płaskie fale harmoniczne i dyfuzja w ciele stałym

M ECH AN IKA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3, 18 (1980)
PŁASKIE F ALE H AR M ON I C Z N E I D YF U Z JA W C IELE STAŁYM
JAROSŁAW STEFANIAK, JANUSZ JANKOWSKI (POZN AŃ )
1. Sformuł owanie zagadnienia
Punktem wyjś cia rozważ ań są równania róż niczkow
e dla termodyfuzji podane przez
S. PODSTRIGAĆA i W. NOWACKIEGO [1]. Przy zaniedbaniu wpł ywu temperatury moż na je
zapisać w postaci
• QUj,tt+ycCj~ X(x, t),
gdzie
3
j , 1 = 1, 2, 3; x e R ; te (0, oo)
<«> K e>yc>D>k — stał e materiał owe
c — koncentracja, uj — przemieszczenie
a — ź ródło dyfuzji, Xj — siły masowe.
Przyję to jednorodne warunki począ tkowe
(1.2) c(x,0) = 0; (x,0) = 0; Uj
M A, ( X, 0) «0,
oraz warunki znikania w nieskoń czonośi c
(1.3) lim c(x, 0 = 0; Hm u,(x, i) == 0.
Zał oż ono, że w chwili / = 0 zaczynają działać w pł aszczyź nie x t = 0: ź ródło dyfuzji
i ź ródło dylatacji [2]
a = Dc0 d(xj)i](t),
gdzie dji — symbol Kroneckera, <3(xj) — funkcja D iraca,
t](t) — funkcja Heaviside'a.
Zgodnie z [3], tak postawione zagadnienie posiada dokł adnie jedno rozwią zanie w przes1A
2
trzeniach Sobolewa: H dla koncentracji, H dla przemieszczenia.
2. Transformaty Laplace'a rozwią zań
Stosują c transformatę Laplace'a [4] do ukł adu równań (1.1)- (1.4) otrzymano
(2.1) 3*
cftt~ ć =ku
JlM - ^ Kxt),
384
J. STEFANIAK, J. JANKOWSKI
(2,1)
, , [cd.]
fJU, ii
r
gdzie/ (s) oznacza transformatę Laplace'a dla funkcji/ (ż ,) sjest parametrem transformacji.
Oznaczając
P =
( 2 2 )
dla yk ^ 1 rozwią zanie ukł adu (2.1) ma postać
P/c
1 f PA; , [ S - K M (2.3)
sgn
2y
"1
P-
2
ff Pfc Ą co
2
c 0 /• - • s \ ] e ' «»l* ll
S \ c f / J ia; 2 J
xf- ł
s —ia>
yco
s
5
p.
s~ ico
+
yc0
s
e
gdzie
(2.4)
arg|/ s- s„ = 0, gdy Re(s- sB) > 0 i O so b n o n a le ży rozvvaż yć p rzyp ad ek yk, = 1
T)o2 — / \ i- 'l'l i P£- fi"Cv ^
- Civ i ) s + c \| s —
im
2
U \ ™IJ
2i<xo(Ds+cD
gdzie
(2.7)
Im.(s- sn) = 0,
PŁ ASKIE FALE HARMONICZNE 385
Ponadto, zgodnie z warunkami (2.4), wybiera się n a «.,„, m = 1, 2, 0, te jednoznaczne galę iz pierwiastków |/ a £ , dla których. Im a,„ > 0.
Ł atwo zauważ yć, że przypadki szczególne y — 0 lub /c = 0 dają rozwią zania ś cisł e,
znane w teoriach niesprzę ż onych
.
3. Przybliż one rozwią zanie zagadnienia
Ponieważ wartoś ci współ czynników y i k nie są stablicowane w dostę pnej literaturze,
należy rozważ yć, z uwagi na (2.4), nastę pująe c przypadki: a) yk > 1 b) yk = 0, c) yk <
< 1, yk > 0
Wzory (2.3) oraz (2.6) dadzą się przedstawić w nastę pują cej
, równoważ nej postaci
C3 1 } • •
r P A2 (xt, ia) ( 3 . 2 ) 1 „ .
i • •
7 rv ^ c
i ( 5 u P
D d
'(
l s- to s
gdzie
l- ai(ż co)e'a;!< / ' B > l*il
c\ a',
2
l\~
1 +
D /
e S j/ ic o —s
x
l]
2
\ A D /
iw—st \ / io>—s2
(3.3) = Dc\Pk ,
Pk ,
.. yy — _
A3(xlti<a)= Dc\
. . .. 2za(xa))(jft
v
2za o (xa))(jft)I > + cf) 3
. ic 2
s) = — - 7S^—S
Co 17 2
s L\
C
386 J. STEFANIAK, J. JANKOWSKI
s
c
i r
pfes2
2Dl/ D f
cf\
J 5/2
Metodą przybliż oną (wg KRYŁOWA {5]) oblicza się oryginały transformat
(3.4) F,(s) - - 7 = = L = = v I ( x 1 , s)- ; I - 1,2, 3, 4; petf.
Oryginał y pozostał ych, skł adników wzorów (3.1), (3.2) moż na obliczyć w sposób ś cisły.
Rozważ my przypadek yk > 1. Wówczas j x < 0, a wię c funkcja ^ ( J ) da się zapisać
F^) (3.5)
L J
Zgodnie z monografią [5] transformatę odwrotną F^t) moż na jednostajnie przybliż ća
sumami
(3.6) Fi(0»
/ to
gdzie
j l 5 / = 0, 1, ..., n, są miejscami zerowymi wielomianów stopnia (n + 1) ortogonalnych
na przedziale (—1, 1) oraz
(3.8). , • W- Ż
Wartoś ci a(j- , at moż na znaleźć np. w [6] tablica 6 lub tablica 7.
N a mocy powyż szych rozważ ań moż na przedstawić oryginały transformat wystę pują cych w (3.1) w postaci
(3.9)
!• • •
;
' z = o • r • " irot
., ;
i
Uj(xt, t) » I- jM^ i.,ico)t + 2 " Bt(t)f3 (xt, - sL of«) I V
/ =0
387
P Ł ASK I E F ALB H AR M ON I C Z N E
Obierają c dla przykł adu n — 3 dostaje się wzór na koncentrację
e(xlf t) M - P
7/ ^ eS L > «ooVi
(
2 \ —• '•• / 2 2 2
aio + - j- a11t\ y)^xi,sia1) + \ a20+a21- ~t+- r—a22tz 2 22
2 2 2
x
(
Rozważ ając analogicznie przypadek yA: = 1, otrzymujemy
f
+
( . »• '
• Ł / C
cod(xl)
. - 4 ' , ***> ;,»
Z J IY/+5/2) Z
'(3.11)
<3LL±r
Ą—C r P
C G
- 1 r 1 1 - T - T T - . • • „* 1
0
- ^1
a
"e D
W przypadku 0 < yk < I wartość sk , dana wzorem (2.4), jest liczbą zespoloną i wówczas wzory typu (3.6) - (3.8) zawierają funkcje hipergeometryczne, co komplikuje algorytmy obliczeniowe. Aby tego unikną ć, zastosowano tutaj rozwinię cie nieznanych oryginał ów transformat (3.1) w szereg wielomianów ortogonalnych na przedziale (0,1). Moż li-
3 88 J. STEFANIAK, J. JANKOWSKI
wość takiego rozwinię cia jest umotywowana twierdzeniem o istnieniu rozwią zania zagadnienia (1.1)- (ł - 4) dowodzonym w [3]. Otrzymuje się
c(xlt **)
(3.12)
1= 0
gdzie P (x) jest wielomianem Legendre'a
(3.13)
Wzory typu (3.12) znaleść moż na w monografii [5]. Wielomiany Legendre'a zastą pić
moż na inną rodziną wielomianów ortogonalnych na przedziale (0,1), otrzymują c wzory
podobne do (3.12).
Otrzymane wzory (3.9), (3.11) i (3.12) pozwalają wyznaczyć w sposób efektywny,
z dowolnym przybliż eniem, koncentrację c(xx, t) i przemieszczenie z'i(x1; t).
Literatura cytowana w tekś cie
1. W. N OWACKI, Termodyfuzja w ciek stał ym, MTiS 13, 2, 1975.
2. J. STEFANIAK, Concentrated loads as body forces, Rev. Roum. M ath. Pures et Appl., XIV, 1, 1967.
3. M . D RYJA, Difference and finite- element methods for the dynamical problem of therinodiffusion in an
elastic solid, Archives of Mechanics 29, 1, 1977.
4. G . D OETSCH , Praktyka przekształ cenia Laplace'a, PWN 1964.
5 B. H . KPŁIJIOBJ H . C . CKOSJIHJ Memodu npudAuoiceuHoso npeo6pa3oeanun &ypbe u oSpaufenun npeofipa3oeaHun Jlaruiaca, Hayica 1974.
6 B. H . KPbinoBj H . C . CKO6JW 3 Cnpmonnan miuea nonucnmnoMy npeo6pa3tfeaHuw Jlannaca, MRHCK 1968.
PŁASKIE FALE HARMONICZNE . 389
P e 3 K> M e
n JI OC KH E rAPM OH H ^- IECKH E BOJIH BI H JXH<P®y31M B T B E P ^ O M T E JI E
l
B pa6oTe onpefleneHM nojie nepeiwymeHHH H none KonrjeirrpaimH B HeorpaHa ieHHoił cpese,
HHaMH^iecKOH 3afla^« HH(|)(t)y3HH- ConpHWeHHfcie ypaBHeHHH AHdpdtiy3HH flaHBi C .
B. H oBanpnM [1]. IIpHBefleHŁi AieTOflbi npH6jin>KcHHoro o6pameHHH npeo6pa3OBaHHH JI an jiaca.
Summary
PLAN E H ARMON IC WAVES AN D D IF F U SION I N A SOLID BOD Y
On the basis of equations given by S. Podstrigać and W. N owacki [1], the interaction between harmonic waves and diffusion in solids is considered. To obtain the concentration and displacement the approximate method for inverse Laplace transform is used.
POLITECHNIKA POZNAŃ SK
A
INSTYTUT MECHANIKI TECHNICZNEJ
f
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 30 czerwca 1978 roku