Wyznaczniki - Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Algebra
Wyznaczniki
Alexander Denisjuk
[email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Algebra – p. 1
Wyznaczniki
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Algebra – p. 2
Wyznaczniki macierzy małych wymiarów
• det
a11 a12
a21 a22
!
a
a
11 12 =
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22 a
11 a12 a13 • a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −
a31 a32 a33 − a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a32 a23 a11
• det a11 = a11
Algebra – p. 3
Permutacje
• Ωn = { 1, 2, . . . , n }
• Wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie π : Ωn → Ωn
nazywa sie˛ permutacja.
˛
• Oznaczenie:
1
2
...
π(1) π(2) . . .
n
π(n)
!
• Mnożenie permutacji: τ σ = τ ◦ σ
◦ przykład: τ =
!
1 2 3 4
,σ=
2 3 4 1
!
1 2 3 4
4 3 2 1
◦ τ σ 6= στ
Algebra – p. 4
Grupa permutacji
• (τ σ)ω = τ (σω)
• permutacja jednostkowa e =
1 ...
1 ...
n
n
!
• permutacja odwrotna τ τ −1 = e
• grupa permutacji: Sn
Algebra – p. 5
Cykle
• permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1 , pozostałe elementy
zostaja˛ na miejscu (a 7→ a) nazywa sie˛ cyklem długośłci k
• zapis: (a1 a2 . . . ak )
• cykl gługości 2 nazywa sie˛ trapspozycja˛
• dwa cykle sa˛ niezależne, jeżeli nie maja˛ wspólnych
elementów
• mnożenie niezależnych cykli jest przemienne
Twierdzenie 1. Każda permutacji może być przedstawiona jako iloczyn
niezależnych cykli. Jednoznacznie z dokładnościa˛ do kolejności czynników
Algebra – p. 6
Cykle
• permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1 , pozostałe elementy
zostaja˛ na miejscu (a 7→ a) nazywa sie˛ cyklem długośłci k
• zapis: (a1 a2 . . . ak )
• cykl gługości 2 nazywa sie˛ trapspozycja˛
• dwa cykle sa˛ niezależne, jeżeli nie maja˛ wspólnych
elementów
• mnożenie niezależnych cykli jest przemienne
Twierdzenie 2. Każda permutacji może być przedstawiona jako iloczyn
niezależnych cykli. Jednoznacznie z dokładnościa˛ do kolejności czynników
Wniosek 3. Każda permutacja może być przedstawiona jako iloczyn
transpozycji
Algebra – p. 7
Przykłady
•
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 1 7 6 8
!
= (12345)(67)(8) = (12345)(67)
• w S4 : (123) = (13)(12) = (23)(13) = (13)(24)(12)(14)
Algebra – p. 8
Znak permutacji
Twierdzenie 4. Niech π
∈ Sn ,
π = τ1 τ2 . . . τk ,
gdzie τj sa˛ transpozycje (j
(1)
= 1, . . . , k). Wtedy
ε(π) = (−1)k
nie zależy od reprezentacji (1). Pozatym ∀α, β
∈ Sn
ε(αβ) = ε(α)ε(β).
Definicja 5.
• permutacja σ ∈ Sn jest parzysta, jeżeli ε(σ) = 1
• permutacja σ ∈ Sn jest nieparzysta, jeżeli ε(σ) = −1
Algebra – p. 9
Obliczenie znaku permutacji
Definicja 6. Niech dana bedzie
˛
permutacja
π=
1
2
...
π(1) π(2) . . .
Para (π(i), π(j)) tworzy inwersje,
˛ jeżeli i
n
π(n)
!
< j oraz π(i) > π(j).
Twierdzenie 7. Permutacjia π ∈ Sn jest parzysta˛ wtedy i tylko wtedy, gdy
zawiera ona parzysta˛ ilość inwersji.
Dowód.
• tnasposycja (ai ai+1 ) zmienia parzystość permutacji
• ogólna transpozycja zmienia parzystość permutacji
Przykład 8.
π=
!
1 2 3 4 5 6
5 4 1 3 2 6
Algebra – p. 10
Definicja wyznacznika
Definicja 9.
det A =
X
ε(π)a1π(1) a2π(2) . . . anπ(n)
π∈Sn
Przykład 10.
• n = 1, 2, 3, 4
Algebra – p. 11
Wyznacznik macierzy transponowanej


A(1)


• det A = det  ...  = det A(1) . . . A(n)
A(n)
Twierdzenie 11.
det A = det At
Algebra – p. 12
Funkcje wieloliniowe i antysymetryczne
Definicja 12. Funckcja D
n
n
:R
×
R
| {z } → R nazywa sie˛
m razy
1. wieloliniowa,
˛ (m-linowa)
˛ jeżeli jest ona liniowa według każdego z
argumentów, e.g. ∀j = 1, . . . m, ∀α, β ∈ R, oraz
∀x1 , . . . , xj−1 , a, b, xj+1 , . . . , xm ∈ Rn
D(x1 , . . . , xj−1 , αa + βb, xj+1 , . . . , xm ) =
= αD(x1 , . . . , xj−1 , a, xj+1 , . . . , xm )+
+ βD(x1 , . . . , xj−1 , b, xj+1 , . . . , xm )
2. antysymetryczna,
˛ jeżeli ∀x1 , . . . , xm
∈ Rn , ∀1 6 i < j 6 m
D(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xm ) = −D(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xm )
Algebra – p. 13
Właściwości wyznacznika
Twierdzenie 13. Wyznacznik jes wieloliniowa˛ antysymentryczna˛ funkcja˛
wierszy (column)
Twierdzenie 14.
Wniosek 15.
det I = 1
• det(λA) = λn det(A),
• Jeżeli macierz A ma zerowy wierz (kolumne),
˛ to det A = 0,
• Jeżeli A ma dwa jednakowe wierze (kolumny), to det A = 0,
• det A nie zmienia sie˛ po elementarnych przekształceniach rodzaju II.
Twierdzenie 16.


a11 a12 . . . a1n
 0 a
a2n 


22 . . .
det 
 = a11 a22 . . . ann
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0 . . . ann
Algebra – p. 14
Minory i algebraiczne dopełnienia
• Wyznacznik macierzy, powstałej z macierzy A przez
Definicja 17.
skreślenie wiersza i oraz kolumny j nazywa sie˛ minorem, Mij
• Aij = (−1)i+j Mij nazywa sie˛ dopełnieniem algebraicznym
Twierdzenie 18.
Pn 1.
(−1)i+j a
Pn
i+j a A
(−1)
ij ij
i=1
i=1
Pn
Pn
i+j
i+j a A
2. det A =
(−1)
a
M
=
(−1)
ij
ij
ij ij
j=1
j=1
det A =
ij Mij
=
Przykład 19.
1 −2 0 0
1
3
−1 1 −3
Algebra – p. 15
Wyznacznik iloczynu macierzy
Twierdzenie 20.
det AB = det A det B
Algebra – p. 16
Wyznacznik a macierz odwrotna
Twierdzenie 21. Macierz A jest nieosobliwa˛

−1
a11 . . . a1n


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


an1 . . . ann
Wniosek 22.

⇐⇒ det A 6= 0, przy czym

A11 . . . An1


= . . . . . . . . . . . . . . .
A1n . . . Ann
det A 6= 0 ⇐⇒ wiersze (kolumny) sa˛ liniowo niezależne
Algebra – p. 17
Wzory Cramera
Twierdzenie 23. Jeżeli wyznacznik układu równań


a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 ,
.........................


an1 x1 + · · · + ann xn = bn ,
różni sie˛ od zera, to jedyne rozwiazanie
˛
układu dane jest wzorami
xk =
a
11 . . . b1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . bn . . . ann det A
k = 1, 2, . . . , n
Algebra – p. 18