Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów
rok szkolny 2015/2016
Etap I – szkolny
W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi.
Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeń otrzymuje maksymalną liczbę punktów.
Do kolejnego etapu kwalifikuje się uczeń, który uzyskał co najmniej 14 punktów.
Zadanie 1 [2 pkt]
W Gdyni zorganizowano rowerowy rajd na orientację. Średnia arytmetyczna wieku wszystkich
uczestników rajdu była równa 13 lat. Najstarszy z nich miał 22 lata, a średnia wieku pozostałych była
równa 12 lat. Oblicz, ile osób brało udział w rowerowym rajdzie na orientację?
Przykładowe rozwiązania:
𝑥 - liczba uczestników rajdu bez 22 – latka
12𝑥 + 22 = 13(𝑥 + 1)
12𝑥 + 22 = 13𝑥 + 13
𝑥 = 22 − 13 = 9
9 + 1 = 10
Odpowiedź: W rajdzie na orientację brało udział 10 uczestników.
𝑥 - liczba wszystkich uczestników rajdu
13𝑥 = 12(𝑥 − 1) + 22
13𝑥 = 12𝑥 − 12 + 22
𝑥 = 10
Odpowiedź: W rajdzie na orientację brało udział 10 uczestników.
Kryteria oceniania
Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy:
 zastosuje poprawną metodę obliczenia liczby uczestników rajdu.
Uczeń otrzymuje 2 punkty, gdy
 obliczy liczbę uczestników rajdu (10).
Zadanie 2 [3pkt]
a) Liczby 2500 , 3400 , 4300 , 5200 uporządkowane rosnąco to: 𝟓𝟐𝟎𝟎 , 𝟐𝟓𝟎𝟎 , 𝟒𝟑𝟎𝟎 , 𝟑𝟒𝟎𝟎
b) Czwarta część liczby 8100 to: 𝟐𝟐𝟗𝟖
c) Liczba 2,8 ⋅ 10−4 jest 𝟐 ⋅ 𝟏𝟎𝟖 razy mniejsza od liczby 5,6 ⋅ 104 .
Kryteria oceniania
Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy:
 udzieli jednej poprawnej odpowiedzi.
Uczeń otrzymuje 2 punkty, gdy:
 udzieli dwóch poprawnych odpowiedzi.
Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy:
 udzieli trzech poprawnych odpowiedzi.
Strona 1 z 6
Zadanie 3 [3 pkt]
Wśród pasażerów jadących autobusem kobiety stanowiły 25%. Na przystanku nikt nie wysiadł natomiast
wsiadła jedna kobieta. Teraz liczba kobiet stanowi 28% wszystkich pasażerów. Oblicz, ile kobiet jechało
początkowo w tym autobusie.
Przykładowe rozwiązania:
x – początkowa liczba pasażerów
0,25𝑥 + 1 = 0,28(𝑥 + 1)
25𝑥 + 100 = 28𝑥 + 28
3𝑥 = 72
𝑥 = 24
25% 𝑧 24 𝑡𝑜 6
Odpowiedź: Początkowo w autobusie jechało 6 kobiet.
x – końcowa liczba pasażerów
0,25(𝑥 − 1) + 1 = 0,28𝑥
25𝑥 − 25 + 100 = 28𝑥
3𝑥 = 75
𝑥 = 25
28% 𝑧 25 𝑡𝑜 7
7−1=6
Odpowiedź: Początkowo w autobusie jechało 6 kobiet.
x – początkowa liczba kobiet
4x – początkowa liczba pasażerów
𝑥+1
28
=
4𝑥 + 1 100
𝑥+1
7
=
4𝑥 + 1 25
25(𝑥 + 1) = 7(4𝑥 + 1)
25𝑥 + 25 = 28𝑥 + 7
3𝑥 = 18
𝑥=6
Odpowiedź: Początkowo w autobusie jechało 6 kobiet.
Kryteria oceniania
Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy
 zapisze poprawne równanie wynikające z treści zadania.
Uczeń otrzymuje 2 punkty, gdy
 obliczy liczbę pasażerów
Uwaga! Jeżeli uczeń oznaczy jako x liczbę kobiet i zapisze prawidłowe równanie z jedną niewiadomą,
to otrzymuje 2 punkty.
Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy

obliczy początkową liczbę kobiet (6).
Strona 2 z 6
Zadanie 4 [3 pkt]
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 16. W trójkąt ten wpisano okrąg i na tym
trójkącie opisano okrąg. Oblicz sumę długości średnic tych okręgów.
Przykładowe rozwiązania:
𝑅 – promień okręgu opisanego na danym
trójkącie
122 + 162 = (2𝑅)2
(2𝑅)2 = 400
2𝑅 = 20
𝑟 – promień okręgu wpisanego w dany trójkąt
16 − 𝑟 + 12 − 𝑟 = 20
2𝑟 = 8
lub
12 ⋅ 16 12𝑟 16𝑟 20𝑟
=
+
+
2
2
2
2
𝑟=4
2𝑅 + 2𝑟 = 28
Odpowiedź : Suma długości średnic jest równa 28.
Kryteria oceniania
Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy:
 obliczy długość średnicy lub promienia okręgu opisanego na danym trójkącie
lub
obliczy długość średnicy lub promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt.
Uczeń otrzymuje 2 punkty, gdy
 obliczy długość średnicy lub promienia okręgu opisanego na danym trójkącie i długość
średnicy lub promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt.
Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy
 obliczy sumę długości obu średnic.
Strona 3 z 6
Zadanie 5 [3pkt]
Jeżeli liczbę dwucyfrową podzielimy przez sumę jej cyfr, to otrzymamy 4 i resztę 6. Jeśli natomiast
podzielimy tę liczbę przez sumę jej cyfr pomniejszoną o 2, to otrzymamy 5 i resztę 3. Oblicz, jaka to
liczba.
Przykładowe rozwiązanie:
x – cyfra dziesiątek
y – cyfra jedności
10𝑥 + 𝑦 = 4(𝑥 + 𝑦) + 6
10𝑥 + 𝑦 = 5(𝑥 + 𝑦 − 2) + 3
10𝑥 + 𝑦 = 4𝑥 + 4𝑦 + 6
{
10𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 + 5𝑦 − 10 + 3
6𝑥 − 3𝑦 = 6
{
5𝑥 − 4𝑦 = −7
2𝑥 − 𝑦 = 2
{
5𝑥 − 4𝑦 = −7
−8𝑥 + 4𝑦 = −8
{
5𝑥 − 4𝑦 = −7
−3𝑥 = −15
𝑥=5
{
𝑦=8
{
Odpowiedź: Ta liczba to 58.
Kryteria oceniania
Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy:
 zapisze jedno poprawne równanie wynikające z treści zadania.
Uczeń otrzymuje 2 punkty, gdy:
 zapisze poprawnie dwa równania wynikające z treści zadania.
Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy:
 poda poprawne rozwiązanie (Ta liczba to 58).
Strona 4 z 6
Zadanie 6 [3 pkt]
W trójkącie różnobocznym ABC dwusieczne kątów ABC i ACB przecinają się w punkcie D. Miara kąta BDC
jest równa 110O. Oblicz miarę kąta BAC.
Przykładowe rozwiązanie:
C
y
y
D
A
x
B
x
𝑥 + 𝑦 = 180° − 110° = 70°
|∢𝐵𝐴𝐶| = 180𝑜 − 2𝑥 − 2𝑦
|∢𝐵𝐴𝐶| = 180𝑜 − 2(𝑥 + 𝑦) = 40𝑜
Odpowiedź: |∢𝑩𝑨𝑪| = 𝟒𝟎°
Kryteria oceniania
Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy:
 zastosuje poprawną metodę obliczenia sumy miar kątów x i y lub uzależni miarę kąta BAC od
miar kątów x i y (𝑥 ≠ 𝑦).
Uczeń otrzymuje 2 punkty, gdy
 zastosuje poprawną metodę obliczenia sumy miar kątów x i y i uzależni miarę kąta BAC od
miar kątów x i y (𝑥 ≠ 𝑦).
Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy
 obliczy miarę kąta BAC (40O).
Strona 5 z 6
Zadanie 7 [3 pkt]
Pani Jola kupiła kosz pełen gruszek dla swojej trzyosobowej rodziny. Pani Jola i jej mąż Karol zjedliby te
gruszki w ciągu 45 dni. Pan Karol z córką Asią zjedliby te gruszki w ciągu 60 dni, natomiast pani Jola z córką
Asią zjadłyby te gruszki w ciągu 90 dni. Oblicz, w ciągu ilu dni zjedzą te gruszki razem pani Jola, jej mąż
Karol i ich córka Asia (zakładając, że każdy je gruszki w swoim stałym tempie).
Przykładowe rozwiązanie:
Część kosza gruszek zjedzonych w jeden dzień przez:
1
Panią Jolę i pana Karola: 45
1
Pana Karola i Asię: 60
1
Panią Jolę i Asię: 90
1
1
1
1
Rodzina zjada wspólnie w ciągu jednego dnia: (45 + 60 + 90) : 2 = 40 kosza gruszek.
Odpowiedź: Pani Jola, pan Karol i Asia zjedzą kosz gruszek w 𝟒𝟎 dni.
Kryteria oceniania
Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy:

1
zapisze, jaką część gruszek w ciągu jednego dnia zjadają pani Jola i pan Karol (45) lub Pan Karol
1
1
i Asia (60) lub Asia i pani Jola (90).
Uczeń otrzymuje 2 punkty, gdy:

zapisze w postaci wyrażenia, jaką część kosza gruszek zjadają razem pani Jola, pan Karol i Asia
1
1
1
w ciągu jednego dnia: (45 + 60 + 90) : 2
Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy:
 poda liczbę dni potrzebną do zjedzenia kosza gruszek przez rodzinę pani Joli (40).
Strona 6 z 6