analityczne badanie intensywnych fal uderzeniowych w gazie

M E C H AN I K A
TEORETYCZN A
i STOSOWAN A
4, 24, (1986)
ANALITYCZNE BADANIE INTENSYWNYCH FAL UDERZENIOWYCH
W GAZIE POLITROPOWYM W OTOCZENIU GAZOWYCH
PRODUKTÓW WYBUCHU
Z BIG N IEW G ŁOD OWSKI
E D WAR D WŁOD ARC Z YK
W ojskowa Akademia T echniczna
1. Wstę p
Waż ną rolę w fizyce wybuchu speł nia teoria wybuchu skupionego (punktowego). Opisuje ona zjawiska wystę pują ce w oś rodkach cią gł ych przy wybuchu w nich ł adunku o mał ej
obję toś ci i duż ej energii (wybuch ją drowy, wybuch stał ych materiał ów wybuchowych
o duż ej gę stoś ci, elektrowybuch cienkich folii metali, silne wył adowania elektryczne i inne).
Teoria wybuchu skupionego daje moż liwość opisania, z wystarczają cą dla celów praktyki
dokł adnoś cią , charakterystyk niestacjonarnego ruchu oś rodków cią gł ych wywoł anego nagł ym, lokalnym wydzieleniem energii (ją drowej, chemicznej, elektromagnetycznej). Teoria
ta znalazł a również zastosowanie przy rozwią zywaniu zagadnień opł ywu ciał smukł ych
strumieniem gazów poruszają cych się z duż ą, naddź wię kową prę dkoś cią .
Podstawy teorii wybuchu skupionego stworzyli, niezależ nie od siebie, J. G . Taylor
[1 i 2] i L. I. Siedow [3 i 4] w latach czterdziestych bież ą cego stulecia. Od tego czasu, problemowi niestacjonarnego ruchu gazów, wywoł anego wybuchem skupionym, poś wię cono
wiele prac. Systematyczny opis teorii i waż niejszych wyników prac z tego zakresu wraz
z przeglą dem literatury ś wiatowej podany jest w monografii W. P. Korobiejnikowa, N . S.
Mielnikowej i Je. W. Rjazanowa [5].
Teoria wybuchu skupionego opiera się na zał oż eniu, że cał a energia wybuchu wydzielana jest w obszarze o zerowej obję toś ci; w punkcie — dla symetrii kulistej, na linii — dla
symetrii cylindrycznej oraz n a pł aszczyź nie — dla symetrii pł askiej (w dwóch ostatnich
przypadkach rozpatruje się energię odniesioną odpowiednio do jednostki dł ugoś ci oraz do
jednostki powierzchni). Zał oż enie to jest równoważ ne przyję ciu nieskoń czeni
e wielkiej gę stoś ci energii (energia n a jednostkę obję toś ci) wydzielonej w centrum wybuchu.
Taka idealizacja warunku począ tkowego oraz zaniedbanie wartoś ci ciś nienia przed
frontem fali uderzeniowej (przeciwciś nienia), umoż liwia redukcję problemu do zagadnienia
samopodobnego [6] i uzyskanie zamknię tych rozwią zań, okreś lają cych charakterystyki
niestacjonarnego ruchu gazu idealnego, wywoł anego wybuchem ł adunku skupionego. Zgodnie z tymi rozwią zaniami prę dkość przepł ywu, ciś nienie i temperatura gazu w począ tkowej
574 Z. GŁODOWSKI, E. WŁODARCZYK
chwili czasu (/ = 0) mają nieskoń czeni
e wielkie wartoś ci w centrum wybuchu. N atomiast
z fizycznych rozważ ań i danych eksperymentalnych wynika, że wymienione parametry
w chwili t = 0 mają duż e, ale skoń czone wartoś ci. Rozbież ność mię dzy wynikami teoretycznymi i eksperymentalnymi w otoczeniu centrum symetrii w począ tkowej chwili czasu spowodowana jest przyję tą idealizacją modelu, dopuszczają cą nieskoń czeni
e wielką gę stość
energii w miejscu wybuchu.
.Poza tym, model wybuchu skupionego bez uwzglę dnienia obję toś ci ź ródła wydzielają cego energię nie pozwala ocenić wpł ywu geometrii ł adunku (jego wymiarów) n a rozkł ad
parametrów ruchu i stanu gazu w otoczeniu centrum wybuchu. Z rozwią zań samopodobnych nie moż na również badać dowolnego, niestacjonarnego ruchu granicy gazowych produktów detonacji (G D P). Istnieją ce z tego zakresu rozwią zania [7 i 8] mają charakter
szczególny — aproksymują prę dkość ruchu granicy gazów za pomocą jednomianu potę gowego v0 = et".
Mają c na uwadze wymienione mankamenty istnieją cych rozwią zań, w niniejszej pracy
podję liś my próbę skonstruowania lokalnego w czasie i przestrzeni rozwią zania dla wybuchu
skupionego (kulistego, cylindrycznego i pł askiego) w gazie politropowym z uwzglę dnieniem
skoń czonej gę stoś ci energii w centrum wybuchu. Rozwią zanie to przedstawimy w postaci
szeregów Taylora dla funkcji jednej i dwóch zmiennych niezależ nych (/', t), przy czym
współ czynniki rozwinię cia okreś limy za pomocą równań ruchu i warunków granicznych,
odpowiednią ilość razy róż niczkowanych.
Zdaniem autorów, prezentowane rozwią zanie stanowi istotny przyczynek do teorii
wybuchu skupionego.
2. Sformułowanie problemu
Bę dziemy badać niestacjonarny ruch ukł adu mechanicznego, zł oż onego z wkluzji o symetrii kulistej (kula), cylindrycznej (cylinder o nieskoń czonej dł ugoś ci) lub pł askiej (warstwa o nieskoń czonych wymiarach powierzchniowych), zanurzonej w nieograniczonej przestrzeni wypeł nionej jednorodnym, niezaburzonym gazem politropowym.
Zakł adamy, że w chwili t = 0 w cał ej obję toś ci wkluzji nastą pił o nagł e wydzielenie
energii o skoń czonej wartoś ci E o. Jak już wspomniano we wstę pie, w przypadku symetrii
cylindrycznej — E o oznacza energię wydzieloną z jednostki dł ugoś ci cylindra, a dla symetrii
pł askiej — z jednostki powierzchni warstwy.
Fizycznym modelem takiego ukł adu może być, n a przykł ad, natychmiastowy wybuch
kulistego, cylindrycznego lub pł askiego ł adunku materiał u wybuchowego (M W) w przestrzeni nieograniczonej, wypeł nionej gazem politropowym. D la ujednoznacznienia dalszych
rozważ ań przyjmiemy, że ź ródł em energii E o jest natychmiastowa detonacja odpowiedniego ł adunku MW. Przez r0 oznaczymy począ tkowy promień ł adunku kulistego (cylindrycznego) lub poł owę gruboś ci warstwy ł adunku pł askiego.
Z doś wiadczenia i hydrodynamicznej teorii ruchu gazu doskonał ego wynika, że w opisanych warunkach w niezaburzonym gazie propagować się bę dzie, ze zmienną prę dkoś cią ,
fala uderzeniowa, wygenerowana rozszerzają cymi się gazowymi produktami detonacji,
które speł niają rolę ruchomego tł oka.
Jeś i l przyją ć, że za czoł em fali uderzeniowej ruch gazu ma charakter adiabatyczny, to
IN TEN SYWN E FALE U D ERZ EN IOWE. 575
rozwią zanie tak zdefiniowanego zagadnienia począ tkowo- brzegowego sprowadza się do
cał kowania nastę pują cego ukł adu równań:
r
^- i
QP.t- YPQ,t = 0
•c = w, t
gdzie r jest współ rzę dną Lagrange'a, a t oznacza czas.
Wielkoś ci p, Q, u, v i y odpowiednio oznaczają : ciś nienie, gę stoś ć, przemieszczenie,
prę dkość przepł ywu i wykł adnik izentropy gazu; Q± jest wielkoś cią stalą , charakteryzują cą
począ tkową gę stość gazu.
Symbolem v oznaczono wskaź nik symetrii, przy czym v przyjmuje wartoś ci:
1 — dla symetrii pł askiej, 2 — dla symetrii cylindrycznej i 3 — dla symetrii kulistej.
. N a czole fali silnej niecią gł oś ci równania róż niczkowe (2.1) tracą sens. W ich miejsce,
z praw zachowania otrzymujemy zwią zki w formie skoń czonej o nastę pują cej postaci:
Ś i(c- Wi
) = - vi)- p1 i Qt(e- va),
= Q2v2(c- v2)- p2, (2.2)
\ / \
2
gdzie literami c i e odpowiednio oznaczono prę dkość propagacji czoł a fali w danym oś rodku oraz energię wewnę trzną jednostki masy oś rodka. Indeksy 1 i 2 identyfikują poszczególne parametry stanu i ruchu oś rodka przed i na czole fali.
Jeś i l wzią ć pod uwagę , że oś rodek przed czoł em fali jest nieruchomy (v± = 0) oraz, że
dla gazu doskonał ego m am y:
i PA'1*
\ ed
P (y- i)e to zwią zki (2.2) moż na, po przekształ ceniach, uproś cić do postaci:
(2A)
ly
lub
2 \ ~q
y + 1 ]/ q
* 2y- (y- \ )g
( 2
-
5)
576
Z . G Ł O D O WSK I , E. WŁ O D AR C Z YK
gdzie parametr q = («i/ c) 2 charakteryzuje intensywność fali uderzeniowej; a x jest prę dkością propagacji dź wię ku w gazie niezaburzonym.
Z trzeciego wyraż enia (2.5) 3 bezpoś rednio otrzymujemy:
D alej, z wzoru tego wynika, że dla silnych fal uderzeniowych {p2IPx <* 1) parametr q jest
mał y.
D la q zmierzają cego do zera, zwią zki na czole fali uderzeniowej przyjmują prostą postać:
2
.
3 Q2=
l± LQi, 2
p2 = - - eic\ (2.7)
Z analizy obliczeń liczbowych moż na wycią gną ć wniosek, ż e- dla c < 0,01 bł ą d okreś lania
wartoś ci poszczególnych parametrów wg wzorów przybliż onych (2.7) nie przekracza 5%,
Zatem dla fal poruszają cych się z prę dkoś cią c > 10a t i niosą cych na swym czole ciś nienie
p2 > lOOpi moż na, z wystarczają cą dla celów praktyki dokł adnoś cią , posł ugiwać się wzorami uproszczonymi (2.7). Takim wł aś nie falom poś wię cona jest niniejsza praca.
Przejdziemy obecnie do sformuł owania modelu ruchu G P D . Jak już wspomniano,
stosujemy hipotezę natychmiastowej (momentalnej) detonacji ł adunku wybuchowego.
Stosowanie tej hipotezy w praktyce inż ynierskiej jest uzasadnione mał ym udział em energii
kinetycznej w bilansie energetycznym G P D w fali detonacyjnej.
D la przykł adu w tablicy 1 podajemy uł amkowe udział y energii potencjalnej i kinetycznej
G P D w fali detonacyjnej trotylu.
Tablica 1
U dział energii
v - 1
v = 2
v = 3
Energia potencjalna
0,939613
0,926581
0,920597
Energia kinetyczna
0,060387
0,073419
0,079403
Jak widać z zamieszczonych danych, najwię kszy udział energii kinetycznej (symetria kulista) nie przekracza 8%. Podobne wyniki uzyskuje się dla innych, stał ych materiał ów wybuchowych. Zatem w fali detonacyjnej ponad 90% energii G P D stanowi ;energia potencjalna
(sprę ż ysta i cieplna). Energię kinetyczną moż na zaniedbać — tym samym przyjmujemy, że
czą stki G P D w czasie detonacji pozostają nieruchome. W wyniku tego zał oż enia począ tkowa gę stość G P D równa się gę stoś ci materiał u wybuchowego, którą oznaczymy przez gOe.
N atomiast ciś nienie począ tkowe pOe okreś lamy z nastę pują cego wzoru [9]:
Poe =
(2.8)
gdzie pH oznacza ciś nienie G P D w punkcie Jougueta, D jest prę dkoś cią detonacji, a k H —
wykł adnikiem izentropy G P D .
Jeś i l zaniedbać zjawiska falowe w G P D i zał oż yć, że gazowe produkty detonacji roz-
IN TEN SYWN E FALE U D ERZEN IOWE.
577
szerzają się w sposób adiabatyczny [10,11], to ś rednią gę stość Qe{t) i ś rednie ciś nienie pe(t)
w G P D moż na okreś lić z nastę pują ych wzorów:
(2.9)
PGPD(I- 0, O = Pc(t) = Po. i r Yk°
p- / rr (2.10)
»
gdzie:
(2.11)
• Ro(O = ro + u(ro,t),
k 0 jest skorelowanym wykł adnikiem politropy G P D .
Sposób okreś laniajego wartoś ci podanyjest w pracy [12]. Jest on nieco wię kszy od wykł adnika izentropy G P D w punkcie Jougueta (k 0 > k„). Przykł adowe wartoś ci k 0 i k H dla kilku
klasycznych MW podajemy w tablicy 2.
Tablica 2
kg/ m 3
MPa
D
m/ s
k„
ku
Trotyl
1630
21000
6930
2,73
3,00
TH 36/ 64
1717
29500
7980
2,71
3,00
Oktogen
1891
42000
9110
2,74
3,40
Pentryt
1770
33500
8300
2,64
2,90
N itrometan
1128
12500
6280
2,56
2,73
MW
Pit
Wymienione dotychczas warunki graniczne uzupeł niają dodatkowo warunki cią gł oś ci
ciś nienia i prę dkoś ci na granicy kontaktowej G P D t j:
Pfot) = pe(t); v(r0, t) = ve(t). (2.12)
P onadto przyjmujemy, że oś rodek gazowy przed czoł em fali uderzeniowej jest niezaburzony. Zatem warunki począ tkowe mają postać:
w(r,0) = 0; w(r,0) = 0; p(r,0) = Pl; e
(/ - ,0) = e i . (2.13)
Tym samym problem został jednoznacznie sformuł owany. Przejdziemy obecnie do
konstrukcji lokalnego (ograniczonego w czasie i przestrzeni) rozwią zania przedstawionego
zagadnienia granicznego.
3. Lokalne rozwią zanie problemu
3.1. Uwagi ogólne. Peł ne rozwią zanie sformuł owanego w poprzednim rozdziale problemu
sprowadza się do konstrukcji rozwią zania zmodyfikowanego zagadnienia G oursata [13]
dla ukł adu równań (2.1) z warunkami granicznymi (2.7) ~J- (2.13). Modyfikacja zagadnienia
7 M ech. Teoret. i Stos. 4/ 86
578 . Z . G ŁOD OWSKI, E. WŁOD ARCZYK
G oursata w rozpatrywanym przypadku polega na nieznanym brzegu obszaru, w którym
poszukujemy rozwią zania problemu. Jest nim czoł o fali uderzeniowej r = R(t). Bę dziemy
go poszukiwać w formie szeregu Taylora o postaci:
2
3
R(t) = rQ + R'(0)t+~R"(0)t + ~R"'(0)t + ... (3.1)
Analogicznym szeregiem przedstawiamy poł oż enie granicy kontaktowej G P D :
2
3
, t) = ro+RÓ(P)t+±- R'Q'(<y)t + ±- R'o"(0)t + ... o
(3.2)
W podobnym uję ciu przedstawimy charakterystyki niestacjonarnego ruchu gazu za
czoł em fali uderzeniowej, a mianowicie:
F(r, t) = F(r0, 0)+FtT (ro,0)(r- ro)+F.t(ro, + 0)t+
i
F f r 0)(ry + 2F( Wr)t+FfaQ)t ]- +
gdzie symbol F(r, t) reprezentuje nastę pują ce funkcje: u(r, t), v(r, t), p(r, t) i q{r, t).
Zatem dla uzyskania lokalnego rozwią zania przedstawionego problemu należy jednoznacznie okreś lić współ czynniki szeregów (3.1) — (3.3). Wykorzystamy do tego celu równania problemu (2.1) oraz warunki graniczne (2.7) - (2.13).
3.2. Okreś lenie wartoś ci funkcji w punkcie rozwinię cia (r0, 0). Zgodnie z trzecim warunkiem
(2.7) prę dkość propagacji czoł a fali uderzeniowej wynosi:
Stą d dla / = 0, po wykorzystaniu (2.8) m am y:
\ 4 & / 2
N astę pnie wykorzystują c zwią zki (2.7) oraz warunki począ tkowe (2.8) i (2.13) otrzymujemy:
"( fo .O ) = M02 - 0;
02
~ r+i \ T ^^J JTTYkl+Tiri
^ 4 ^ ^ g ^ e(ro,0) = Q02 =
(3.6)
Y
R(0) = ro+uO2 = r0; R o(0) = r0+u02 = r0.
3.3. Okreś lenie wartoś ci pierwszych pochodnych funkcji w punkcie ( r 0 , 0). Z r ó wn a ń ( 2. 1) 2 i ( 2.1) 4
bezpoś rednio wynika, że
u (r t)~
r
ii,,(r, 0 = v(r, t).
\ Ql
- 1 -
IN TEN SYWN E FALE U D ERZEN IOWE. 579
Dalej, róż niczkując warunek brzegowy (2.10) wzglę dem czasu t i wykorzystują c warunek cią głoś ci ciś nienia (2.12) otrzymujemy:
(3.8)
gdzie:
c
Poe - Poa - — ~ Y 0i o>
R
o(t) = »(r 0 , 0- (3- 9)
N astę pnie z (2.1) 3 mamy:
o f (r, O =~p (r,t). t
(3.10)
Z kolei róż niczkując równanie (2.1) 2 wzglę dem czasu, po rozwikł aniu uzyskujemy:
«,,(r,0- D la okreś lenia pozostał ych pochodnych funkcji p, g i v, róż niczkujemy zwią zki (2.7)
wzdł uż trajektorii czoł a fali uderzeniowej w wyniku czego otrzymujemy:
^ i c ( 0
;
X i i c C ( 0 . (3.12)
Z drugiej strony, zgodnie z definicją pochodnej w danym kierunku, mamy:
v%(t) = v, rc+vit; Qz(t) = Q, r
Przyrównują c prawe strony równań (3.12) i (3.13) oraz wykorzystują c równanie (2.1) l9
po rozwikł aniu otrzymujemy:
1
0.I- O . Olr- JBW " ~
^ O - w. ffr i 0lr- *m . (3- 14)
gdzie:
7 „
24- UZ definicji funkcji R 0(t) i - R(0 wynika, ż e:
- «.«froi 0 - «.«(rof 0 .
(3.15)
580 Z. GŁODOWSKI, E. WŁODARCZYK
W ten sposób wyprowadziliś my zamknię te wzory n a wszystkie pierwsze pochodne poszukiwanych funkcji. Ponadto, rozwią zują c ukł ad równań (3.12) i (3.13) oraz (2.1)!
okreś lono również drugie pochodne funkcji R(t) i R 0(t).
Z wzorów tych, po wykorzystaniu wartoś ci funkcji (3.6) i przekształ ceniach, w punkcie
(/• 0, 0) otrzymujemy:
u
,(r0 0) = - - L u (ro
, o) = - iSL = Co '* ' c
o L.
y+ l '
ko- Y)] —, ( 3 J 7 )
° Q
R'(0) = c0; Ri(0) = v02 m -
2
— co,
R"(0) = c'(0) = - 2Vk oy- (y- l)Hk o ^ ^
Ro(0)=- vit(ro,0).
3.4. Okreś lenie wartoś ci drugich pochodnych funkcji w punkcie (r 0 , 0). Z wyraż eń (3.7), p o zróżn iczkowan iu wzglę dem /• i t, otrzym ujem y:
V"1 \ (v- V(»/ r- ur(r,t)) r " ^ T ~~ , (f, o] e i
Q~1T' e r
(3.19)
Z kolei róż niczkując wyraż enia (3.8), (3.10), (3.11) i (2.1) Ł wzglę dem czasu t mamy:
0 = ^, «f r . O —^- ^- r f i f r . 0.
(3 20)
f
IN TEN SYWN E FALE U D ERZ EN IOWE. 581
D alej z równań ( 2.1) 1 ; (2.1) 3 i (3.11) po zróż niczkowaniu wzglę dem r i rozwikł adniu
otrzymujemy:
^ ^ g
...fr. o]
0
efr ()+ y ''^' [f„fr, o- je.,(r, o]
"1 ] !
J{
Q,r(r,t)Qit(r,t) , A i
N astę pnie róż niczkują c wyraż enia (3.12) i (3.13) wzdł uż trajektorii czoł a fali, po rozwikł aniu m am y:
2 c '' ' r
~ 1
c2
(3- 22)
w ' "( 0 - c"( 0 = -
_\ )(5y_ l} jgUr,
(Y
V + 1
^ - [c2w,„(/ - , 0+ 2«i f I f ((r r , 00 ++«.«t t( ( ^ ^ O+ ^COo.i-
fr. OŁ- JIW. ( 3 23)
gdzie:
(3.24)
582 Z. GŁODOWSKI, E. WŁODARCZYK
Q
W ten sposób otrzymaliś my komplet wzorów na drugie pochodne poszukiwanych funkcji u, v, p, i Q oraz trzecie pochodne R'"(t) i R'0"(.t). Z wzorów tych w punkcie rozwinię cia
(T"O , 0) otrzymujemy:
K,«(ro.0) = B ł t (r o , 0) = ~ 2
\
3ń Y 1)2
H o y + ( y - 1 ) [y+v(k o- y)]} ^ ,
i
—• e,«('- o,
+ —. g f r OHJ f o O) . '• • *>•» -• T
- —e.„ (r o ,0)+ Z)(ro,0),
?»'(0) = c " ( 0 ) =
(k 0 - y) I - 4vk 0 - y +
(3- 25)
IN TEN SYWN E FALE U D ERZ EN IOWE. 583
gdzie:
,lvk oy+(y- l)[y+v(k o- y)] mJ
,\ _ ( co\
2
+*?• )- >*• }• • {%)'
Postę pują c w analogiczny sposób moż na wyprowadzić wzory na pochodne poszukiwanych funkcji dowolnego rzę du. Tym samym moż na dość dokł adnie okreś lić charakterystyki
niestacjonarnego ruchu gazu doskonał ego w bezpoś rednim otoczeniu centrum wybuchu.
3.5. Uproszczona wersja wzorów. Wyprowadzone w poprzednich punktach wzory ulegają
znacznemu uproszczeniu w przypadku, gdy k 0 = y. M amy wówczas:
v
2(y—1) c0
A'- o,0)= ( y + 1 ) 2
f n\ ^, < 0*O> 0) = 1 —,
f cs\ P,r( rO,Q) °" ef,(r0,o) ^ (v+l)y—l - f"
Co
V
co
4 ». r . Vo , u ; -
3
v— 1
( y + i)3 I 1 C
^ • - / « 2
r
8
P,„(.ro,0) = y
n(ro, 0) =
l 1 c^
584
Z. GŁODOWSKI, E. WLODAQCZYK
y —
'
4. Uwagi koń cow
e
Z wyprowadzonych zależ nośi c wynika, że charakterystyki stanu i niestacjonarnego
ruchu gazu politropowego w otoczeniu centrum silnego wybuchu zależ ą ,od nastę pują cych
parametrów: y,k Q, v, Qx, QOe, D i / - 0. Zależ ność ta widoczna jest w sposób jawny w wyprowadzonych wzorach na współ czynniki szeregów Taylora charakteryzują cych poszczególne
funkcje. Przykł adowy charakter zmian pierwszego i drugiego współ czynnika szeregu określają cego trajektorię czoł a fali uderzeniowej pokazujemy w formie bezwymiarowej na rysunkach 1 do 3.
Rys. 1.
1.0
­ — —— *• *~**~"———— Rys. 3.
[585]
T~t ­,in /
,*—v. __i r o C"! f* 1 O O O CO ON S S
~ ° 0
R
S
S
S
S
O
S
1
T"™ O ON *~H f O *™
t ON e n f~*
M ^t -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 fc *£ ' -
g -
r r j. -
iM r o . n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
i n O ' O ' ^ O O O O O N i / ^ O ^ ^ O O O O f S T + ^ O O i - i O O O O ^ " 0 r -
O N O c l ^ o o o o r 1
O O O N O O O O O O
^
O N O ^ O C ^ O O O Q O O
• <& iA in* 0 <o cń T- H —1 0 ON 0 0 —< 0 ^0 co r 4 o
0 1 ^
p- j CO
fl II
0 °
£ [C N
O
S S S S JG R S 8 P •
" 8 £ 2 S g S S 8 S
1
N r J N r i r i H c i d d 1 1 1 1 I ! 1 I »i • • ' * * n N H PI d
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 u
S1
5" o
0 © 0 d d 0° d d d | c o rt HHFHrt iHod d
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
o"
° O/ ^-
s
T ^ sf «
T
3 m v O i - i ' r ~ « t ~ . m m o o N O ^ f f i m m o s ^ M d c> 0' c> d ó d d d o 1 j ® * T J - T — I v o m 0 r - ' r f Q 0 r « 1 0 \ 0 \ m O v £ > * - < 0 0 c s O N O N o o o o t - -
i
Ó O
O
O
O
O
O ( / O
i o c s l
O
O 1 1 1 1 1 1 1 I » -
i r l m -
*
" r M O O i c t ^ ^ r - l o ^ ?
o m H i n o o ' t ^ ' i n N
d 0 0 d 0 d d d d
• ^ • ł — i ^ m O r - ^ Q Q
f N O N O N m O ' - O ' — t O O
^ o \ o o o o t * O
1 m m O
Ó
1 1 i O
O
1 I »- i (S m ^ - m S "3
« ^ , ^ O
[5861
^ i i n i n o l
O
O
O
1 1 1 vi
O
1
ri N ri pi H w1 r
t
1
H d
I I I I I I I I I
a- VI " ^ —
H M
M3 5 ^H m o
8
f ) 00 O
OD
Ol
3 OO
? oo
m
\ D C 3 O C
o >o
O g
I I 1 I I I I
I I I I I I I I I
\ ^ ~^f- __i i/ ^ \ ^ oo O O\
^j* oo *n r*^ ' n ^**^ c^ f^ł
T t
CS ^t* in vo ^o */"i rn r^ ~
S
d d d d d d d d d
I I I I I 1 I I I
[5871
588
Z. GŁODOWSKI, E. WŁODARCZYK
Peł ną charakterystykę zmian wszystkich współ czynników okreś lonych wzorami (3.17)
i (3.18) oraz (3.25) w funkcji wykł adnika izentropy y dla wartoś ci k 0 = 3 (najczę ś ciej spotykanej w praktyce) i wszystkich rodzajów symetrii (v = 1, 2, 3) podajemy w tablicach 3 i 4.
Zamieszczone w nich dane pozwalają w prosty sposób okreś lać charakterystyki n iestacjonarnego ruchu i stanu gazu politropowego w bezpoś rednim otoczeniu centrum wybuchu
w począ tkowych chwilach czasu trwania procesu.
Tablica 4
rl
Pochodna
- rV,n
y
Co
Co
cl
V = 1
1,1
1.2
1.3
1.4
5/3
2
2.5
3
7
- 0.1237
- 0.2066
- 0.2617
- 0.2976
- 0.3375
- 0.3333
- 0.2939
- 0.2500
- 0.0804
- 0.3223
- 0.4689
- 0.5190
- 0.5173
- 0.4188
- 0.2778
- 0.1380
- 0.0655
0.0076
1.1
1.2
1.3
1.4
5/3
2
2.5
3
7
- 0.2020
- 0.3306
- 0.4101
- 0.4563
- 0.4875
- 0.4444
- 0.3429
- 0.2500
0.0268
- 0.8681
- 1.2233
- 1.3102
- 1.2622
- 0.9272
- 0.5322
- 0.1881
- 0.0298
0.1253
-
-
0.0750
0.0626
0.0175
0.0354
0.1519
0.2222
0.2351
0.2083
0.0488
2.8035
2.6371
2.4815
2.3313
1.9560
1.5556
1.1074
0.8036
0.1249
- 0.0750
- 0.0626
- 0.0175
0.0354
0.1519
0.2222
0.2351
0.2083
0.0488
0.2513
0.2204
0.0905
0.0579
0.3575
0.4938
0.4506
0.3333
0.0191
9.2001
8.5305
7.9169
7.3363
5.9295
4.4883
2.9461
1.9524
0.0536
1.6047
1.4826
1.4622
1.4689
1.4450
1,2840
0.9544
0.6667
0.0077
19.2199
17.7351
16.3811
15.1063
12.0429
8.9410
5.6703
3.6012
- 0.1054
5.0115
4.5905
4.3833
4.2386
3.8169
3.1358
2.1346
1.3750
- 0.0609
= 3
1.1
1.2
1.3
1.4
5/3
2
2.5
3
7
- 0.2804
- 0.4545
- 0.5584
- 0.6151
- 0.6375
- 0.5556
- 0.3918
- 0.2500
0.1339
- 1.6805
- 2.3379
- 2.4710
- 2.3484
- 1.6602
- 0.9005
- 0.2721
0.0060
0.3394
-
-
-
-
-
0.5275
0.4683
0.2092
0.0830
0.6481
0.8642
0.7165
0.4583
0.1100
589
IN TEN SYWN E FALE U D ERZEN IOWE.
N a przykł ad trajektorię ruchu czoł a fali uderzeniowej dla y = 1.4 i k 0 = 3 moż na
przedstawić zgodnie z wzorami (3.1) i danymi zamieszczonymi w tablicach 3 i 4 nastę pują cym wielomianem potę gowym:
— P l
bP
y rl
jP.rt
ei co
7
8
6
ro2
'o
*P>t>
SiCo
e,c0
9
(3.27)
e,„
10
- 2
'ťo
=- O.rt
ei co
u
eg
12
k 0 = 3
- 2.8035
- 2.6371
- 2.4815
- 2.3313
- 1.9560
- 1.5556
- 1.1074
- 0.8036
- 0.1259
13.1932
11.6454
10.3179
9.1766
6.8344
4.8889
3.1347
2.1250
0.2746
81.7001
28.5606
13.5931
7.3980
1.9882
0.5000
0.0517
- 0.0238
- 0.0087
- 141.2043
- 56.8939
- 31.2370
- 19.6429
- 7.8791
- 3.5000
- 1.4430
- 0.7381
- 0.0441
250.2952
106.0606
60.7152
39.3408
17.0100
8.0000
3.4743
1.8333
0.1173
2.6446
2.3333
2.0656
1.8367
1.3745
1.0000
0.6678
0.4762
0.0936
893.8213
375.7576
213.4294
137.9252
58.1400
26.6667
11.1543
5.6667
0.2551
8.8873
7.9057
7.0599
6.3371
4.8823
3.7119
2.6835
2.0952
0.9260
1930.5785
809.0909
458.1425
295.1531
123.3900
56.0000
23.0400
11.5000
0.4133
18.7120
16.6869
14.9400
13.4467
10.4436
8.0329
5.9203
4.7143
2.3133
k 0 = 3
- 11.0561
- 10.2335
- 9.4696
- 8.7472 .
- 7.0170
- 5.2785
- 3.4499
- 2.2857
- 0.0804
47.4168
41.7731
36.9322
32.7712
24.2438
17.1852
10.8595
7.2500
0.8170
436.4788
163.9515
84.3000
49.8352
17.1891
6.4198
2.0353
0.7619
- 0.1020
- 565.1107
- 227.4303
- 124.5272
- 77.9788
- 30.7345
- 13.2099
- 5.0862
- 2.3810
0.0000
= 3
- 24.7590
- 22.7940
- 20.9736
- 19.2620
- 15.2116
- 11.2126
- 7.0884
- 4.5179
0.0563
102.6710
90.3832
79.8427
70.7837
52.2281
36.8889
23.1743
15.3750
1.6272
1064.3926
406.2697
212.2473
127.4599
45.7845
17.9568
6.1496
2.5476
- 0.1624
- 1271.7477
- 511.6576
- 279.9338
- 175.0820
- 68.6573
- 29.2284
- 11.0291
- 5.0238
- 0.0735
590
G Ł OD OWSK I , E . WŁ O D AR C Z YK
gdzie:
5-
r0
r0
- 0, 7143
- 1,4841
- 2, 2540
1,8367
6,3371
13,4467
dla v = 1
dla v » 2
dla v = 3
dla v = 1
dla r = 2
dla v = 3
Z warunku malenia intensywnoś ci fali uderzeniowej w miarę oddalania się od centrum
wybuchu (malenia prę dkoś ci propagacji) wynika, że wzór (3.27) moż na stosować w przedziale
0 ^ | < - - J- . (3- 28)
o
Pozostał e funkcje moż na identyfikować w analogiczny sposób.
Przedstawiona w pracy metoda konstrukcji lokalnego rozwią zania problemu wybuchu
skupionego stanowi pewien przyczynek do ogólnej teorii wybuchu punktowego [5]. U suwa
z tej teorii mankamenty zwią zane z zał oż eniem o nieskoń czonej wartoś ci gę stoś ci energii
w centrum wybuchu. M a ona charakter ogólny i moż na ją stosować do rozwią zywania
problemów propagacji fal uderzeniowych o dowolnej intensywnoś ci również w oś rodkach
niejednorodnych. Problemami tymi zajmiemy się w oddzielnym opracowaniu.
Literatura
1. J. G . TAYLOR, The formation of a blast wave by a very intense explosion, M in istry of H o m e Security,
R . C . 210 (115- 153), 1941.
2. J. G . TAYLOR, The propagation and decay of blast waves, British Civilian R esearch C om m itee, 1944.
3. J I . H . CefloBj JJeuoicenue eo3dyxa npu CUAWOM 83pbise, flAH C C C P 3 T . 52, Ns 1, 1946.
4. J I . H . CEfloB, FacnpocmpaHemje CUMHUX e3pueHhix eo/ m, I I M M , T. 10 3 B . 2, 1946.
5. B. I I . KOPOEEHHHKOB, H . C . MEJIBH H KOBA, E . B. P H 3AH OB, Teopun tnoueuHozo e3pueas F o e . H 3fl.
<E>H3.- MaT. JI H T.J M ocKBa, 1961.
6. J I . H . CEflOB, Memodu nodo6un u paiMepnocmu e Mexamxe, 4- e H3fl., rociexH 3flaT, M ocKBa, 1957
7. H . J I . KPAIHEHHHHHKOBA, O HeycmaHoeuetuejucn deuoiceuuu za,3a, ewnecnneMozo nopiuneju, H3BecTHH
AH C C C P , O T H , Xa 8, 1955.
8. H . H . KCWHHA, H . C . METIŁHHKOBA, O HeycmaHoeuetueMCH deuoicemu za,3a, eumecHneMoio nopumeM
Bayuema npommabaeAemn, I I M M , T. 22, B . 4, 1958.
9. K. I I . C TAH IOKOBM H flp., <Ptt3UKa 63puea, H 3fl. H ayi<a, M ocKBa, 1975.
10. W. T R Z O Ń SK, E
I . WLOD ARCZYK, Shock compression of gas bubbles in ideal compressible liquid, J. T ech n .
Ph'ys., 22, 3, 1981.
11. E . WŁ OD AR C Z YK, POM ny3upbKoe za3a e UHUifuupoeamu demoHauuu eobonanoAHeHHux e3puenambix
eeią ecme (BBB). YcnexH MexannKH 8, 2, 1985.
12. Plane expansion of real detonation products. Closed form solutions, M . T ech n . P hys., 25, 3- 4, 1984.
13. M . KRZYŻ AŃ SKI
, Równania róż niczkowe czą stkowe rzę du drugiego, Czę ść I I , P WN , Warszawa 1962.,
INTENSYWNE FALE UDERZENIOWE. 591
P e 3 io M e
AH AJIH TH H ECKOE H CCJIEflOBAH H E H H TEH CH BH BIX YflAPH LIX BOJIH B IIOJIH T P O n H O M TA3E B OKPECTH OCTH TA3OBLIX nP OflYKTOB B3PLIBA "
B pa6oTe nocrpoeH o jioKanwioe pem eim e salami cocpefloToiieHHoro (Towm ioro) BJpH Ba B n o n n TponHoM ra3e. y^ T e m KOHcmaH IUIOTHOCTB snepriiH B u,eHTpe B3pwBa 3 MTO HBJiflercn cyinecTBeHHWM
HonojiHeHHeM n o oTHonieHHio K cymecTByioiiHiM penieHHHM. XaparcrepHCTHKH COCTOHHHH H
noJiH TponH oro ra3a c yflapHoft BOJIHOH B oKpecTiiocTH q e m p a B3pbiBa npeflCTaBJienbi B BH#e
Teiijiopa fljiH djyHKUHH flByx He3aBHCHMtix iiepememibix (r,t). Ko3iJ)4)HqHeHTbi pafla onpeflejieH H H3
ypaBHeHHii H BH WCH H H H rpam rairtn c ycnoBuft 3aflaMH. HpeflCTaBJieHo B BHfle Ta6annw H3MeneHHe
3THX K03(b(|)HiiHeHT0B B (pynKUHH noKa3aTejieft nojiH Tponw y H k Q flJia Tpex CHMMeTpHii: njiocKoił j
H C(bepHiiecKoii.
pemeH H e HBJineTCH HonoJiHeHueM K Teopna cocpeflOTo^eHHoro B3pLiBa. OH O flonoJTHHex cymecTByiomH e aBTOMoflejitHtie peiueHHH p,jw CHUbuwx To^e^mbix B3pbiB0B, 6a3HpyiomHe
Ha npeflnono>KeHHH o 6ecKOHeqHoń nnoTHocTH aneprHHB meH ipe B3pwBa. HcKJnoiiaeT He^ocTaTKH 3THX
penieHHH H ^aeT BO3Mo>KHoCTb iiccjieflOBamM KOJiH^ecTBeHHbix 3aBHCHM0CTeft xapaKTepiiCTHK
OHapHoro HBH>KeHHfl noJiH TpoiiH oro ra3a B oi<pecTH0CTH n e m p a B3pbiBa.
Summary
AN ALYTIC STU D Y OF STRON G SHOCK WAVES IN A POLYTROPIC GAS I N TH E
VICIN ITY OF TH E EXPLOSION CEN TRE
A local solution has been constructed to the problem of concentrated (point) explosion in a polytropic
gas. The finite energy density at the explosion centre is taken into account. The state and motion characteristic of the polytropic gas with the shock- wave in the mcinity of the explosion centre are presented in the
form of the Taylor series for the functions of two independent wariables (r, t). The coefficients of the series
are determined from the equations of motion nad the boundary conditions of the problem. Variation in
these coefficients in function of the polytropic exponents of y and k 0 = 3 for three symmetries: plane,
cylindrical and spherical, is presented in the from of tables. The solution presented constitutes a contribution
to the theory of concentrated explosion. It complements the existing self- similar solutions for powerful
point explosions, these solutions basing upon the assumption of the infinite energy density at the explosion
centre. It eliminates the shortcomings of these solutions and raises the possibility of studying the quantitative
dependences on the characteristics of a non- stationary motion of the polytropic gas in the vicinity of the
explosion centre.
Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 22 listopada 1985 roku.