Wykład 6 cz.5

Wzory Cramera
Ustalmy liczbe˛ naturalna˛ n, liczby zespolone (lub rzeczywiste)
ai,j , bi , gdzie i, j ∈ {1, ..., n} i rozważmy układ równań

a11 z1 + a12 z2 + · · · + a1n zn = b1



 a21 z1 + a22 z2 + · · · + a2n zn = b2
(∗)
..

.



an1 z1 + an2 z2 + · · · + ann zn = bn
o niewiadamych z1 , ..., zn ∈ C.
Niech



W =

a11 a12 · · ·
a21 a22 · · ·
..
..
.
.
an1 an2 · · ·
a1n
a2n
..
.





ann
oraz



Wi = 

a11 · · ·
a21 · · ·
..
.
an1 · · ·
a1(i−1) b1 a1(i+1) · · ·
a2(i−1) b2 a2(i+1) · · ·
..
..
..
.
.
.
an(i−1) bn an(i+1) · · ·
dla każdego i ∈ {1, ..., n}.
a1n
a2n
..
.
ann





Jeżeli det W 6= 0, to układ równań (*) nazywamy układem
Cramera. Kolejne twierdzenie podaje wzory na rozwiazanie
˛
układu (*) pod warunkiem, że jest to układ Cramera.
T WIERDZENIE (C RAMERA ) Jeżeli det W 6= 0, to układ równań
(*) ma dokładnie jedno rozwiazanie
˛
z1 , ..., zn i jest ono dane
wzorami
zi =
det Wi
det W
dla każdego i ∈ {1, ..., n}.
Rzad
˛ macierzy.
Ustalmy liczby naturalne n i m. Rz˛edem macierzy A ∈ Mm×n
nazywamy stopień najwiekszego
˛
z jej niezerowych minorów;
liczbe˛ te˛ oznaczamy symbolem rzA.
T WIERDZENIE Jeżeli A ∈ Mn , to
rzA = n ⇐⇒ det A 6= 0.
T WIERDZENIE Jeżeli A ∈ Mm×n , to
rzAT = rzA.
Nastepuj
˛ ace
˛ twierdzenie podaje algorytm wyznaczania rz˛edu
dowolnej macierzy.
T WIERDZENIA (i) Jeżeli macierz B powstała z macierzy
A ∈ Mm×n przez jedno z nastepuj
˛ acych
˛
przekształceń zwanych
przekształceniami elementarnymi):
– pomnożenie kolumny przez liczbe˛ różna˛ od zera,
– pomnożenie wiersza przez liczbe˛ różna˛ od zera,
– zmiana kolejności kolumn,
– zmiana kolejności wierszy,
– dodanie do pewnej kolumny kombinacji liniowej innych
kolumn,
– dodanie do pewnego wiersza kombinacji liniowej innych
wierszy,
– wykreślenie kolumny złożonej z samych zer,
– wykreślenie wiersza złożonego z samych zer,
to
rzB = rzA.
(ii) Rzad
˛ macierza,
˛ której wszystkie elementy poza główna˛
przekatn
˛ a˛ sa˛ zerami, jest równy ilości niezerowych elementów
na jej głównej przekatnej.
˛
Ogólny układ równań liniowych.
Ustalmy liczby naturalne m, n, liczby zespolone (rzeczywiste)
ai,j , bi , gdzie i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., n} i rozważmy układ
równań

a11 z1 + a12 z2 + · · · + a1n zn = b1



 a21 z1 + a22 z2 + · · · + a2n zn = b2
(∗∗)
..

.



am1 z1 + am2 z2 + · · · + amn zm = bm
o niewiadamych z1 , ..., zn ∈ C. Niech



a11 a12 · · · a1n
a11 a12 · · ·
 a21 a22 · · · a2n 
 a21 a22 · · ·



G= .
..
..  U =  ..
..
 ..

 .
.
.
.
am1 am2 · · · amn
am1 am2 · · ·
a1n
a2n
..
.
b1
b2
..
.
amn bm
Macierz G nazywamy macierza˛ główna˛ układu (**), a macierz
U nazywamy macierza˛ uzupełniona˛ układu (**).



.

(i) Jeżeli rzG = rzU = n, to układ równań (**) ma dokładnie
jedno rozwiazanie.
˛
(ii) Jeżeli rzG = rzU = k < n, to układ równań (**) ma
nieskończenie wiele rozwiaza
˛ ń zależnych od n−k parametrów.
(iii) Jeżeli rzG 6= rzU, to układ równań (**) nie ma rozwiaza
˛ ń.
Algorytm Gaussa.
Układ równań (**) można rozwiazać
˛
stosujac
˛ tzw. metode˛
eliminacji Gaussa. Jej celem jest przekształcenie macierzy
uzupełnionej U, układ równań (**), do macierzy postaci


1 0 · · · 0 c1(k +1) · · · c1n d1


.
 0 1 . . . .. c2(k +1) · · · c2n d2 


.
..
..
.. 
(∗ ∗ ∗) 
 .. . . . . . . 0
.
.
. 


 0 · · · 0 1 ck (k +1) · · · ckn dk 
0 ··· ··· 0
0
· · · 0 dk +1
(zwanej macierza˛ zredukowana)
˛ za pomoca˛ przekształceń
elementarnych wykonywanych tylko na wierszach, a wiec:
˛
– pomnożenie wiersza przez liczbe˛ różna˛ od zera,
– zmiana kolejności wierszy,
– dodanie do pewnego wiersza kombinacji liniowej innych
wierszy,
– wykreślenie wiersza złożonego z samych zer.
Nastepnie
˛
odczytujemy rozwiazanie
˛
układu równań (**) z
macierzy (***) w nastepuj
˛ acy
˛ sposób:(i) Jeśli dk +1 6= 0, to układ
równań (**) nie ma rozwiaza
˛ ń;
(ii) Jeśli dk +1 = 0, to każde rozwiazanie
˛
układ równań (**) jest
postaci

z1 = d1 − c1(k +1) zk +1 − · · · − c1n zn



 z2 = d2 − c2(k +1) zk +1 − · · · − c2n zn
,
..

.



zk = dk − ck (k +1) zk +1 − · · · − ckn zn
gdzie zk +1 , ..., zn sa˛ dowolnymi liczbami z R lub z C, w
zależności od tego, czy układ (**) rozwiazujemy
˛
w zbiorze R,
czy też w zbiorze C.