Dużą rolę w rozwoju techniki odegrały układy automatycznego

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I STOSOWANA 3, 14 (1976) P R Z Y K Ł A D B A D A N I A D O K Ł A D N O Ś CI W P R Z Y P A D K U J Ó Z E F N I Z I O Ł , L I N I O W E G O U K Ł A D U D Y N A M I C Z N E G O N I E S T A C J O N A R N Y M N A R C Y Z K O N D R A C I U K ( K R A K Ó W ) Wstęp Dużą rolę w rozwoju techniki odegrały układy automatycznego sterowania. W ukła­
dach tych moż na wyróż nić obiekt regulacji oraz regulator, który może działać na obiekt poprzez wejś cia x ,x , ...,x„. Wyjś cia obiektu y ,y ,У з , У т bę dą mniej lub wię cej róż nić się od założ onego przebiegu procesu y , ~y , y , ...,y . Problem optymalnego ste­
rowania polega na tym, by wyjś cia obiektu y ,y ,y , ...,y róż niły się minimalnie (w okreś lonym sensie) od ż ą danyc
h przebiegów }>i,y ,y , • • • ,}>,„•
Do tego celu moż na dą ż ć y w róż ny sposób: 1) poprzez odpowiedni dobór funkcji x , x ,x , x , 2) przy znanej strukturze układu poprzez dobór jego parametrów (niepełna synteza), 3) poprzez dobór struktury układu, czyli dokonanie pełnej syntezy. Wymuszenia, które działają na dany układ moż emy podzielić na uż yteczne, czyli sterują ce, nazywane sygnałami, i zakłócają ce, zwane szumami. Zakłócenia nie mogą być okreś lone w sposób jednoznaczny w sensie deterministycznym i należy je traktować jako procesy stochastyczne. W niniejszej pracy zajmiemy się jedynie szczególnym przypadkiem pełnej syntezy. Rozważ ać bę dziemy układ jednokanałowy, tzn. układ dynamiczny z jednym wejś ciem i jednym wyjś ciem. Dokładność dynamiczną takiego układu moż na zdefiniować nastę pują co
: niech wej­
ś cie ma postać X(t) = U(t) + V(t), gdzie U(t) jest sygnałem, V(t) szumem; Z(t) niech bę dzie ż ą dany
m wyjś ciem. Wprowadź my pewną funkcję zwaną funkcją strat. Funkcją wagi nazywać bę dziemy pewną nieujemną funkcję dwóch zmiennych Y(t) i Z(t), gdzie t
2
x
x
2
2
l
3
2
m
3
m
2
t
2
3
3
n
Y{t) = L[U(t) + V(t)), zaś L jest pewnym operatorem liniowym. Funkcja wagi przyjmuje postać W = W{Z(t),L[U(t) + V(t)]}. Wartość oczekiwana funkcji wagi nosi nazwę funkcji strat. Jako kryterium dokładnoś ci dynamicznej układu przyjmiemy minimum funkcji strat. Przy przyję ciu funkcji wagi w postaci 2
W = k{Z(t)­L[U(t)+V(t)]} = ke
2 J . NIZIOŁ, N . KONDRACIUK 362 funkcja strat przyjmuje posiać 00 2
/ 2
<e (/)> = e p(e,t)de. — 00 Symbolem < •> oznaczać bę dziemy wartość ś rednią procesu stochastycznego po zbiorze realizacji. Jako kryterium dokładnoś ci dynamicznej układu przyjmiemy warunek Д <e (r)> = 2
ter = min, gdzie т jest czasem obserwacji układu dynamicznego. Dodatkowo ż ą damy
, by funkcja oczekiwana róż nicy Y(t) — Z(t) była toż samoś ciow
o równa zeru. Ż ą dan
y proces na wyjś ciu ma postać Z ( / ) = N[U(t)], gdzie A'jest znanym, narzuconym przez nas operatorem. 1. Dokładność dynamiczna układu jednokanałowego w przypadku niestacjonarnym Zakładamy, ż e: 1) operatory N i L są operatorami liniowymi, 2) funkcje U(r) i V't) są funkcjami przypadkowymi, których nadzieje matematyczne są równe zeru, 3) istnieją momenty drugiego rzę du procesów U(t), V{t) i znane są funkcje korela­
cyjne K {ti, t ), K 't , t ) i K {ti, t ), gdzie symbolami # „ ( / , , t ), K„('i, t ) odpowiednio oznaczono funkcje autokorelacyjne procesów U(t) i V(t), zaś symbolem K (t t ) ozna­
czono funkcję korelacji wzajemnej procesów U(t), V(t), 4) czas obserwacji rozpatrywanego układu jest skoń czony i równy T, 5) proces X{t) jest całkowalny w sensie ś redniokwadratowym. Przy przyję tym kryterium dokładnoś ci dynamicznej dostajemy warunek u
2
v
x
2
uv
2
2
2
uv
lt
2
T (1.1) (|f 2
l(t,t )X(t )dt ­Z(t)] ) 1
1
i
= min. o Wprowadzona funkcja przejś cia l(t, t ) zwią zana jest z operatorem L zwią zkiem t
T f lit^JXit^dti = L[X(t)]. o Znalezienie optymalnej funkcji przejś cia /(/,/)) sprowadza się do rozwią zania zagadnie­
nia z rachunku wariacyjnego. W koń cowym rezultacie l(t, t,) powinna spełniać równanie całkowe postaci [1] t (1.2) J l(t, t )K (ti, 2
x
t )dt — R (ti, 2
2
xz
t) — O, 1>0, O o gdzie K Qi, t ) jest funkcją autokorelacyjną procesu na wejś ciu, zaś R (ti, t ) — funkcją korelacji wzajemnej wymuszenia X(t) i ż ą daneg
o wyjś cia Z(t). x
2
xz
2
363 P RZYKŁAD LINIOWEGO UKŁADU DYNAMICZNEGO Znalezienie optymalnej funkcji /(/, t ) w o g ó l n y m przypadku jest zagadnieniem bar­
t
dzo trudnym. Prekursorem w tej dziedzinie m o ż na nazwać K O Ł M O G O R O W A [2]. Problem rozwią zany przez niego dotyczył cią gu przypadkowego, stacjonarnego. Zagadnienie syn­
tezy w uję ciu probabilistycznym znacznie ogólniej postawił WIENER [4]. P o d a ł on m e t o d ę rozwią zania równania c a ł k o w e g o (1.2) przy nastę pują cyc
h założ eniach : 1) procesy X(t) i Z(t) są stacjonarne, 2) ich nadzieje matematyczne są równe zeru, 3) czas obserwacji układu dynamicznego T­* c o . Ogólniejszy przypadek rozwią zali Z A D E H i R A G A Z Z I N I [5] zakładając nadzieje mate­
matyczne w postaci w i e l o m i a n ó w p o t ę g o w y ch zmiennej t oraz zakładając s k o ń c z o ny czas obserwacji T. SHINBROT [6] podał d o ś ć prosty s p o s ó b uzyskania rozwią zania równania (1.2) w pew­
nym s z c z e g ó l n y m przypadku, mianowicie wtedy, kiedy funkcje K (t , t ) i R (.t , t ) x
x
2
xz
x
2
m o ż na przedstawić w postaci s k o ń c z o n y h
c sum i l o c z y n ó w funkcji każ dej ze zmiennych t\ i t , tzn. kiedy prawdziwe są równoś ci: 2
m (1 ­3) K (t , t ) = Ł <p,( ) • y,j(t ), x
t
2
tl
2
tt>t , 2
m gdzie cpj(t), y>j(t) i %j(t) są deterministycznymi funkcjami czasu; oraz kiedy ponadto spełniony jest warunek m (1­5) Ł (PjitO­fAtd­yjitJ­fjiti) = w(t ­t ), x
2
tzn. funkcje q>j(t) i y>j(t) są takie, ż e suma róż nic stoją ca po lewej stronie równoś ci (1.5) jest funkcją róż nicy (/, —1 ). 2
P o n i e w a ż funkcja korelacyjna K (t , t ) jest symetryczna, z równoś ci (1.3) wynika, ż e x
1
2
m (1.6) K {t , t ) = V <pj(t )• wAh), x
t
2
2
t^t : 2
Celowe jest rozpatrywanie p r o b l e m ó w z ograniczeniami (1.3), (1.4) i (1.5), p o n i e w a ż szeroka klasa zadań z zakresu sterowania automatycznego spełnia te warunki. 2. Wyznaczenie optymalnej funkcji przejś cia dla układu całkują cego W zagadnieniach praktycznych, przy badaniu dokładnoś ci u k ł a d ó w dynamicznych, najczę ś cie
j spotykamy się z problemami ekstrapolacji, filtracji, róż niczkowania czy też ich kombinacji. W literaturze nie spotyka się p r o b l e m ó w z w i ą z a n y ch z przypadkami, gdy operator N jest operatorem całkowania. Wiadomo, że jeż eli na dowolny c a ł k o w a l n y proces stochastyczny p o d z i a ł a m y operatorem całkowania, uzyskamy proces niestacjonarny. W tym przypadku bę dziemy więc zawsze mieć do czynienia z problemem doboru opty­
364
J . NIZIOŁ, N . K ONDRACI UK malnej funkcji przejś cia w uję ciu niestacjonarnym. W praktyce, z takimi zagadnieniami, gdzie operator N jest operatorem całkowania, spotykamy się w przypadku ż yroskopu całkują cego przyspieszenie liniowe obiektu, na którym jest on umieszczony [3]. Ż yrosko
p taki spełnia funkcję przyrzą du mierzą cego prę dkoś i c liniowe samolotów czy rakiet poprzez całkowanie ich przyspieszeń. Ze wzglę du na losowy charakter sił działają­
cych na poruszają cy się samolot czy rakietę, przyspieszenia tych ostatnich są typowo procesami stochastycznymi. N a podstawie badań eksperymentalnych [1] wiadomo, że są to procesy na ogół stacjonarne, których funkcje korelacyjne najczę ś cie
j są aproksymowane funkcjami postaci: a) 2
K (t ,t ) = x
1
cr e­'^­^, 2
b) 1
= o­I e ~ * c o s / 3 ( > 2 ­ O . c) l
K (ti,t ) x
= ale­"^­ ^cosfJ(t ­t ) 2
2
+ 1
~sinft\t ­t \, 2
t
P gdzie of, a, /? pewne stałe. D l a wszystkich tych funkcji oraz całej szerokiej klasy innych, jak i dla operatora cał­
kowania spełnione bę dą warunki (1.3) i (1.4) dla funkcji korelacyjnych K (t , t ), R (t!, t ), jak i warunek (1.5). Zajmiemy się znalezieniem optymalnej funkcji przejś cia w przypadku ogólnym, jednak przy ograniczeniach (1.3) ­ (1.5). D l a uproszczenia zapisu posłuż ymy się symboliką rachunku wektorowego i zbiory funkcji cpj(t), ifij(ł) i J j / O i j— 1 , 2 , 3 , . . . , w oznaczymy odpowiednio jako wektory x
t
2
xz
2
m <p(t), f{t) i x(t). W tym przypadku sumy postaci 2J TJ fj moż na traktować jako iloczyn skalarny wektorów tp i ip. Wtedy (1.3), (1.4) i (1.5) moż na zapisać w postaci: (2.1) Kxdi, t ) = (p(t])­y>(t ), t,>t , 2
2
(2.2) R (ti,1i) (2.3) 9(t )­yi(t )­cp(Q­yi(t ) = Wi)'X(h), xz
1
2
2
'i < '2, = 1
w(t ­t ). i
2
Przyjmujemy, że szukane rozwią zanie równania (1.2) moż na przedstawić w postaci l{t,t ) = (2.4) [T(t)­y(t )r(t­t ), 2
2
2
gdzie /(/) i y(t) są wektorami o współrzę dnych li(t), l (.t), 2
l„(t) i yi(t),y (t), 2
У з (0, •••> У т {>), a funkcja I{t) jest funkcją skoku jednostkowego, tzn. 0, (2.5) / ( 0 = t<0, 1, o o , i zapewnia zerowanie się funkcji l(t, t ) dla t < t , czyli realizowalność fizyczną układu. Moż na tak okreś lić wektory T{t) i y(t), że wyraż enie (2.4) spełnia równanie (1.2). W tym celu przepisujemy równanie (1.2) uwzglę dniając warunki (2.1), (2.2) i (1.6). Otrzy­
mamy 2
2
'i (2.6) ' f
Hh)­X(t) = / /(?, t )[<p(t ). (t )}dt +
2
i
W
2
2
l(t, f
2
) [ ^ 2 ) ­ V ( ' . ) ] ^ 2 . 9
365 P RZYKŁAD LINIOWEGO UKŁADU DYNAMICZNEGO Ostatnią całkę przedstawiamy jako róż nicę dwóch całek w przedziałach od 0 do t i od 0 do . Więc u (2­7) i y>(ti)­X(0= f l(t,
o hm t ).y>(t2)]dt 2+ J / ( М
1
а Ш
/а )­^)]*,­
o 'i ­ / K', r ) [ ^ ( ' 2 ) ­ V ( ' l ) №
2
. 0 Nastę pnie przenosimy drugą całkę z prawej strony na lewą i wycią gamy przed nawias wspólny czynnik ' (2­8) f(tĄ x(t)­
t i j' Kt, t )­Ę (t
5 )dt \ = f l(t, / ) ^ ( Л ) ^ ( ? 2 ) ­ ^ ( г ) ^ ( / , ) ] Л 2 . d d 2
2
2
2
2
Wstawiając (1.3) i (2.4) otrzymamy: ' (2.9)
' i v*('i){ź (0
­ f [/(0­r(^)]­^ )A } = 7(0 f 2
2
­Г
3
)Л
2
. o d Po obu stronach ostatniej równoś ci są iloczyny funkcji zmiennej i funkcji zmiennej t. Równanie to bę dzie spełnione jeż eli porównamy te funkcje parami, tzn.: ', (2.10) x {t )= f P
l
y(t )w(t ­t )dt , 2
t
2
a
o t /"(0+ / [7(0­y(t)]­q>{t)dt (2­Й ) 2
2
2
=x(0. o Funkcja wektorowa y>(r,) podana wzorem (2.10) wyraża się poprzez splot funkcji y(t) i w{t). Zakładamy istnienie transformat Laplace'a ^(s), F(s) i W(s), funkcji xp(t), y(t) i w(t); ponadto zakładamy, że W(s) ф 0. Stosując przekształcenie Laplace'a do rów­
nania (2.10) otrzymamy Równość ta, jako równość dwóch wektorów, bę dzie spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współrzę dne tych wektorów bę dą sobie równe. W ten sposób znajdziemy transformaty Laplace'a wszystkich m współrzę dnych yj(t) wektora y{t) i stosując od­
wrotne przekształcenie Laplace'a, okreś limy wszystkie nieznane funkcje yj(t), j = 1 , 2 , 3 , ..., m. Aby obliczyć współrzę dne wektora l(t), przepiszemy równanie (2.11) w postaci ukła­
du m skalarnych równań m (2.13) 3 Mechanika teoretyczna Ł [ajM + djHlj(t) = i(t), X
i = 1,2, .... w , 366 J . NI ZI OŁ, N . KONDRACI UK gdzie i (2.14) a (t) = J' о yj(t )<Pi(t2)dt , Jt
2
2
a fj,­,­, jak wiadomo, równa jest zeru, gdy j ф i, i jest równa jednoś ci, gdy j = 1. W przypadku gdy układ (2.9) jest układem niesprzecznym, z (2.13) wyliczamy funkcje lj (t ) i podstawiając je do (2.4) otrzymamy funkcję wagi optymalnego układu dynamicz­
nego okreś lonego równaniem całkowym (1.2). Jeż eli układ (2.9) jest sprzeczny, oznacza to, że funkcja l(t, t ) została założ ona nie­
właś ciwie. W tej sytuacji należy przyjąć ją w innej postaci, mianowicie: 2
l{t, t ) = l (t).y{t )I{t ­t )+ (2.15) 2
2
Yh (t)óM(t­t ), 2
k
2
к gdzie h (t) są dowolnymi funkcjami wybranymi tak, aby wyraż enie l(t) uczynić moż li­
wie najprostszym; 6 (t—t ) jest A>tą pochodną funkcji ­Diraca. Jeś il funkcja wagi jest postaci (2.15), to równanie (2.9) przyjmie postać: k
{k)
A
2
< (2.16)
i y( * i )(z ( 0 ­ / [Kt)­Y{h)mi)dt ­ о £h (t) 2
/ ^\t­t )­ę {t)dt ) k
2
к 2
2
= o (1 ' l = / T(t)­r(t )w( ­t )dt + 2
tl
2
£'h (t)j 2
d^it­Qwity­Qdu. k
О к
6 Ostatnia całka jest równa zeru, ponieważ ty < t . Natomiast drugą całkę moż na łatwo obliczyć korzystając z własnoś ci funkcji o­Diraca. Zakładają c, że cp(t) jest klasy C otrzy­
mujemy K
(2.17) / d«\t­t )cp(t )dt 2
2
= 2
co^(t). o Uwzglę dniając poczynione wyż ej uwagi równanie (2.16) napiszemy w postaci (2.18) v('i)fr(')­ ( W)­y<t )\­cp{t )dt ­ 2
2
£h (t)­tp«\t)} 2
k
Ó = к 'i ­ 7 ( 0 / y X /a)łf('i.­.*a)*2. o Stąd łatwo widać, że równoś ci (2.10) i (2.11) przyjmą odpowiednio postać: 'i y('i) = / y<J )w{t ­t )dt , o (2.19)
2
1
2
2
w ф 0, ' (2.20) l(t)+
f
[l(t)­y(t )].cp(t )dt + 2
2
2
%Ш
¥*0) = *(')• 367 P R Z Y K Ł A D LINIOWEGO U K Ł A D U D Y N A M I C Z N E G O Macierzowa forma układu równań (2.20) bę dzie identyczna z (2.13), jeż eli wektor z elementami Xj(0 zastą pić wektorem o wyrazach dj(t), gdzie (2­21) dj't) = {t)­ %h {t)q,f{t). X]
k
к Dobierając odpowiednio funkcje h (t), z układu (2.20) obliczymy szukane funkcje k
'A'). 3. Przykład Jako przykład znajdziemy optymalną funkcję przejś cia układu dynamicznego, całku­
ją cego funkcję przypadkową X{t). Układ jest obserwowany przez skoń czony okres czasu od 0 do T. Funkcja korelacyjna K (r) jest okreś lona wzorem x
2
(3.1) K {x) = a e­'M, (X(t)) = 0. x
W tym przypadku niestacjonarność zagadnienia, jak zostało nadmienione w rozdz. 2, jest zwią zana z operacją całkowania. Szukana funkcja wagi jest okreś lona równaniem (1.2) , gdzie H 2 2 <A?­«<'i­*><« = ­ —е ­"* /
+ —e­«<«i­»a>, a /4 < r , . a o Widać stą d, że jeż eli założ ymy: ­
<pl(t) = o, <p (t) = ae­", vi(0 = 1, У >г О ) = ae"', 2
2
o­ a *i(0 = .1 X2(0 = a to spełnione są warunki (1.3) i (1.4) dla m = 2. Mianowicie: К (1,, t ) = 0• 1 + o­e­"' • е е *'*, х
h > t , 2
(3­3)
2
a
R~(h ,t )= 2
2
a «­«*» • 1 + ­e­«* a a • oć *, h < t , 2
równość (1.5) zaś ma postać (3.4)
ae
­«i. p2­ ­<*i. ?H af
ae
af
= с т
2[ ­«с '1­'2>_ «<'1­«2>]
е
е
= w
( t ­ t ) . t
2
Stosując przekształcenie Laplace'a do funkcji fj(t), j = 1,2 i w(t) otrzymamy Vx(s) = s 1
з « = — , s—a. ^) = z
a —i­
4 368 J . N I Z I O Ł , N . K O N D R A C I U K Zgodnie z (2.12) transformaty Laplace'a funkcji y ( / ) i y ( 0 mają postać t
A CO ­
2«a s '
2
F
i
(
s
)
2
a + s ~ ~ l ­,,r • Obliczając oryginały, otrzymamy: gdzie t > 0 i d(t) jest funkcją ó­Diraca. Aby obliczyć funkcje / ( 0 i / ( 0 » należy rozwią zać układ równań (2.13). W tym celu obliczamy współczynniki а #(0> Uj = 1,2, według wzoru (2.14) Ł
2
c ( 0 = J o Л
o­
= 0, u
2
« 2 i ( 0 = J o dt = o , 2
«22(0 = J Я 12 С )
2 ^ ^ ­ i ^ > ( / 2 ) = J 2cr 2
at
ae­ ^dt = ­1, 2
2acr 2o­
Układ (2.13) ma postać: Л (0 = (3.5) 1 Łatwo zauważ yć, że układ równań (3.5) jest sprzeczny. Zagadnienie to moż na rozwią zać, jeż eli założ ymy, że / ( 0 = 0 i jeż eli bę dziemy po­
2
szukiwać funkcji przejs'cia w postaci (2.15). Obliczamy dj(t), j = 1,2 rfi(0 = d (t) = ­ е ­
2
M
~—e­ , А
,
­ / 7 ( 0 о ­ е ­ ' + А
а
0
1
(0о ­а е ­"­Л
2
2
3
(0о ­а е ­'"+/г з (0о ­а с "°"­
P RZYKŁAD LINIOWEGO UKŁADU DYNAMICZNEGO 369 A b y rozwią zanie uczynić prostszym założ ymy, że h (t) = 0, rуwnań (2.20) przyjmie postać: к ^ 1. Wtedy układ k
~ ' r " ­ / i ( ' 0 = la ­e­«­h (t)cre­«. 0
a Rozwią zując ten układ rуwnań znajdziemy Ao(0 = 2­e­
2a « 0 = — — . Wstawiając obliczone niewiadome do (2.15) otrzymamy impulsową funkcję przejś cia rozpatrywanego układu 2—e~" 1 1­
2 ~ ~2a Ku h) = Minimalną wartość ś rednią błę du kwadratowego moż na obliczyć według wzoru г 2
<Ј (»>nun = K {1, 0 ­ f /(/, t )R (t ,t)dt . Z
1
xz
l
1
ó Otrzymamy: 2
2
<e (0>mm = ^ ­ [ а / + ­ « Ч
a 1 ] ­ ^ ­ ­ " ' Г [ a ­ ^ f r ) ­
2or J o­
е
z
е
Г 2
a
, 1
­ 2 o e e ' < 5 ( / ­ / ) + a у ( r ­ ) ] ( l ­ ^ ) d t ­ — ^ { l ­ e ^ ) e r ­ j 1
f l
[а ­д ^Ц Л ­
1
2 a
7
2
T
­ 2ae"'d(t ­t,) + a<5(/ ­ /,)] e ­ » A = y ­ y [4a/ + «r"'(9 + e"­" ) ­ <r "(2 + at) ­ e­" + 2]. t
Literatura cytowana w tekś cie 1 • И
. Б . Ч Е Л П А Н О В , О п т и м а л ь н а я о б р а б о т к а с и г н а л о в в н а в и г а ц и о н н ы х с и с т е м а х , Н а у к а , М
о с к в а 1967. 2. А
. Н
. К О Л М О Г О Р О В , И н т е р п о л и р о в а н и е т е л ь н о с т е й , И з в . А
Н
С С С Р , М
3. J . NIZIOŁ, Dynamika ż yroskopów и э к с т р а п о л и р о в а н и е с т а ц и о н а р н ы х с л у ч а й н ы х п о с л е д о в а ­
а т е м . , 1 (1949). ze szczególnym uwzglę dnieniem ż yroskopu całkują cego
w nieliniowym uję ciu deterministycznym i probabilistycznym, Zeszyty Naukowe Polit. Krakowskiej, 1 (1975). 4. N . WIENER, Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time, Series John Wiley, 4 (1949). 5. L . Z ADEH, I. R . R AGGAZZI NI , An extension of Wiener's theory of prediction, J. Appl. Physics, 21 (1950). 6. M . SHINBROT, On the integral equation occuring in optimisation theory with nonstationary inputs, J. Mathem. and Physics, 1, 36 (1957). 370 J . N I ZI OŁ, N . K ONDRACI UK Р
И С С Л Е Д О В А Н И Е Т О
Ч Н
О
е з ю
м
е С Т И Л И Н Е Й Н О Й Д И Н А М
И Ч Е С К О Й С И С Т Е М
Ы
В Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н О М С Л У Ч А Е Ц е л ь ю р а б о т ы я в л я е т с я о п р е д е л е н и е о п т и м а л ь н о й в е с о в о й ф у н к ц и и д л я д и н а м и ч е с к о й с и ­
с т е м ы в н е с т а ц и о н а р н о м с л у ч а е , к о г д а а в т о к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я K (t x
Д Г (0 а т а к ж е к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я R (t xz
ly
ly
t ) с и г н а л а н а в х о д е 2
t ) в х о д а X(t) и з а д а н н о г о в ы х о д а Zif) и м е ю т в и д 2
т K (t„ t ) = Ł x
2
4>j (t,)Vj (t ), ' i > 2
t , 2
7=1 m Rx:(t t ) = u
Xj(.'>)V>j('z), ' l > t , 2
2
7=1 г д е <pj(t), y>j(t), Xj0) н е к о т о р ы е з а д а н н ы е ф у н к ц и и . П р е д п о л а г а е т с я , ч т о в ы п о л н я е т с я у с л о в и е т Z l< Pj( .li) V> j( h ) ­4 > j( .t *) VjVi) ] = w ( t ­t ) . t
2
7=i Р е ш е н п р и м е р , в к о т о р о м н а й д е н а о п т и м а л ь н а я в е с о в а я ф у н к ц и я д и н а м и ч е с к о й с и с т е м ы , и н т е г р и ­
р у ю щ а я с л у ч а й н у ю ф у н к ц и ю X(t) ( в и д к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и К
2
х
(г
( х ) = а е ­<* >, м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е р а в н о н у л ю ) , к о г д а в р е м я н а б л ю д е н и я с и с т е м ы я в л я е т с я к о н е ч н ы м п р о м е ж у т к о м ' б (0, Т ). S u m m a r y E X A M P L E O F I N V E S T I G A T I N G T H E A C C U R A C Y O F A L I N E A R D Y N A M I C S Y S T E M IN A N O N S T A T I O N A R Y C A S E In the present paper is discussed a method of calculating the optimal transfer impulse function for dynamic system in a nonstationary case, if the signal's autocorrelation function K (ti,t ) x
Л "(') and the intecorrelation R Ui, xz
2
at the input t ) between the input X(t) and the required output Z(t) have the 2
following special form m KxOi, t ) = 2<Pj(ti)Vj(h), ' i 5= t , 2
2
7=1 m Rxziti, t ) = J T XjUi)Vj(h), ' i 3* t , 2
2
7=1 where <pj(t)> VjO)
a n
d Xj(') stand for certain scalar functions. Moreover we presume the following con­
dition to be satisfied m J Ј l4 > j{ t i) 4 > j( .h ) ­< Pj( .h ) y > j( t i) ] = ч ' С . ­ ' г ) . A n example is given of calculating the optimal transfer function for a dynamic system, which integrates 2
а
г
the stochastic function X(t) (the autocorrelation function K (j) — <т е ­ < > and its mathematical ex­
x
pectation are zero), in the case when the system is observed for a finite interval of time ' e (0, T). POLITECHNIKA KRAKOWSKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 20 sierpnia 1975 r.