdłuż wszystkich trzech osi OX, OY i
OZ, odpowiednio.
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 8 z 11
Lekcja 10
Wykresy warstwicowe
Wykresy warstwicowe tworzy się dokładnie tak samo jak powierzchniowe, z tym, że zamiast wykresu
powierzchniowego (Surface Plot) wprowadzamy wykres warstwicowy (Contour Plot).
N := 20
xwi :=
i := 0 .. N
1
⋅i
N
ywj :=
Liczba punktów na wykresie
j := 0 .. N
1
⋅j
N
Siatki punktów na osiach OX i OY
Wykreślana funkcja
2
2
2
⎡⎢
( 9 ⋅x−2) +( 9 ⋅y−2)
( 9 ⋅x+1) 9 ⋅y+1
⎥⎤
−
−
−
49
2
2
4
10
f( x , y) := ⎢⎣ 0.75 ⋅e
+ 0.75 ⋅e
− 0.2 ⋅exp⎡⎣ −( 9 ⋅x − 4) − ( 9 ⋅y − 7) ⎤⎦ ⎥⎦ ...
− ⎡⎣ ( 9 ⋅x−7) +( 9 ⋅y−3)
4
2
+ 0.5 ⋅e
2⎤
⎦
Kontynuację pisanego wyrażenia w nowym
wierszu uzyskuje się kombinacją klawiszy
{ctrl}+{enter}
Mi , j := f( xwi , ywj)
Macierz zawierająca punkty, które chcemy umieścić na
wykresie.
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 9 z 11
Lekcja 10
Wykres 3D punktowy
Na wykresach 3D możemy przedstawiać obok powierzchni przestrzenny przebieg pojedynczych krzywych.
Wykres taki wprowadzamy z menu Insert Graph - 3D Scater Plot. W miejsce znacznika pod wykresem należy
wpisać trzy wektory opisujące kolejno współrzędne wykreślanej przestrzennie krzywej wzdłuż osi OX, OY i OZ.
R( u) := 2 ⋅u
N := 30
rri := R( ui)
2
S ( u) := u
T( u) := cos ( u)
ui := −5 +
i := 0 .. N
ssi := S ( ui)
10
⋅i
N
tti := T( ui)
Wykreślana funkcja zdefiniowana
parametrycznie
Wektory zawierające współrzędne wzdłuż
osi OX, OY i OZ, odpowiednio.
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 10 z 11
Lekcja 10
Problemy do samodzielnego rozwiązania
1. Wykreślić funkcję daną w postaci parametrycznej: x(t)=sin(at), y(t)=sin(bt), gdzie a i b są parametrami.
Zmieniając wartości parametrów a i b sprawdzić jak wpłynie to na postać funkcji.
2. Wykonać wykres koła danego równaniami x(t)=xo+rcos(t), y(t)=yo+rsin(t), gdzie xo i yo są
współrzędnymi środka koła, a r promieniem. Zmieniając promień wyrysować kilka koncentrycznych
kół. Zmieniając położenie środka koła wyrysować kilka kół przesuniętych względem siebie.
3. Wykonać wykres asteroidy danej równaniami x(t)=a*cos(t)^3, y(t)=a*sin(t)^3 dla różnych wartości
parametru a.
4. Wykonać wykres cykloidy danej równaniami x(t)=a*(t-sin(t)), y(t)=a*(1-cos(t)) dla różnych wartości
parametru a.
5. Wykonać wykres spirali Archimedesa: r(Θ)=a*Θ, x(Θ)=r(Θ)*cos(Θ), y(Θ)=r(Θ)*sin(Θ), dla różnych
wartości parametru a.
6. Wykonać wykres spirali logarytmicznej r(Θ)=a*cos(Θ)+b, x(Q)=r(Q)*cos(Q), y(Q)=r(Q)*sin(Q), dla
różnych wartości parametrów a i m.
7. Wykonać wykres ślimaka r(Θ)=a+b*cos(Θ), x(Θ)=r(Θ)*cos(Θ), y(Θ)=r(Θ)*sin(Θ), dla różnych
wartości parametrów a i b.
8. Wykonać wykres Lemniskaty r^2(Θ)=2*a^2*cos(2Θ), x(Θ)=r(Θ)*cos(Θ), y(Θ)=r(Θ)*sin(Θ), dla
różnych wartości parametru a.
9. Wykonać wykres funkcji f(x)=x^2-1 dla x z przedziału [-2,2].
10. Wykonać wykres funkcji f(x)={x^2-1 dla x^2-1>0 i 0 w przeciwnym razie} dla x z przedziału [-2,2].
11. Wykonać wykres funkcji f(x)={x^2-1 dla x>1 i 1-x^2 dla x<=1}. x należy do przedziału [-2,2].
x
12. Wykonać wykres funkcji
⌠ t−1
y( x) := ⎮
dt
⎮ t2 + 1
⌡0
dla x z przedziału [-5,5].
⌠
x
13. Przedstawić na wykresie przebieg funkcji y( x) := ⎮ sin( t) dt + d cos ( x) − 2 dla x z przedziały [-2π,2π] z
⌡0
dx
krokiem 0.1.
⎛ x 1 2 ⎞
⎜
14. Przedstawić na wykresie przebieg funkcji f( x) := ⎜ −3 x2 −1 ⎟ .
⎜
3
⎝1 0 x ⎠
15. Przedstawić na wykresie przebieg funkcji f( x) := x5 − 4 ⋅x4 − 155 ⋅x3 + 210 ⋅x2 + 5544 ⋅x + 5184.
16. Przedstawić na wykresie przebieg funkcji f(x)=x^3+2x^2-x+5.
1
2 ⋅y
3 ⎞
⎛ x
⎜
1 x− 1 y+ 2 5 ⎟
17. Przedstawić na wykresie przebieg funcji y od x danej w postaci uwikłanej ⎜
=0.
⎜x+ y 2 x+ 1 y− 2 ⎟
⎜
x
0
1 ⎠
⎝ x
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa
Strona 11 z 11
Lekcja 10
Wykonać wykresy powierzchniowe i warstwicowe następujących funkcji:
1. f(x,y)=sin(x^2)+cos(y^2) dla x z przedziału [-1.5,1.5] oraz y z przedziału [-1.5,1.5].
2. f(x,y)=sin(x)^2+cos(y)^2 dla x z przedziału [-1.5,1.5] oraz y z przedziału [-1.5,1.5].
3. f(x,y)=sin(x)*cos(y) dla x i y z przedziału [-2,2].
4. f(x,y)=exp(-x^2-y^2) dla x i y z przedziału [-2,2].
5. Rysunek sfery danej parametrycznie x(f,t)=sin(f)*cos(t), y(f,t)=sin(t)*cos(t), z(f,t)=cos(f), dla f i t
przyjmujących wartości z przedziału [0,2π].
6. f(x,y)=sin(x)+cos(y).
7. X(u,v)=v, Y(u,v)=v*cos(u), Z(u,v)=sin(u).
8. P(x)=cos(x), R(x)=sin(2x), S(x)=cos(x)+sin(2x).
9. G(x,y)=sqroot(1+(1/5-x/50)^2+(1/5-y/50)^2).
10. f(x,y)=cos(x+sin(y)) dla x i y z przedziału [0,2π].
22.09.2008
Mariusz B. Bogacki
Technologia Informacyjna
Pracownia Projektowa