Lista Zadan 2 Analiza Matematyczna 2 Pochodne cza

Lista Zadań 2
Analiza Matematyczna 2
Pochodne czastkowe funkcji. Różniczka funkcji.
‘
Zadanie 1. Obliczyć wszystkie pochodne czastkowe pierwszego i drugiego rzedu.
‘
‘
(1) u = x4 + y 4 − 4x2 y 2
(2) u = ln(x + y 2 )
(3) u = xy + xy
(4) u = arctan xy
(5) u = yx2
(6) u = xy
Zadanie 2. Napisać rózniczki pierwszego i drgugiego rzedu podanych funkcji.
‘
(1) u = xm y n
(2) u = xy
(3) u = p
exy
(4) u = x2 + y 2
Zadanie 3. Wykorzystujac rózniczke funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
‘
‘
(3) (1.04)3.01
(4) 1.002 · 2.0032 · 3.0043
(1) p
(1.02)4 · (0.97)2
(2) (1.02)2 + (1.97)3
Zadanie 4. Napisać równania plaszczyzn stycznych we wskazanych punktach.
(1) z = x2 + y 2 , M0 (1, 2, 5)
x
(2) z = arctan
, M0 (1, 0, π4 )
1+y 2
(3) z = xy , M0 (2, 4, 16)
(4) z = x2 + 2y 2 + 3xy, M0 (1, 2, 15)
Pochodne czastkowe funkcji zlożonych. Pochodna kierunkowa funkcji.
‘
Zadanie 5. Obliczyć podane pochodne czastkowe dla wskazanych funkji:
‘
(1) z 0 (x), z = F (x, y(x))
∂z ∂z
, ∂v , z = F (x(v), y(u))
(2) ∂u
(3)
(4)
∂z
∂x ,
∂z
∂u ,
∂z
∂y ,
∂z
∂v ,
z = (x2 + y 2 )e
z = F (t(u, v))
(x2 +y 2 )
xy
Zadanie 6. Obliczyć gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach.
p
(1) f = x2 − y 2 , M0 (1, 1)
(3) f = sin(π x2 + y 2 ), M0 (3, 4)
2
(2) f = x3 + y 3 , M0 (−1, 1)
(4) f = xy
, M0 (16, −3, 2)
z3
Zadanie 7. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
√
(1) f = x2 − y 2 , M0 (1, 1), l = ( 3, 1)
(3) f = ex+y , M0 (1, −1), l = (1, 1)
√
(2) f = √ 21 2 , M0 (1, 2), l = (1, − 3)
(4) f = (x3 + y 3 + z 3 )1/3 , M (3, 4, 5), l =
x +y
(−1, 1, 1)
p
Zadanie 8. Wyznaczyć pochodne czastkowe funkcji f (x, y) = |xy| w punkcie (0, 0). Sprawdzić,
‘
czy jest ona różniczkowalna w tym punkcie.
Zadanie 9. Pokazać, że funkcja
( xy
√
, dla x2 + y 2 6= 0
x2 +y 2
f (x, y) =
0,
dla x2 + y 2 = 0
ciagla w otoczeniu (0, 0) i ma ograniczone pochodne czastkowe. Czy jest ona różniczkowalna w
‘
‘
punkcie (0, 0)?
Zadanie 10. Pokazać, że funkcja
(
dla x2 + y 2 6= 0,
(x + y)2 sin √ 21 2 ,
x
+y
f (x, y) =
0,
dla x2 + y 2 = 0
ma w punkcie (0, 0) nieciagle pochodne czastkowe. Czy jest ona różniczkowalna w punkcie (0, 0)?
‘
‘
1