Racjonalne oczekiwania a adaptacyjne uczenie się w modelach z

Racjonalne oczekiwania a adaptacyjne uczenie się w modelach z

Jan Acedański
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Racjonalne oczekiwania a adaptacyjne uczenie się
w modelach DSGE z niejednorodnymi podmiotami*
Wstęp
Stochastyczne, dynamiczne modele równowagi ogólnej (DSGE) są jednym z podstawowych narzędzi
stosowanych we współczesnej makroekonomii [zob. Wickens (2008); Grabek, Kłos, Koloch (2010); Acedański (2009)]. U podstaw tych modeli leży metodologiczne założenie, iż równania opisujące dynamikę
podstawowych agregatów makroekonomicznych powinny być wyprowadzane z mikroekonomicznych podstaw optymalnego zachowania się pojedynczych podmiotów.
Dodatkowo w omawianych modelach stosuje się jeszcze dwa ważne założenia: o istnieniu reprezentatywnych podmiotów oraz o ich racjonalnych oczekiwaniach. Według pierwszej koncepcji efekty decyzji
wielu, niekoniecznie jednorodnych, podmiotów są tożsame z efektami decyzji jednego, reprezentatywnego
podmiotu. Uzasadnieniem powyższego założenia jest drugie twierdzenie ekonomii dobrobytu. Natomiast
zgodnie z założeniem o racjonalnych oczekiwaniach w ramach danego modelu ekonomicznego istnieje
zgodność w procesie decyzyjnym pomiędzy sposobem formułowania oczekiwań przez pomioty odnośnie
interesujących ich zmiennych a faktyczną dynamiką tych zmiennych. Innymi słowy, zakłada się, że podmioty znają dokładnie równania opisujące dynamikę wybranych zmiennych.
Oczywiście oba założenia są często krytykowane, przede wszystkim mając na uwadze ich nierealistyczność. W przypadku modeli z reprezentatywnymi podmiotami podkreśla się, że uniemożliwiają one analizy niektórych ważnych problemów ekonomicznych, na przykład związanych z nierównościami dochodowymi lub majątkowymi. Ponadto niektóre nurty makroekonomii wskazują [zob. Colander i in. (2008)], że
decyzje jednostek są efektem interakcji pomiędzy niejednorodnymi podmiotami i w związku z tym modele z
reprezentatywnymi podmiotami z definicji nie mogą ich opisywać w sposób prawidłowy. Racjonalne oczekiwania pociągają za sobą bardzo silne założenia dotyczące zakresu wiedzy podmiotów, która w zasadzie
pokrywa się z wiedzą badacza konstruującego dany model. Ponadto przyjęcie założenia o racjonalnych
oczekiwaniach sprawia, że są one jednoznacznie zdeterminowane przez strukturę modelu i nie ma możliwości modelowania ich w sposób niezależny [Frydman, Goldberg (2007)].
Jako alternatywę dla modeli z reprezentatywnymi podmiotami stosowane są modele, w których jednostki trwale różnią się, najczęściej ze względu na posiadane zasoby, charakterystyki lub sposób podejmowania decyzji. Przykładowo w pracy rozważany jest model z niejednorodnymi konsumentami zaproponowany przez Krusella i Smitha (1998). W modelu tym ex ante wszyscy konsumenci są jednakowi, jednak ze
względu na różnice w statusie na rynku pracy – część z nich pracuje, część zaś jest bezrobotna – oraz ograniczeniami możliwości zaciągania długów różnią się ex post ze względu na zgromadzony majątek. Model ten
*
Projekt został sfinansowany ze środków Narodowego Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzji numer DEC2011/01/D/HS4/03430.
doczekał się wielu rozszerzeń i wykorzystywany jest często w badaniach nad rozkładem majątku oraz dochodów [zob. Castaneda, Diaz-Gimenez, Rios-Rull (1998); Chang, Kim (2006); Krusell i in. (2009); Gornemann, Kuester, Nakajima (2012)].
Z kolei jedną z alternatyw dla racjonalnych oczekiwań, rozpatrywaną w tej pracy, jest koncepcja adaptacyjnego uczenia się podmiotów [zob. Evans, Honkapohja (2001)]. Zakłada się w niej, że podmioty nie
znają właściwych równań opisujących dynamikę interesujących ich zmiennych, ale szacują parametry tych
równań na podstawie przeszłych obserwacji. Następnie, korzystając z uzyskanych oszacowań w procesie
decyzyjnym formułują prognozy interesujących ich wielkości. Można więc powiedzieć, że postępują podobnie jak ekonometrycy. Modele adaptacyjnego uczenia się uznawane są jako uogólnienie racjonalnych oczekiwań, które mogą się pojawić w efekcie zbieżności procesu uczenia się. Wśród innych podejść do modelowania oczekiwań w problemach decyzyjnych spotykanych w literaturze można wymienić między innymi
uczenie się w odniesieniu do parametrów modelu a także odporne reguły decyzyjne [Hansen, Sargent
(2009)] oraz reguły heurystyczne występujące w modelach wieloagentowych [Kamiński (2012)].
Celem pracy jest przebadanie skutków zastąpienia założenia o racjonalnych oczekiwaniach założeniem o adaptacyjnym uczeniem się konsumentów w standardowym modelu DSGE z niejednorodnymi podmiotami zaproponowanym przez Krusella i Smitha (1998). W pracy postawiono dwa podstawowe pytania
badawcze:

Czy równania prognostyczne przy adaptacyjnym uczeniu się podmiotów zbieżne są do równań uzyskanych dla racjonalnych oczekiwań?

Czy zastąpienie racjonalnych oczekiwań adaptacyjnym uczeniem się wpływa na wnioski wypływające z
modelu odnośnie rozkładu majątku?
Oba pytania są ważne z punktu widzenia możliwości stosowania w badaniach ekonomicznych omawianego
modelu w wersji z racjonalnymi oczekiwaniami. W sytuacji braku zbieżności procesu uczenia się do racjonalnych oczekiwań trudno byłoby uzasadnić stosowanie założenia o racjonalnych oczekiwaniach, gdyż nie
wiadomo, w jaki sposób miałyby one powstać. Również w przypadku różnic we wnioskach odnośnie rozkładu majątku wnioski uzyskane z modelu z racjonalnymi oczekiwaniami byłyby podatne na krytykę, gdyż
niewielkie odstępstwa od tego założenia mogłyby skutkować zmianą wniosków. Tak więc jedynie pozytywna odpowiedź na pierwsze pytanie oraz negatywna na drugie uzasadnia stosowanie założenia o racjonalnych
oczekiwaniach w omawianym modelu.
Należy podkreślić, że w niniejszej pracy zakłada się, że konsumenci są jednorodni ze względu na proces uczenia się. Sytuację w której konsumenci cechują się różnicami w procesie uczenia się, rozpatruje się w
pracy Acedańskiego (2014). Jednocześnie należy dodać, iż w literaturze brak jest dotychczas prób łączenia
koncepcji adaptacyjnego uczenia się ze standardowymi modelami DSGE z niejednorodnymi podmiotami. W
tym zakresie niniejsza praca uzupełnia tą lukę. Ponadto w przypadku modeli z adaptacyjnym uczeniem się
podmiotów zazwyczaj korzysta się z przybliżonej, logliniowej wersji modelu. W tej pracy przy aproksymacji
modelu korzysta się z ze znacznie dokładniejszej metody iteracyjnej zachowującej nieliniowość problemu
decyzyjnego.
Artykuł składa się z trzech części. W pierwszej pokrótce omówiono model Krusella i Smitha. Następnie omówiono założenia o racjonalnych oczekiwaniach oraz adaptacyjnym uczeniu się podmiotów w kontekście badanego modelu. Wreszcie w trzeciej części przedstawiono wyniki badań symulacyjnych.
1. Model Krusella i Smitha z niejednorodnymi podmiotami i zagregowanym ryzykiem
Model jest niewielką modyfikacją standardowego stochastycznego modelu Ramseya, w którym w sferze produkcji funkcjonują jednorodne, doskonale konkurencyjne przedsiębiorstwa. Konsumenci są ex ante
jednorodni, jednak ze względu na fakt, że w danym okresie część z nich pracuje, a część jest bezrobotna, a
dodatkowo występują ograniczenia w zaciąganiu długów, ex post różnią się ze względu na zgromadzony
majątek. Prezentowany tutaj model opisany w pracy den Haana, Judda i Juillarda (2009) nieznacznie różni
się oryginału Krusella i Smitha (1998) tylko w jednym aspekcie. Zakłada się, że osoby bezrobotne otrzymują
zasiłek, który jest finansowany przez rząd z podatków obciążających pracę. W pierwotnej wersji modelu
osoby bezrobotne nie otrzymywały żadnego wynagrodzenia.
Przy opisie modelu stosowane są następujące oznaczenia. Dużymi literami oznaczono wielkości zagregowane mierzone per capita. Małe litery dotyczą zmiennych odnoszących się do pojedynczych jednostek.
Mając na uwadze czytelność wzorów, podobnie jak w pracy Krusella i Smitha (1998), zrezygnowano ze
stosowania subskryptów identyfikujących poszczególne podmioty, jak również momenty czasu. Zmienne
bez żadnych oznaczeń odnoszą się więc do momentu czasu t, a primem oznaczono zmienne w okresie t + 1.
1.1 Opis modelu
W modelu występuje reprezentatywne przedsiębiorstwo, które wytwarza jeden wyrób Y korzystając z
dwóch czynników produkcji: kapitału K oraz nakładów pracy Ll , gdzie L oznacza odsetek konsumentów
pracujących w całej populacji, natomiast l jest czasem poświęcanym na pracę przez jednostkę. W omawianym modelu l jest stałe i identyczne dla wszystkich konsumentów. Przedsiębiorstwo stosuje standardową
technologię opisywaną funkcją produkcji Cobba-Douglasa:
Y  ZK  ( Ll )1 ,
(1)
przy czym Z oznacza stochastyczny szok produktywności. Zakłada się, że kapitał oraz praca oferowane
przez poszczególnych konsumentów są jednorodne. Rynek tych czynników jest doskonale konkurencyjny,
więc stopa procentowa r oraz płaca w równe są odpowiednio:
K
r  ZK  
 Ll 

 1
(2)
,

K
w  (1   ) ZK   .
 Ll 

(3)
W modelu występuje również nieskończona liczba konsumentów, którzy różnią się ze względu na status na rynku pracy oraz zgromadzony majątek. Jednostki pracujące dostarczają w każdym okresie l jednostek pracy, za które otrzymują wynagrodzenie w wysokości wl . Jednostki bezrobotne otrzymują zasiłek
równy l , gdzie 0    1. W modelu występują ograniczenia w zaciąganiu zobowiązań – zakłada się, że
zgromadzony kapitał nie może być ujemny. Konsumenci dążą do maksymalizacji zdyskontowanego (współczynnik dyskontowy oznaczany przez β) oczekiwanego strumienia użyteczności, przy czym w podstawowej
wersji modelu przyjęto logarytmiczną funkcję chwilowej użyteczności:
u(c)  ln c .
(4)
W całej pracy zakładano również, że konsumenci czerpią użyteczność jedynie z konsumpcji. Dochody z
pracy oraz kapitału przeznaczają na konsumpcję lub zwiększenie zasobu kapitału. Ich ograniczenie budżetowe przyjmuje więc postać:


k '(1   )k  c  (1   )l    (1   ) w  kr ,
(5)
gdzie δ oznacza stopę deprecjacji kapitału, τ jest stawką podatkową, natomiast ε oznacza status konsumenta
na rynku pracy (1 jeżeli pracuje oraz 0 dla jednostki bezrobotnej).
Sektor rządowy uwzględnia się w modelu w bardzo ograniczonej formie. Jedynym jego celem jest finansowanie zasiłków dla bezrobotnych z podatków obciążających płace. Budżet sektora rządowego jest zbilansowany w każdym okresie, co oznacza, że spełniony musi być warunek:

 (1  L)
Ll
.
(6)
W modelu występują dwa stochastyczne zaburzenia. Zaburzenie zagregowanej produktywności Z oraz
indywidualny status na rynku pracy ε. Zakłada się, że oba opisywane są dwustanowymi łańcuchami Markowa. Możliwe stany zaburzenia produktywności oznaczane są jako Zb (recesja) oraz Zg (boom). Macierz
przejścia dla zaburzenia produktywności jest stała, natomiast macierz przejścia statusu na rynku pracy zmienia się w zależności od realizacji zaburzenia produktywności.
1.2 Kalibracja parametrów modelu
W podstawowej wersji pracy przyjęto takie same wartości poszczególnych parametrów jak w pracy
den Haana, Judda i Juillarda (2009). Zestawiono je w poniższej tabeli. Parametry dobierane były w taki sposób, aby odzwierciedlać charakterystyczne cechy gospodarki USA.
Tabela 1
Wartości parametrów modelu
Parametr
α
Wartość
0,36
Źródło: Opracowanie własne
β
0,99
δ
0,025
l
1/0,9
μ
0,15
Zb
0,99
Zg
1,01
W celu kalibracji parametrów opisujących stochastyczne zaburzenia przyjęto następujące założenia:
 Cykl koniunkturalny składa się z dwóch symetrycznych faz, które trwają średnio 8 kwartałów;
 Stopa bezrobocia w czasie recesji wynosi 10%, natomiast w okresie boomu jest to 4%;
 Przeciętnie okres pozostawania bez pracy trwa 2,5 kwartału w okresie recesji oraz 1,5 kwartału w czasie
boomu.
W efekcie macierz prawdopodobieństw przejścia dla obu zaburzeń łącznie przyjmuje postać:
0,35
0,03125
 0,525
0,03889 0,83611 0,00208
P
0,09375 0,03125 0,29167

0,00912 0,11589 0,02431
0,09325
0,12292 
.
0,58333

0,85069
Poszczególne stany w powyższej macierzy przejścia odpowiadają następującym parom stanów procesów Z
oraz ε: (Z = Zb, ε = 0); (Z = Zb, ε = 1); (Z = Zg, ε = 0); (Z = Zg, ε = 1).
2. Racjonalne oczekiwania oraz adaptacyjne uczenie się podmiotów w modelu
2.1 Racjonalne oczekiwania
Problem decyzyjny indywidualnego konsumenta w wersji z racjonalnymi oczekiwaniami można zapisać w formie równania Bellmana:
v(k ,  , Z , )  maxu(c)  Ev(k ' ,  ' , Z ' , ' ) |  , Z ,
c,k '


(7)
p. w. k '(1   )k  c  (1   )l    (1   ) w  kr,
(8)
'  H (, Z , Z ' ), c, k '  0.
(9)
W powyższym problemie v oznacza funkcję wartości konsumenta, E jest operatorem wartości oczekiwanej,
Γ reprezentuje rozkład majątku w populacji konsumentów, natomiast H jest funkcją opisującą ewolucję rozkładu majątku w czasie. Jednym z argumentów funkcji wartości v jest rozkład majątku Γ, który generalnie
jest obiektem o nieskończonej liczbie wymiarów. Niekoniecznie bowiem może być on jednoznacznie zdefiniowany skończoną liczbą parametrów lub momentów. W efekcie problem (7)-(9) jest trudny do rozwiązania. Rozkład majątku pojawia się jako argument funkcji wartości, bo od niego i decyzji poszczególnych jednostek zależy przeciętny poziom kapitału w kolejnym okresie, który z kolei determinuje wysokość płacy
oraz stopę procentową, a tym samym także przyszły dochód jednostki.
Krusell i Smith (1998) zauważyli jednak, że rozwiązanie problemu decyzyjnego konsumenta zależy
prawie wyłącznie od przeciętnego poziomu kapitału K, a nie od całego rozkładu. Jest tak dlatego, że decyzje
większości konsumentów są praktycznie liniowe ze względu na posiadany przez nich zasób kapitału. Własność tę nazwali przybliżoną agregacją (ang. approximate aggregation). Rozwiązanie problemu (7)-(9) można więc przybliżać rozwiązaniem problemu:
v(k ,  , Z , K )  maxu(c)  Ev(k ' ,  ' , Z ' , K ' ) |  , Z ,
c ,k '


(10)
p. w. k '(1   )k  c  (1   )l    (1   ) w  kr,
(11)
ln K '  b0b  b1b ln K , gdy Z  Z b ,
(12)
ln K '  b0 g  b1g ln K , gdy Z  Z g ,
(13)
c, k '  0.
(14)
Zakłada się więc, że konsumenci nie dysponują pełną informacją o rozkładzie majątku i jego dynamice, ale
obserwują przeciętny poziom kapitału i znają równanie opisujące jego dynamikę.
2.2 Algorytm Krusella-Smitha
Aby znaleźć rozwiązanie problemu (10)-(14) w wersji z racjonalnymi oczekiwaniami konieczne jest
znalezienie takich wartości parametrów b0b b1b, b0g oraz b1g, aby faktyczna dynamika zagregowanego kapitału zgodna była z równaniami ją opisującymi (11)-(12). Krusell i Smith zaproponowali w tym celu następujący rekurencyjny algorytm:
Krok 1: Przyjęcie startowych wartości wektora b ( 0)  [b0(b0) , b1(b0) , b0( 0g) , b1(g0) ] .
Krok 2: Numeryczne rozwiązanie problem (10)-(14) i wyznaczenie polityk c  c(k ,  , Z , K ) oraz
k '  k ' (k ,  , Z , K ) .
Krok 3: Symulacja modelu przy dużej liczbie konsumentów oraz okresów i wyznaczenie dynamiki przeciętnego poziomu kapitału K.
Krok 4: Na podstawie wysymulowanego szeregu oszacowanie parametrów wektora b (i ) .
Krok 5: Powtarzanie kroków 2-4 do uzyskania zbieżności procedury.
Krok 6: Ponowna symulacja modelu przy dużej liczbie konsumentów oraz okresów dla wyznaczonego w
krokach 1-5 wektora b i wyznaczenie charakterystyk opisujących rozkład majątku i zachowanie się pozostałych zmiennych w modelu.
Do numerycznego, przybliżonego rozwiązania problemu decyzyjnego indywidualnego konsumenta Krusell i
Smith zastosowali standardowy algorytm iteracji funkcji wartości. W niniejszej pracy wykorzystano procedurę iteracji równania Eulera związanego z analizowanym problemem decyzyjnym zaproponowaną w pracy
Maliar, Maliar, Valli (2009). Podobnie jak przy iteracji funkcji wartości, także tutaj wartości funkcji v oraz
polityk c oraz k’ są wyznaczane w wybranych punktach dyskretnej przestrzeni stanów.
Przykładowo, dla parametrów zawartych w tabeli 1 równania ruchu zagregowanego kapitału (12)-(13)
przyjmują postać:
ln K '  0,1238  0,9656 ln K , gdy Z  Z b ,
ln K '  0,1378  0,9632 ln K , gdy Z  Z g .
Rozwiązanie uzyskane przez zastosowanie omawianej procedury jest jedynie przybliżonym rozwiązaniem wyjściowego problemu (7)-(9) przy założeniu racjonalnych oczekiwań. Wydaje się jednak, że założenie o znajomości tylko równań ruchu zagregowanego kapitału jest zdecydowanie bliższe rzeczywistości niż
założenie o znajomości całego rozkładu kapitału i jego dynamice. Ponadto okazuje się, że w wersji przybliżonej założenie o racjonalnych oczekiwaniach w dalszym ciągu jest praktycznie spełnione, gdyż rzeczywista
dynamika zagregowanego kapitału opisywana jest prawie dokładnie równaniami (12)-(13), których parametry oszacowane są przy pomocy rekurencyjnej procedury opisanej powyżej [zob. Krusell, Smith (1998), s.
877-881].
W dalszych rozważaniach, właśnie to model przybliżony będzie uznawany za model z racjonalnymi
oczekiwaniami.
2.3 Adaptacyjne uczenie się
Punktem wyjścia dla implementacji schematu adaptacyjnego uczenia się w omawianym modelu jest
jego wersja przybliżona (10)-(14) z parametrami b równania dynamiki zagregowanego kapitału wyznaczonymi zgodnie z algorytmem Krusella-Smitha. Teraz jednak zakłada się, że konsumenci nie znają właściwych
wartości parametrów b, ale szacują je na podstawie obserwowanej dynamiki zagregowanego kapitału. Korzystają więc z poprawnie wyspecyfikowanych dwóch modeli w zależności od wartości zaburzenia produktywności. Jak to już zaznaczono we wstępie, przyjmuje się, że konsumenci są jednorodni ze względu na proces uczenia się, a więc, że w danym okresie cechują się takimi samymi ocenami parametrów b.
W pracy rozważane są dwa schematy rekurencyjnego szacowania parametrów: klasyczna metoda najmniejszych kwadratów oraz wykładniczo ważona metoda najmniejszych kwadratów [zob. Evans, Honkapohja (2001)]. W obu przypadkach proces aktualizacji oszacowań w danym okresie można zapisać jako:
S i ,t  S i ,t 1  g t x i ,t 1x'i ,t 1 S i ,t 1  ,

(15)

bˆ i ,t  bˆ i ,t 1  g t S i,1t x i ,t 1 yi ,t  x'i ,t 1 bˆ i ,t 1 ,
(16)
S i ,0 , bˆ i ,0  dane ,
przy czym dla klasycznej MNK g t  t 1 , natomiast przy wykładniczo ważonej MNK g t  g , 0 < g < 1. W
powyższych wzorach b̂ i,t oznacza oszacowania wektora parametrów bi w okresie t, gdzie i reprezentuje stan
zaburzenia produktywności w okresie t – 1, Si,t jest macierzą kowariancji tych oszacowań, xi,t = [1 Kt – 1]’
oznacza wektor wartości zmiennych objaśniających, natomiast yi,t = Ki,t reprezentuje zmienną objaśnianą.
Obecność indeksu i wskazuje, że powyższe wzory stosowane są osobno w sytuacji, gdy Zt – 1 = Zg oraz gdy
Zt – 1 = Zb.
W przypadku klasycznej MNK wszystkie obserwacje otrzymują takie same wagi. W efekcie zmiany
oszacowań w kolejnych okresach są coraz mniejsze i proces uczenia jest zbieżny punktowo. Tymczasem w
odniesieniu do wykładniczo ważonej MNK ostatnia obserwacja otrzymuje wagę równą 1, natomiast obserwacje sprzed t okresów (1  g) t . W rezultacie od pewnego momentu zmiany oszacowań w kolejnych okresach są średnio rzecz biorąc stałe i oszacowania parametrów wahają się wokół pewnego poziomu przeciętnego.
W pracy wykorzystano dwa sposoby ustalania początkowych wartości S i , 0 oraz bˆ i , 0 . W pierwszym
przypadku ustalane one były arbitralnie. W drugim natomiast symulowano realizacje zagregowanego kapitału w modelu z racjonalnymi oczekiwaniami, a następnie estymowano początkowe wartości biorąc pod uwagę pewną liczbę obserwacji z symulowanego szeregu.
W procesie rekurencyjnej estymacji parametrów uwzględniono mechanizm mający zapobiegać przyjęciu przez oszacowania wartości spoza określonego, sensownego przedziału (ang. projection facility). Przyję-
to bowiem, że wartości parametrów powinny spełniać warunki: b0  0 oraz 0  b1  1 . Jeżeli w danym
okresie warunki te nie byłyby spełnione, oszacowania nie były aktualizowane.
Procedura symulacji modelu z adaptacyjnym uczeniem się podmiotów składała się więc z następujących kroków:
Krok 1: Przyjęcie startowych wartości wektora b ( 0)  [b0(b0) , b1(b0) , b0( 0g) , b1(g0) ] .
Krok 2: Numeryczne rozwiązanie problem (10)-(14) i wyznaczenie polityk c  c(k ,  , Z , K ) oraz
k '  k ' (k ,  , Z , K ) .
Krok 3: Symulacja modelu przy dużej liczbie konsumentów jeden okres do przodu.
Krok 4: Wyznaczenie nowych wartości b (i ) zgodnie ze wzorami (15)-(16).
Krok 5: Powtarzanie kroków 2-4 przez określoną liczbę okresów T.
3. Wyniki
W badaniach symulacyjnych przyjęto następujące założenia. Symulowano 48 modeli liczących 10000
konsumentów. W pierwszym etapie symulowane były przy założeniu racjonalnych oczekiwań przez 5000
okresów, aby uzyskać stacjonarny rozkład majątku. Następnie dokonywano symulacji liczących 500 lub
1000 okresów z adaptacyjnym uczeniem się podmiotów przy różnych wartościach początkowych parametrów opisujących dynamikę zagregowanego kapitału. Różniły się one przede wszystkim implikowanym
przeciętnym poziomem zagregowanego kapitału danym wzorem:
ln K im
 b0b
1  b

  b 1b
 0g

1  b1g
gdy
Z  Zb
gdy
Z  Zg
.
(17)
Wstępne analizy pokazały, że właśnie różnice tych charakterystyk najsilniej wpływają na różnice w zachowaniu się modelu w wersji z racjonalnymi oczekiwaniami i adaptacyjnym uczeniem się.
3.1. Wyniki symulacyjne
Na poniższym rysunku przedstawiono trajektorie współczynników b0b oraz b1b dla modelu uczenia z
klasyczną MNK w sytuacji, gdy początkowe wartości parametrów szacowano korzystając ze wcześniejszych
wartości symulowanych przy założeniu racjonalnych oczekiwań. Na wykresach zaznaczono również średnią
wartość symulowanych współczynników oraz wartości przy racjonalnych oczekiwaniach (RE). Oszacowania
układają się mniej więcej symetrycznie względem wartości przy racjonalnych oczekiwaniach w związku z
tym przeciętny poziom oszacowań pokrywa się praktycznie z racjonalnymi oczekiwaniami. Uwzględnienie
większej liczby okresów pozwalałoby dokładnie zaobserwować zbieżność punktową oszacowań, jednak
zmniejszyłoby czytelność wykresów. Podobna sytuacja zachodzi dla ocen bˆ0 g oraz bˆ1g . Tempo zbieżności
jest wolne. Potrzeba ponad 10000 okresów, aby wszystkie oszacowania nie odchylały się więcej niż o 1% od
wartości odpowiadającej racjonalnym oczekiwaniom.
Rys 1. Symulowane trajektorie współczynników dla klasycznej MNK
Źródło: Opracowanie własne.
Aby ocenić w jakim stopniu adaptacyjne uczenie się wpływa na przewidywania modelu odnośnie rozkładu majątku, wyznaczono jego poziom przeciętny oraz współczynnik Giniego dla symulowanych rozkładów. Średnie wartości tych charakterystyk zilustrowano na rysunku 2. Wartości dla racjonalnych oczekiwań
oraz adaptacyjnego uczenia się w obu przypadkach praktycznie się pokrywają, a więc w sytuacji gdy wartości startowe średnio rzecz biorąc pokrywają się z racjonalnymi oczekiwaniami adaptacyjne uczenie nie ma
wpływu na rozkład majątku w modelu.
Rys. 2 Przecięte wartości średniego poziomu oraz współczynnika Giniego rozkładu kapitału
Źródło: Opracowanie własne.
Podobne rozważania przeprowadzono dla uczenia się z wykładniczo ważoną MNK przyjmując
g = 0,05. Trajektorie oszacowań dla okresu recesji ilustruje rysunek 3. Wartości nie są teraz zbieżne punktowo, ale cechują się stałymi wahaniami wokół poziomu przeciętnego pokrywającego się z wynikami przy
racjonalnych oczekiwaniach. W związku z tym także tutaj brak jest wyraźnych różnic pomiędzy racjonalnymi oczekiwaniami a uczeniem adaptacyjnym w zakresie rozkładu majątku.
Rys 3. Symulowane trajektorie współczynników dla wykładniczo ważonej MNK
Źródło: Opracowanie własne.
W drugim etapie badań rozważano sytuacje, w których początkowe implikowane średnie wartości zagregowanego kapitału w procesie uczenia systematycznie różniły się od wartości dla racjonalnych oczekiwań. W procesie uczenia uwzględniano jedynie wykładniczo ważoną MNK, z uwagi na fakt, że w tym
przypadku zmiany oszacowań są większe niż w przypadku klasycznej MNK i nie ulegają zmniejszeniu. Na
rysunku 4 zestawiono trajektorie oszacowań dla przypadku, kiedy startowy implikowany przeciętny poziom
zagregowanego kapitału jest średnio rzecz biorąc o 5% wyższy od wartości przy racjonalnych oczekiwaniach. Przedstawiono na nim także zachowanie się wartości implikowanego przeciętnego poziomu zagregowanego kapitału ln K imAL oraz dynamikę charakterystyk rozkładu kapitału w modelu.
Rys. 4. Wyniki dla modelu ze startowym implikowanym poziomem kapitału przekraczającym wynik dla
racjonalnych oczekiwań średnio o 5%
Źródło: Opracowanie własne.
Zarówno w odniesieniu do oszacowań jak i przeciętnego implikowanego poziomu zagregowanego kapitału widoczna jest zbieżność do wartości odpowiadającym racjonalnym oczekiwaniom, choć trajektorie te
wyglądają nieco inaczej dla okresu wzrostu i recesji gospodarczej, co ilustrują środkowe wykresy omawianego rysunku. Pomimo faktu, iż odchylenia do równowagi związanej z racjonalnymi oczekiwaniami utrzymują się dość długo, różnice w przeciętnym poziomie oraz współczynniku Giniego rozkładu kapitału nie są
znaczące, co pokazano na dolnych wykresach. Odstępstwa od racjonalnych oczekiwań skutkują krótkotrwałym spadkiem przeciętnego poziomu kapitału o mniej niż 10%, co pociąga również za sobą wzrost płacy do
około 3% oraz podobny spadek stopy procentowej. Początkowo spada również zróżnicowanie rozkładu kapitału. Po pewnym czasie jednak rośnie i pozostaje trwale wyższe niż w modelu z racjonalnymi oczekiwaniami. Odchylenia od wyników dla racjonalnych oczekiwań jednak nie przekraczają 2,5%.
Dość podobne rezultaty uzyskuje się w sytuacji, gdy startowy poziom implikowanego przeciętnego
zagregowanego kapitału jest niższy średnio o 5% od wartości odpowiadającej racjonalnym oczekiwaniom.
Wyniki te zaprezentowano na rysunku 5. Średni poziom kapitału tymczasowo rośnie do poziomu około 10%
wyższego, natomiast współczynnik Giniego przez długi czas jest niższy, choć różnica ta nie jest specjalnie
duża.
Rys. 5. Wyniki dla modelu ze startowym implikowanym poziomem kapitału niższym od wyniku dla racjonalnych oczekiwań średnio o 5%
Źródło: Opracowanie własne.
W pracy przeprowadzono podobne analizy jak na rysunkach 4 i 5 przyjmując w procesie uczenia
współczynnik g = 0,025, który oznacza wolniejsze zmiany szacowanych parametrów w czasie. W efekcie w
przypadku odchyleń startowych wartości implikowanego przeciętnego poziomu zagregowanego kapitału od
wartości odpowiadającym racjonalnym oczekiwaniom proces zbieżności zachodził wolniej. Jednak różnice
w przeciętnym poziomie oraz współczynniku Giniego rozkładu kapitału nie były znacząco różne od tych,
które przedstawiono powyżej. Wyniki nie ulegają także istotnym zmianom, jeżeli konsumenci cechują się
funkcją chwilowej użyteczności typu CRRA:
u (C ) 
C 1v  1
,
1 v
(18)
przy współczynniku względnej awersji do ryzyka v = 5.
3.2. Analiza reguł decyzyjnych
Aby wyjaśnić efekty obserwowane powyżej reguły decyzyjne konsumentów w sytuacjach, gdy równania ruchu zagregowanego kapitału (15)-(16) odbiegają od wersji przy racjonalnych oczekiwaniach. Zestawiono je na rysunku 6. Ilustrują one zależność pomiędzy aktualnym majątkiem k konsumenta, a inwestycjami netto k’ – k dla różnych wartości zagregowanego kapitału K oraz przy różnych poziomach implikowaneRE
AL
RE
go poziomu zagregowanego kapitału przy założeniu, iż b1AL
b  b1b oraz b1g  b1g . Omawiane reguły decy-
zyjne różnią się w zależności od stanu gospodarki oraz statusu na rynku pracy. Na wykresach przedstawiono
reguły uśrednione prawdopodobieństwami pojawienia się danego stanu.
Rys. 6 Reguły decyzyjne konsumentów dla różnych wartości zagregowanego kapitału K
Źródło: Opracowanie własne.
Na wszystkich trzech wykresach widoczna jest podobna sytuacja. Jeżeli konsument przewiduje wyższy poziom zagregowanego kapitału w stosunku do poziomu równowagi przy racjonalnych oczekiwaniach
ln K imAL  1,05 ln K imRE , wtedy jego inwestycje netto są niższe od poziomu przy racjonalnych oczekiwaniach,
a więc zasób kapitału w gospodarce będzie spadał. Przewidując niższy poziom zagregowanego kapitału,
inwestycje netto są wyższe niż przy racjonalnych oczekiwaniach. Widać więc brak zgodności pomiędzy
przewidywaniami, a podejmowanymi decyzjami. W efekcie, jeżeli konsumenci będą mogli korygować swoje
przewidywania odnośnie implikowanego poziomu zagregowanego kapitału poprzez uczenie się, będą to
robili zawsze w kierunku racjonalnych oczekiwań. Analogiczna sytuacja obserwowana jest w przypadku
różnic w samych współczynnikach autoregresyjnych.
Rys. 7. Reguły decyzyjne konsumentów dla różnych wartości zagregowanego kapitału K oraz K im
Źródło: Opracowanie własne.
Zestawienie na jednym wykresie na rysunku 7 reguł decyzyjnych dla różnych wartości K oraz K im
wyjaśnia obserwowane zmiany wskaźników Giniego. W przypadku przewidywań niższego poziomu zagregowanego kapitału, jego faktyczny poziom jest powyżej średniej, co sprawia, że konsumenci dysponujący
niskim zasobem kapitału, akumulują go, a zamożni – zmniejszają jego zasób (linia kropkowana), co skutkuje
mniejszym jego zróżnicowaniem pomiędzy konsumentami, co obserwujemy na rysunku 5. W przypadku
przewidywania wyższego poziomu kapitału (linia przerywana) zachodzi sytuacja odwrotna i zróżnicowanie
jednostek rośnie jak to ilustruje rysunek 4.
Podsumowanie
W pracy rozważano standardowy model DSGE z niejednorodnymi konsumentami, zagregowanym ryzykiem oraz ograniczeniami w zaciąganiu zobowiązań, w którym założenie o racjonalnych oczekiwaniach w
odniesieniu do dynamiki zagregowanego kapitału zastąpiono mechanizmem adaptacyjnego uczenia się podmiotów. Zakładano przy tym, że jednostki są jednorodne ze względu na proces uczenia.
Przeprowadzone analizy symulacyjne pozwoliły na wyciągnięcie następujących wniosków. Po pierwsze współczynniki równań dynamiki zagregowanego kapitału przy adaptacyjnym uczeniu się są zbieżne do
wartości odpowiadającym racjonalnym oczekiwaniom dla wszystkich sensownych wartości początkowych.
Największy wpływ na rozkład kapitału w modelach z adaptacyjnym uczeniem się ma implikowany średni
poziom zagregowanego kapitału. Jeżeli jest to taki sam jak jego odpowiednik w modelu racjonalnych oczekiwań, wtedy nie ma różnic pomiędzy oboma rodzajami modeli w odniesieniu do rozkładu kapitału. W przypadku gdy przewidywany poziom kapitału jest wyższy od wartości odpowiadającej racjonalnym oczekiwaniom przeciętny poziom kapitału w modelu tymczasowo spada w umiarkowanym stopniu, a jako zróżnicowanie mierzone współczynnikiem Giniego nieznacznie, ale trwale rośnie. Gdy przewidywany poziom kapitału jest niższy, obserwowana jest sytuacja odwrotna. Powyższe wnioski nie ulegają zmianie, jeżeli przyjmuje się różne szybkości procesu uczenia się, a także współczynnik awersji do ryzyka w chwilowej funkcji
użyteczności konsumentów.
Uzyskane wyniki wskazują, że uchylenie założenia o racjonalnych oczekiwaniach w omawianym modelu nie wpływa znacząco na jego przewidywania odnośnie zróżnicowania rozkładu majątku. Może jednak
powodować zmiany w przeciętnym poziomie kapitału, co przekłada się przede wszystkim na wysokość płacy oraz stopę procentową.
Literatura
Acedański J.: Ceny akcji w wybranych modelach DSGE z sektorem produkcji. Zeszyty Naukowe Akademii
Ekonomicznej w Katowicach. Studia Ekonomiczne nr 57, AE Katowice, 2009.
Acedański J.: Adaptive learning and wealth heterogeneity in a heterogeneous agents model with aggregate
uncertainty and borrowing constraints. Manuskrypt, UE Katowice, 2014.
Castaneda A., Diaz-Gimenez J., Rios-Rull J.-V.: Exploring the income distribution business cycle dynamics.
“Journal of Monetary Economics” 1998, Vol. 42(1).
Chang Y., Kim S.-B.: From individual to aggregate labor supply: A quantitative analysis based on a heterogeneous agent macroeconomy. “International Economic Review” 2006, Vol. 47(1).
Colander D., Howitt P., Kirman A., Leijonhufvud A., Mehrling P.: Beyond DSGE models. Towards an empirically based macroeconomics. “American Economic Review” 2008, Vol. 98(2).
Den Haan W., Judd K., Juillard M.: Computational suite of models with heterogeneous Agents: Incomplete
markets and aggregate uncertainty. “Journal of Economics Dynamics and Control” 2010, Vol. 34(1).
Evans G., Honkapohja S.: Learning and expectations in macroeconomics. Princeton University Press, Princeton and Oxford 2001.
Frydman R., Goldberg M.: Imperfect knowledge economics: Exchange rates and risk. Princeton University
Press, Princeton and Oxford 2007.
Gornemann N., Kuester K., Nakajima M.: Monetary policy with heterogeneous agents. Federal Reserve
Board of Philadelphia Working Paper No. 12-21, Philadelphia 2012.
Grabek G., Kłos B., Koloch G.: SOE PL 2009 – Model DSGE małej otwartej gospodarki estymowany na
polskich danych. „Materiały i Studia” nr 251. NBP, Warszawa 2010.
Hansen L., Sargent P.: Robustness. Princeton University Press, Princeton and Oxford 2009.
Kamiński B.: Podejście wieloagentowe do modelowania rynków. Metody i zastosowania. Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 2012.
Krusell P., Mukoyama T., Sahin A., Smith A.: Revisiting the welfare effects of eliminating business cycles.
“Review of Economic Dynamics” 2009, Vol. 12(3).
Krusell P., Smith A.: Income and wealth heterogeneity in the macroeconomy. “The Journal of Political
Economy” 1998, Vol. 106(5).
Maliar L., Maliar S., Valli F.: Solving the incomplete markets model with aggregate uncertainty using the
Krusell-Smith algorithm. “Journal of Economics Dynamics and Control” 2010, Vol. 34(1).
Wickens M.: Macroeconomic theory. A dynamic general equilibrium approach. Princeton University Press,
Princeton and Oxford 2008.
Streszczenie
W pracy rozważany jest standardowy model DSGE z niejednorodnymi konsumentami, ograniczeniami w
zaciąganiu długów oraz globalnym ryzykiem, w którym założenie o racjonalnych oczekiwaniach w odniesieniu do równania ruchu zagregowanego kapitału zastąpiono mechanizmem adaptacyjnego uczenia się
podmiotów. Zakładając jednorodność oczekiwań konsumentów, analizowana jest zbieżność procesu uczenia
się do racjonalnych oczekiwań oraz wpływ uczenia się konsumentów na rozkład majątku w modelu. Badania
symulacyjne wskazują, że przy dowolnych dopuszczalnych wartościach początkowych parametrów proces
uczenia zbiega do racjonalnych oczekiwań. Proces uczenia powoduje tymczasowe, umiarkowane zmiany
przeciętnego poziomu kapitału w modelu oraz niewielkie, ale trwałe zmiany jego zróżnicowania mierzonego
współczynnikiem Giniego.
Rational expectations and adaptive learning in heterogeneous agents DSGE models – summary
The paper studies a standard heterogeneous agents DSGE model with borrowing constraints and aggregate
uncertainty where the rational expectations assumption for the aggregate capital law-of-motion is replaced by
the adaptive learning scheme. Assuming homogenous expectations convergence of the learning process to
the rational expectations as well as the impact of learning on capital distribution across agents is analyzed.
Simulations shows that the learning process converges to rational expectations for all admissible initial values. It results in moderate but temporary changes in mean level of aggregate capital and small but persistent
changes in Gini coefficient for capital distribution.