Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów
rok szkolny 2014/2015
Etap II - rejonowy
W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi.
Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeo otrzymuje maksymalną liczbę punktów.
Do kolejnego etapu kwalifikuje się uczeo, który uzyskał co najmniej 14 punktów.
Zadanie 1 [3 pkt.]
Marta przygotowała wodny roztwór cukru o stężeniu 10%. Jej młodszy brat wylał pół kilograma tego
3
roztworu i do pozostałej części roztworu dolał pół kilograma wody otrzymując roztwór o stężeniu 8 %.
4
Oblicz, ile wody, a ile cukru było na początku w roztworze Marty. Zapisz obliczenia.
Przykładowe rozwiązanie:
x – masa roztworu
0,1 𝑥 −
1
3 1
=8 ∙
𝑥
2
4 100
35
𝑥
400
40𝑥 − 20 = 35𝑥
𝑥=4
0,1𝑥 − 0,05 =
10% ·4 = 0,4
Odpowiedź: W roztworze Marty było 3,6 kg wody i 0,4 kg cukru.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 zapisze poprawne równanie wynikające z treści zadania.
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy

poprawnie rozwiąże równanie.
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 obliczy, że roztwór składa się z 3,6 kg wody i 0,4 kg cukru.
Uwaga!
Jeżeli uczeo zapisze błędne równanie, to otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 2 [2pkt.]
Suma dwóch liczb jest równa 7, a różnica kwadratów tych liczb jest równa 21. O jakich liczbach mowa?
Zapisz obliczenia.
Przykładowe rozwiązanie:
x +y = 7
x2 - y2 =21
(7 – y)2 – y2 = 21
49 – 14y + y2– y2 = 21
49 – 21 = 14y
28 = 14y
y=2
x=5
Odpowiedź: Liczby, o których mowa, to 5 i 2.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 zapisze dwa równania: x2 - y2 =21 i x+y = 7.
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 obliczy liczby, o których mowa w zadaniu (5 i 2).
Zadanie 3 [5pkt.]
Jacek wyciął z prostokątnego kawałka tektury romb (taki jak na rysunku poniżej) o przekątnych 40cm
i 20 cm. Jakie pole powierzchni miał ten prostokątny kawałek tektury? Zapisz obliczenia.
Przykładowe rozwiązania:
I sposób:
a - długośd boku rombu
x – różnica długości boku prostokąta i długości boku rombu
𝑃𝑟 =
40 ∙ 20
= 400
2
202 + 102 = 𝑎2
𝑎 = 10 5
𝑃𝑟 = 𝑎 ∙ ℎ
ℎ=
𝑃𝑟
400
=
=8 5
𝑎 10 5
𝑎2 − ℎ2 = 𝑥 2
500 − 320 = 𝑥 2
180 = 𝑥 2
𝑥=6 5
𝑃 = 𝑎 + 𝑥 ℎ = 16 5 ∙ 8 5 = 640
Odpowiedź:Prostokątny kawałek tektury miał pole 640 cm2.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 obliczy pole lub długośd boku rombu.
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 obliczy pole i długośd boku rombu.
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 obliczy długośd wysokości rombu.
Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy
 obliczy różnicę długości boku prostokąta i rombu (x).
Uczeo otrzymuje 5 punktów, gdy
 obliczy pole prostokąta.
Uwaga!
Jeśli uczeo prawidłowo rozwiąże zadanie, ale wynik poda bez jednostki, to przyznajemy maksymalną
liczbę punktów.
II sposób:
b
a
x
a - długośd boku rombu
x – różnica długości boku prostokąta i długości boku rombu
202 + 102 = 𝑎2
𝑎 = 10 5
𝑥 2 + 𝑏2 = 10 5
10 5 + 𝑥
2
2
+ 𝑏2 = 1600
𝑥 2 + 𝑏2 = 500
500 + 20 5𝑥 + 𝑥 2 + 𝑏2 = 1600
𝑏2 = 500 − 𝑥 2
500 + 20 5𝑥 + 𝑥 2 + 500 − 𝑥 2 = 1600
𝑏2 = 500 − 𝑥 2
20 5𝑥 = 600
𝑥=6 5
𝑏2 = 500 − 180
𝑥=6 5
𝑏=8 5
𝑃 = 𝑎 + 𝑥 𝑏 = 16 5 ∙ 8 5 = 640
Odpowiedź:
Prostokątny kawałek tektury miał pole 640 cm2.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 obliczy długośd boku rombu.
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy:

zastosuje twierdzenie Pitagorasa do dwóch trójkątów i zapisze układ równao
𝑥 2 + 𝑏 2 = 10 5
10 5 + 𝑥
2
2
+ 𝑏 2 = 1600
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy:

poprawnie zastosuje wzór skróconego mnożenia.
Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy:
 poprawnie rozwiąże układ równao.
Uczeo otrzymuje 5 punktów, gdy:
 obliczy pole prostokąta P = 640 cm2.
Uwaga!
Jeśli uczeo prawidłowo rozwiąże zadanie, ale wynik poda bez jednostki, to przyznajemy maksymalną liczbę
punktów.
Zadanie 4 [3 pkt.]
Na pytanie: „Ile masz lat?”, Janek odpowiedział następująco:
Moja siostra jest ode mnie młodsza o 3 lata. Ja mam obecnie dwa razy tyle lat, ile miała siostra wtedy,
kiedy ja miałem tyle lat, ile siostra ma teraz. Oblicz, ile lat ma Janek. Zapisz obliczenia.
Przykładowe rozwiązanie:
wiek Janka
wiek siostry Janka
teraz
x +3
x
3 lata temu
x
x -3
x +3 = 2(x – 3)
x+3 = 2x – 6
x=9
Odpowiedź: Janek ma 12 lat.
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy:
 zauważy, że sytuacja, kiedy Janek miał tyle lat, ile siostra ma teraz, miała miejsce
3 lata temu.
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 zapisze równanie wynikające z treści zadania, np. x+3 = 2(x – 3).
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 obliczy wiek Janka.
Zadanie 5 [4 pkt.]
Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości 8. W trójkącie
poprowadzono dwusieczną jednego z kątów ostrych. Oblicz długości odcinków, na jakie ta dwusieczna
podzieliła przyprostokątną.
Przykładowe rozwiązania:
I sposób:
C
E
A
D
B
𝐴𝐶 2 = 8
𝐴𝐶 = 4 2
∆𝐶𝐴𝐷 ≡ ∆𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐷 = 𝐷𝐸
𝐴𝐶 = 𝐶𝐸 = 4 2
𝐸𝐵 = 𝐶𝐵 − 𝐶𝐸 = 8 − 4 2
𝐷𝐵 = 𝐴𝐵 2 = 8 − 4 2 2 = 8 2 − 8
𝐴𝐷 = 𝐸𝐵 = 8 − 4 2
Odpowiedź:
Dwusieczna podzieliła przyprostokątną na odcinki o długościach: 8 − 4 2 𝑖 8 2 − 8 .
II sposób:
𝐴𝐶 2 = 8
𝐴𝐶 = 4 2
∆𝐶𝐴𝐷 ≡ ∆𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐷 = 𝐷𝐸
𝐷𝐵 = 𝐴𝐷 2
𝐴𝐷 + 𝐷𝐵 = 4 2
𝐴𝐷 + 𝐴𝐷 2 = 4 2
𝐴𝐷 1 + 2 = 4 2
4 2
𝐴𝐷 =
=8−4 2
1+ 2
𝐷𝐵 = 𝐴𝐷 2 = 8 2 − 8
Odpowiedź:
Dwusieczna podzieliła przyprostokątną na odcinki o długościach: 8 − 4 2 𝑖 8 2 − 8 .
Kryteria oceniania
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 korzystając z faktu, że trójkąty ADC i DEC są przystające (własnośd nie musi byd zapisana)
zauważy równośd odcinków |AC|= |EC| lub |DA| = |DE|
lub
 obliczy długośd przyprostokątnej.
Uczeo otrzymuje 2 punkty, gdy
 korzystając z faktu, że trójkąty ADC i DEC są przystające (własnośd nie musi byd zapisana)
zauważy równośd odcinków |AC|= |EC| lub |DA| = |DE|
i
 obliczy długośd przyprostokątnej.
Uczeo otrzymuje 3 punkty, gdy
 obliczy długośd odcinka |AD| lub |DB|.
Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy
 obliczy długośd odcinka |AD| i |DB|
𝐴𝐷 = 8 − 4 2 𝑖 𝐷𝐵 = 8 2 − 8
Uwaga!
Jeśli uczeo, poda rozwiązanie w postaci: 𝐴𝐷 =
to otrzymuje maksymalną liczbę punktów.
4 2
1+ 2
4 2
𝐷𝐵 = 1+
2
2
Zadanie 6 [1 pkt.]
Zaznacz krzyżykiem prawidłową odpowiedź.
Liczba |2 - 5| jest równa:
A. 2 - 5
B.
C. 2 + 5
5–2
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 wskaże poprawną odpowiedź.
Zadanie 7 [1 pkt.]
Wyznacz x ze wzoru:
5−𝑥
2𝑥 − 1
𝑦 2𝑥 − 1 = 5 − 𝑥
𝑦=
2𝑥𝑦 − 𝑦 = 5 − 𝑥
2𝑥𝑦 + 𝑥 = 5 + 𝑦
𝑥 2𝑦 + 1 = 5 + 𝑦
𝑥=
5+𝑦
2𝑦 + 1
𝑦≠−
1
2
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 poprawnie wyznaczy x ze wzoru.
Uwaga!
𝟏
Braku założenia 𝒚 ≠ − 𝟐 nie traktujemy jako błąd.
Zadanie 8 [1 pkt.]
Wyznacz 2014 cyfrę po przecinku liczby 2,014(512).
Odpowiedź:
2014 cyfrą po przecinku liczby 2,014(512) jest 5.
Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy
 poprawnie wyznaczy 2014 cyfrę po przecinku liczby 2,014(512).
D. -2 - 5
E. − 5 + 2