0. Liczby zespolone. Przypomnienie

0. Liczby zespolone. Przypomnienie
Zbiory liczb rzeczywistych, wymiernych, całkowitych, naturalnych oraz liczb całkowitych wiekszych
˛
lub
równych od ustalonej liczby całkowitej k bedziemy
˛
w dalszym ciagu
˛ oznaczać, odpowiednio, symbolami:
R, Q, Z, N oraz Nk .
Liczby zespolone sa˛ to pary uporzadkowane
˛
liczb rzeczywistych, postaci (a, b) , a ∈ R, b ∈ R. W zbiorze
tych par określa sie˛ działania: + (zwane dodawaniem) i · (zwane mnożeniem), przyporzadkowuj
˛
ace
˛ każdej
parze elementów (a, b) , (c, d) zbioru R2 element tego zbioru określony, odpowiednio, wzorem:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ,
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) .
Zbiór R2 z tak określonymi działaniami oznacza sie˛ symbolem C i nazywa ciałem liczb zespolonych.
Elementy tego zbioru - tzw. liczby zespolone - bedziemy
˛
oznaczać literami z, u, w, ... itd.
Jeżeli z, w ∈ C, to liczby zespolone z + w oraz z · w nazywamy, odpowiednio, suma˛ oraz iloczynem
liczb z i w.
Jeżeli z = (a, b) jest liczba˛ zespolona,˛ to liczbe˛ zespolona˛ (−a, −b) nazywamy liczba˛ przeciwna˛ do
liczby z i oznaczamy symbolem −z. Tak wiec
˛
−z = − (a, b) = (−a, −b) .
Jeżeli z = (a, b) jest liczba˛ zespolona˛ i z = (0, 0), to liczbe˛ zespolona˛
odwrotna˛ do liczby z i oznaczamy symbolem z −1 . Tak wiec
˛
a
−b
−1
−1
z = (a, b) =
,
.
a2 + b2 a2 + b2
a
a2 +b2
, a2−b
nazywamy liczba˛
2
+b
Można utożsamiać liczby rzeczywiste x ∈ R z liczbami zespolonymi (x, 0) ∈ C1 , piszac:
˛ x zamiast (x, 0) . Konsekwencja˛ takiej umowy jest przyjecie,
˛
że R ⊂ C, tj. że zbiór liczb rzeczywistych jest
podzbiorem zbioru liczb zespolonych.
Stosowane sa˛ oznaczenia:
z
z − w = z + (−w) ,
= zw−1 .
w
(Liczby zespolone z − w oraz wz nazywamy, odpowiednio, różnica˛ oraz ilorazem liczb z i w).
Niech z = (a, b) , a ∈ R, b ∈ R, bedzie
˛
dowolna˛ liczba˛ zespolona.
˛ Mamy:
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) .
Wprowadźmy oznaczenie: i = (0, 1) . Ponieważ, zgodnie z wcześniejsza˛ umowa,˛ (a, 0) = a oraz (b, 0) = b,
możemy napisać: z = a + bi.
Liczbe˛ zespolona˛
i = (0, 1)
nazywamy jednostka˛ urojona.
˛ (Rzecz jasna, i ∈
/ R). Zauważmy, że i2 = i · i = (−1, 0) = −1.
OBSERWACJA 0.1. Każda˛ liczbe˛ zespolona˛ z ∈ C, z = (a, b) ( a ∈ R, b ∈ R) można jednoznacznie
zapisa´c w tzw. postaci algebraicznej:
z = a + bi,
gdzie i = (0, 1) jest jednostka˛ urojona.˛
♠
Geometrycznie interpretujemy liczby zespolone jako punkty płaszczyzny z wybranym, prostokatnym
˛
układem współrzednych.
˛
Każdej liczbie zespolonej z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R) odpowiada wówczas
punkt o współrzednych
˛
a oraz b w tym układzie, tj. punkt (a, b) . Liczbom rzeczywistym z = a (a ∈ R)
odpowiadaja˛ punkty na jednej z osi układu, zwanej osia˛ rzeczywista˛ (tradycyjnie jest to oś pozioma).
Liczbom zespolonym z = bi (b ∈ R), zwanym niekiedy liczbami urojonymi, odpowiadaja˛ punkty na
drugiej osi układu, zwanej osia˛ urojona.˛
1
Tak wiec
˛ punkt jednostkowy osi rzeczywistej odpowiada liczbie zespolonej z = 1, natomiast punkt
jednostkowy osi urojonej odpowiada liczbie zespolonej z = i. Płaszczyzne˛ z tak oznaczonymi osiami
układu współrz˛ednych nazywamy płaszczyzna˛ zespolona˛ lub płaszczyzna˛ Gaussa.
Niech z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R) bedzie
˛
dowolna˛ liczba˛ zespolona.˛ Liczby a oraz b nazywamy,
odpowiednio, cześci
˛ a˛ rzeczywista˛ oraz cześci
˛ a˛ urojona˛ liczby z. Stosuje sie˛ oznaczenia:
a = Re z, b = Im z,
tak że z = Re z + Im z · i dla każdej liczby zespolonej z.
Jeżeli z ∈ C, to liczbe˛ zespolona˛
z = Re z − i · Im z
nazywamy liczba˛ sprzeżon
˛
a˛ do liczby z. Zatem z = a − bi, jeżeli z = a + bi (w postaci algebraicznej).
Niech z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R) bedzie
˛
dowolna˛ liczba˛ zespolona.˛ Liczbe˛ rzeczywista˛ nieujemna˛ |z| ,
określona˛ wzorem:
√
|z| = a2 + b2 ,
(0.1)
nazywamy modułem lub wartościa˛ bezwzgledn
˛ a˛ liczby z.
Dla każdej liczby zespolonej z = 0, |z| jest długościa˛ odcinka na płaszczyźnie Gaussa, którego końcami
sa˛ punkty 0 i z tej płaszczyzny. Ogólnie, jeżeli z, w ∈ C i z = w, to |z − w| jest długościa˛ odcinka o
końcach z oraz w na płaszczyźnie zespolonej. Rzecz jasna, |z − w| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy z = w.
Jeżeli wiec
˛ z0 ∈ C, r ∈ R i r > 0, to zbiór
O (z0 ; r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}
jest okr˛egiem na płaszczyźnie zespolonej, o środku w punkcie z0 i promieniu r.
FAKT 0.1. Dla każdej liczby zespolonej z ∈ C zachodza˛ równo´sci i nierówno´sci:
(1) z + z = 2 Re z.
(2) z − z = 2i Im .
(3) |z| = |z| .
(4) Re z ≤ |z| oraz Im z ≤ |z| .
(5) |z| = |−z| . ♠
FAKT 0.2. Dla wszystkich liczb zespolonych z, w ∈ C zachodza˛ równo´sci:
(1) z + w = z + w.
(2) z − w = z − w.
(3) zw = z · w.
z
z
= .
(4) Jeżeli w = 0, to
w
w
(5) z · z = |z|2 . ♠
FAKT 0.3. Dla wszystkich liczb zespolonych z, w ∈ C zachodza˛ równo´sci i nierówno´sci:
(1) |zw| = |z| · |w| .
z
|z|
(2) =
(o ile tylko w = 0).
w
|w|
(3) |z + w| ≤ |z| + |w| .
(4) |z − w| ≥ ||z| − |w|| . ♠
DEFINICJA 0.1. Niech z ∈ C, z = a + bi ( a ∈ R, b ∈ R), z = 0. Każda˛ liczbe˛ rzeczywista˛ ϕ ∈ R,
dla której zachodza˛ równo´sci:

Re z
a

= 2
,
 cos ϕ =
|z|
a + b2
(0.2)
Im z
b

 sin ϕ =
= 2
,
|z|
a + b2
nazywamy argumentem liczby z, i piszemy:
ϕ = arg z.
2
♠
Jak widać, w interpretacji geometrycznej argument ϕ jest miara˛ łukowa˛ dowolnego kata
˛ skierowanego
o wierzchołku w punkcie 0, którego ramieniem poczatkowym
˛
jest półprosta {x ∈ R : x ≥ 0} na osi rzeczywistej, zaś ramie˛ końcowe jest półprosta˛ o poczatku
˛
w punkcie 0, przechodzac
˛ a˛ przez punkt z.
Liczbie z = 0 nie przypisujemy żadnego argumentu.
TWIERDZENIE 0.1. Każda˛ liczbe˛ zespolona˛ z ∈ C, z = 0, można zapisać w tzw. postaci
trygonometrycznej:
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) ,
gdzie ϕ jest dowolnym argumentem liczby z. Ponadto, jeżeli
w = |w| (cos ψ + i sin ψ) ,
to z = w wtedy i tylko wtedy, gdy |z| = |w| oraz ψ = ϕ + 2kπ dla pewnej liczby całkowitej k ∈ Z. ♠
TWIERDZENIE 0.2. Niech z = 0, w = 0 bed
˛ a˛ liczbami zespolonymi o postaciach trygonometrycznych
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) ,
w = |w| (cos ψ + i sin ψ) .
Wtedy postacia˛ trygonometryczna˛ liczby zw jest:
zw = |z| |w| [cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ)] ,
a postacia˛ trygonometryczna˛ liczby
(0.3)
z
jest:
w
|z|
z
=
[cos (ϕ − ψ) + i sin (ϕ − ψ)] .
w
|w|
♠
(0.4)
TWIERDZENIE 0.3. Niech z ∈ C, z = 0. Jeżeli
z = r (cos ϕ + i sin ϕ)
(w postaci trygonometrycznej), to dla każdej liczby naturalnej n ∈ N zachodzi równo´sć (wzór de Moivre’a):
z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) .
♠
(0.5)
Niech z ∈ C, n ∈ N. Pierwiastkiem zespolonym stopnia n z liczby z nazywamy każda˛ liczbe˛
zespolona˛ w taka,˛ że
wn = z.
Oczywiście pierwiastek zespolony dowolnego stopnia z liczby z = 0 równy jest 0.
WNIOSEK 0.1. Niech z ∈ C, z = 0, i niech n ∈ N. Niech
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ)
w postaci trygonometrycznej. Istnieje dokładnie n parami różnych pierwiastków zespolonych stopnia n z
liczby z. Sa˛ nimi liczby ze zbioru {w0 , w1 , ..., wn−1 } , gdzie
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
n
wk = |z| cos
+ i sin
(0.6)
n
n
dla k ∈ {0, 1, ..., n − 1} . (W powyższym wzorze n |z| oznacza zwykły, tj. arytmetyczny pierwiastek stopnia n z liczby rzeczywistej dodatniej |z| .) ♠
3