ZLic_Zad3.

Zarzadzanie - zadania z matematyki - lista 3
Pochodne
3.1. Zbadac istnienie pochodnych nastepujacych funkcji w punkcie x0 = 0:
(
t2 sin 1t dla t 6= 0
.
0
dla t = 0
(
x2
dla x x0
3.2. Dobrac wspolczynniki a i b tak, aby funkcja f (x) =
ax + b dla x > x0
byla ciagla i miala pochodna w punkcie x = x0 .
3.3. Obliczyc p
z de nicji pochodne nastepujacych funkcji
a) f (x) = x, b) h(x) = sin x, c) r(t) = 10t .
3.4. Obliczyc pochodne funkcji:
p
tan(ln x) 2
x
x2
p
a) 2x5 10x4 + 5x3 , b) (x2 +a
2 )2 , c) (2x+ x)2 , d) ( cos x ) .
3.5. Obliczyc pochodna funkcji
p odwrotnej do funkcji f (x) = x tan x dla x 2 [0; =3] w
punktach x1 = =4 i x2 = =(6 3). Czy punkt x3 = 1 nale_zy do dziedziny funkcji odwrotnej
0
f 1 ? Dlaczego nie potra my podac wartosci (f 1 ) (1)?
3.6. Korzystajac z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyc pochodna funkcji
a) f (x) = arctan x, b) h(y) = log a y.
3.7. Obliczyc pochodne funkcji:
p
2
3
a) f (x) = arcsin 11+xx2 , b) h(y) = earcsin y +1 , c) g(z) = log 3 [log 5 (log 7 z)].
3.8. Obliczyc pochodne funkcji:
z
a) f (x) = (sin x)cos x , b) h(z) = z z .
3.9. Obliczyc pochodna n-tego rzedu dla funkcji:
a) f (x) = sin x, b) h(x) = eax , c) g(t) = am tm + am 1 tm 1 + ::: + a1 t + a0 .
3.10. Udowodnic wzor Leibniza:
2
3
a) f (x) =j x j, b) h(y) =j y j y, c) g(x) = x , d) u(t) =
(n)
[f (x)g(x)]
=
n
X
n
i
i=1
!
f (n
i)
(x)g (i) (x):
Wskazowka: zastosowac metode indukcji matematycznej.
3.11. Koszt C(x) i przychod R(x) przy produkcji x jednostek towaru sa dane zale_znosciami
C(x) = x2 + x + 5, R(x) = 9x .
a) Przy jakim poziomie produkcji "marginalny" koszt C 0 (x) jest rowny "marginalnemu"
przychodowi R0 (x) ?
b) Jaki jest zysk P (x) = R(x) C(x) przy poziomie produkcji, przy ktorym "marginalny"
i "marginalny"
zysk P 0 (x) jest rowny 0 ? Jaki jest wtedy zysk jednostkowy U (x) = P (x)
x
zysk jednostkowy U 0 (x) ?
1