Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 12 Zadanie 1 Obliczyc

Analiza Matematyczna dla Informatyków
Lista 12
Zadanie 1 Obliczyć pola figur plaskich ograniczonych nastepuj
acymi
krzywymi:
,
,
2
2 2
2
2
a) x + y
=x −y ;
2
2
2
2
y2
x
b)
= x4 − y9 ;
4 + 9
2
c) x2 + y 2 = 2x3 ;
2
2
y2
x
d)
+
= x2 ;
4
9
e) x2 + y 2 = 2ax, x2 + y 2 = 2bx, y = x, y = 0, (0 < a < b).
Zadanie 2 Obliczyć objetości
bryl ograniczonych nastepuj
acymi
powierzchniami:
,
,
,
a) x2 + y 2 = 2ax, x2 + y 2 = 2az, z = 0, a > 0;
b) x2 + y 2 + z 2 = 2, z = x2 + y 2 ;
c) z = x2 + y 2 , z = x + y;
d) z = x2 + y 2 , x2 + y 2 = x, x2 + y 2 = 2x, z = 0;
p
e) z = x2 + y 2 , z = 2 − x2 − y 2 ;
f ) z = x2 + y 2 , z = 2 x2 + y 2 , y = x, y 2 = x;
g) z = x2 + y 2 + 1, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.
Zadanie 3 Obliczyć pole powierzchni cześci
plaszczyzny x + y + z = a wycietej
przez walec paraboliczny y 2 = ax
,
,
i plaszczyzne, x = a, a > 0.
Zadanie 4 Obliczyć pole powierzchni cześci
sfery x2 + y 2 + z 2 = 9 wycietej
przez walec eliptyczny
,
,
x2
9
+
y2
4
= 1.
Zadanie 5 Obliczyć mase, jednorodnej plyty ograniczonej krzywymi xy = 4, y 2 = 16x i x = 4.
Zadanie 6 Obliczyć objetość
bryly ograniczonej powierzchnia, (x2 + y 2 + z 2 )2 = z.
,
Zadanie 7 Obliczyć mase, kuli x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z, jeśli jej gestość
w punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do odleglości
,
tego punktu od poczatku
uk
ladu
wspó
lrz
ednych.
,
,
Zadanie 8* Dana jest bryla wycieta
walcem x2 + y 2 = Rx z kuli x2 + y 2 + z 2 = R2 (bryla Vivianiego). Obliczyć:
,
a)
objetość,
,
b)
pole górnej i dolnej podstawy,
c)
pole powierzchni bocznej,
d)
polożenie środka cieżkości
(jednorodnej) bryly Vivianiego.
,